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1、.-量子力学例题第二章一求解一位定态薛定谔方程一求解一位定态薛定谔方程1 1试求在不对称势井中的粒子能级和波函数解 薛定谔方程:当,故有利用波函数在处的连续条件由处连续条件:由处连续条件:.-可修编.-给定一个 n 值,可解一个,为分离能级.2 2 粒子在一维势井中的运动求粒子的束缚定态能级与相应的归一化定态波函数解体系的定态薛定谔方程为当时对束缚态解为在处连续性要求将代入得.-可修编.-又相应归一化波函数为:归一化波函数为:3 3分子间的 X 得瓦耳斯力所产生的势能可近似地表示为求束缚态的能级所满足的方程解束缚态下粒子能量的取值 X 围为.-可修编.-当时当时薛定谔方程为令解为当时令解为当时
2、薛定谔方程为.-可修编.-令薛定谔方程为解为由波函数满足的连续性要求,有要使有非零解不能同时为零则其系数组成的行列式必须为零.-可修编.-计算行列式,得方程例题主要类型:1.算符运算;2.力学量的平均值;3.力学量几率分布.一.有关算符的运算1.证明如下对易关系(1)(2)(3)(4)(5)证 (1).-可修编.-(2)(3)一般地,若算符是任一标量算符,有(4)一般地,若算符是任一矢量算符,可证明有(5).-可修编.-=0同理：。2.证明哈密顿算符为厄密算符解考虑一维情况.-可修编.-为厄密算符,为厄密算符,为实数为厄密算符为厄密算符3 已知轨道角动量的两个算符和共同的正交归一化本征函数完备
3、集为,取:试证明:也是和共同本征函数,对应本征值分别为:。证。是的对应本征值为的本征函数的本征函数又:是的对应本征值为可求出:.-可修编.-二.有关力学量平均值与几率分布方面1.(1)证明征值；(2)求 x 在态中的平均值是的一个本征函数并求出相应的本解即是的本征函数。本征值2.设粒子在宽度为 a 的一维无限深势阱中运动，如粒子的状态由波函数描写。求粒子能量的可能值相应的概率及平均值.-可修编.-【解】宽度为 a 的一维无限深势井的能量本征函数注意:是否归一化波函数能量本征值出现的几率,出现的几率能量平均值另一做法.-可修编.-3 3.一维谐振子在时的归一化波函数为所描写的态中式中，式中是谐振
4、子的能量本征函数，求（1）的数值；2）在时能量的态中能量的可能值，相应的概率及平均值；（3）可能值相应的概率及平均值时系统的波函数；（4）解(1),归一化，（2），；，；，；（3）时，.-可修编.-所以：时，能量的可能值、相应的概率、平均值同（2）。4 4 设氢原子处于状态求氢原子的能量,角动量平方以及角动量 z 分量的可能值,这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。解能量本征值能量本征态当 n=2 时本征值为的，出现的几率为 100.-可修编.-可能值为出现的几率分别为：。下,试求下列期望值5.5.在轨道角动量和共同的本征态(1).;(2).解：三测不准关系1.粒子处于状态准关系解先归一化
5、式中为常数,求粒子的动量的平均值,并计算测不(1)动量平均值.-可修编.-(2).-可修编.-(3)附:常用积分式：（1）（2）（3）.-可修编.-第四章例题例题1 1力学量的矩阵表示力学量的矩阵表示由坐标算符的归一化本征矢及动量算符构造成算符和试分别：1）.求和在态下的期望值；2）.给出和的物理意义【解】（1）.设态矢已归一化（粒子位置几率密度）（2）（利用化到坐标表象）又：,上式.-可修编.-2.试证明：由任意一对以归一化的共轭右矢和左矢构成的投影算符（1）.是厄密算符，（2）.有，（3）.的本征值为 0 和 1【证】（1）.厄密算符的定义为厄密算符(2)已归一化（3）.由的本征值方程,又
6、：即：（本题主要考查厄密算符概念，本征值方程，狄拉克符号的应用）.-可修编.-3.分别在坐标表象，动量表象，能量表象中写出一维无限深势井中（宽度）基态粒子的波函数。（本题主要考查波函数在具体表象中的表示）【解】所描述的状态，基态波函数（1）.在 x 表象：（2）.动量表象：.-可修编.-（3）.能量表象同样一个态在不同表象中的表示是不同的，不同的表象是从不同侧面来进行描述的.-可修编.-4.取和的共同表象，在角动量空间中写出,题主要考查算符矩阵的求法）【解】,的共同本征函数为在空间（1）.,同样（2）.的矩阵（本-可修编.-利用:利用正交归一条件:同样（3）利用:矩阵:.-可修编.-矩阵:5.
7、已知体系的哈密顿量,试求出所在的表象的正交归一化的本征矢组.（1）.体系能量本征值及相应的在（2）.将【解】对角化，并给出对角化的么正变换矩阵（1）.久期方程解之,设正交归一的本征矢对应于.-可修编.-本征矢归一化对应归一本征矢同样:即为的本征函数集（2）.对角化后，对角元素即为能量本转换矩阵为.-可修编.-6 6证明：将算符矩阵对角化的转换矩阵的每一列对应于算符的一个本征函数矢量。【证】算符的本征矢：则 F 算符在自身表象中为一对角矩阵：对另一表象力学量的本征矢的本征矢.-可修编.-7.7.为厄密算符。求算符的矩阵表示。,的本征值，在 A 表象下求算符解：设的本征值为,本征函数为则又同理算符
8、的本征值也为.在 A 表象，算符的矩阵为一对角矩阵,对角元素为本征值，即利用设 B 为厄密算符即.-可修编.-又取：第五章例题重点：微扰论1 1 一根长为，无质量的绳子一段固定于支点，另一端系质量为的能量的一级修正。质点，在重力作用下，质点在竖直平面内摆动。i)在小角近似下，求系统能级；ii)求由于小角近似的误差产生的基态解：i)势能：系统的哈密顿量在小角近似下:.-可修编.-ii)若不考虑小角近似又利用公式,.-可修编.-同样2.一维谐振子的哈密顿量为，假设它处于基态，若在加上一个弹力作用，使用微扰论计算对能量的一级修正，并与严格解比较。解：i),又.-可修编.-ii)严格解发生了变化.-可
9、修编.-3 3 已知体系的能量算符为符。（1）求体系能级的精确值。（2）视,其中,为轨道的角动量算项为微扰项，求能级至二级近似值。解：i)精确解令，并在平面上取方向：与 z 轴的夹角为，则与相互对易，它们的本征值分别为体系能级为ii)微扰法的精确解为本征函数.-可修编.-本征能量按微扰论利用了公式能量二级修正为在二级近似下4 4 三维谐振子，能量算符为，试写出能级和能量本征函数。如这振子又受到微扰并和精确值比较。解：，的作用，求最低的两个能级的微扰修正。（1 设的能量本征函数为.-可修编.-代入方程(2).基态的微绕修正对基态 波函数.-可修编.-基态能级的零级,无简并能量的二级修正:唯一不等
10、于零的矩阵元为(3).第一激发态三度简并计算不为零的矩阵元为.-可修编.-久期方程可求出能量的一级修正(4).精确解令.-可修编.-基态第一激发态5 5 设粒子的势能函数是坐标的 n 次齐次函数，即试（维里定理）用变分法证明，在束缚态下，动能 T 及势能 V 的平均值满足下列关系证设粒子所用的态用归一化波函数描写则.-可修编.-取试态波函数为由归一化条件.-可修编.-时，试态波函数即是粒子所处的束缚态波函数。当应在时，取极值6.6.氢原子处于基态，加上交变电场计算氢原子每秒离几率。,电离能,用微扰论一级近似解：解这一类问题要搞清楚三个要素，初态末态是什么？微扰矩阵元?初态：氢原子基态末态:自由
11、状态.-可修编.-为能量为,在单位立体角的末态密度。微扰.-可修编.-7 7转动惯量为 I,电偶极矩为 D 的平面转子，置于均匀场强 E（沿 x 方向）中，总能量算符成为,为旋转角(从 x 轴算起）如果电场很强，很小，求基态能量近似值。解：方法一方法一与一位谐振子的能量本征方程比较有方法二方法二用变分法变分法，取归一化的试探波函数.-可修编.-所得结果与方法二一致。8 8设在表象中，的矩阵表示为其中,试用微扰论求能级二级修正解：在表象中，.-可修编.-第六章第六章例题例题1.有关泡利矩阵的一些关系的证明（注意应用一些已知结论）1).;(2).;(3).;(4).设则，.【证】（1）.(2).(
12、3).-可修编.-(4).2证明：并利用此结论求本征值【证】设的本征函数为则又,.-可修编.-3设为常数，证明展开成的幂级数，有【证】将，为偶数；为奇数上式（方位角为）的投影的本征值及本征矢（在表4求自旋角动量在任意方向象），【解】在表象中，在表象中的矩阵表示为，.-可修编.-设的本征值为，相应本征矢为，本征方程为解久期方程，将代入本征方程由归一化条件对应的本征矢为同样：对应的本征矢为.-可修编.-通过本题讨论我们发现，的本征值为，自旋算符在任意方向上的分量，如有的本征值为的本征值也是，的本征值。也进一步推广，对任一种角动量算符为则在任意方向上的分量的本征值的可能值也为5 有一个定域电子（不考
13、虑轨道运动）受均匀磁场作用，磁场指向正方向，磁作用势为，设时电子的自旋向上，即求时的平均值。解 设自旋函数在表象中体系的哈密顿算符可表示为则自旋态所满足的薛定谔方程为同理又，自旋.-可修编.-再由即6在自旋态中，求【解】.-可修编.-同理7已知电子的态函数为其中已归一化，求（1）.同时测量为，为的几率。（2）.电子自旋向上的几率。（3）.和平均值。解首先验证态函数是否归一化erfwfff1.-可修编.-同时测量为,为的几率电子自旋向上的几率：8考虑由两个相同粒子组成得体系。设可能的单粒子态为，试求体系的可能态数目。分三种情况讨论（1）。粒子为玻色子;（2）粒子为费米子;（3）粒子为经典粒子.解
14、玻色子构成的系统，系统态函数必须是对称的a.如两个粒子处于同一单粒子态:b.如两个粒子处于不同一单粒子态共三种对称的波函数为.-可修编.-共三种,因而，对玻色子可能态数为六种，费米子构成的系统，系统态函数必须是反对称的全同费米子不能处于同一态上（泡利原理）.反对称波函数的形式只能是共三种.对经典粒子，全同粒子是可区分的，粒子体系波函数没有对称性要求，波函数形式只要求都可以）的有三种，的有六种的共九种。9 试写出自旋的两个自由电子所构成的全同体系的状态波函数。解自旋的两电子构成的是费米子体系，体系状态的波函数是反对称的每个电子处于自由状态，单电子的状态波函数为平面波它们所构成的对称波函数形式为它们所构成的反对称波函数形式为.-可修编.-二电子体系的自旋部分的对称或反对称波函数为：总的波函数：10证明：组成正交归一系。证.-可修编.-11两个自旋为的粒子有磁相互作用，设它们的质量很大，动能可以忽略，求此系统的所有能量本征值和本征函数。解对两个自旋为的系统，总自旋量子数对的本征函数为本征值为能量本征值对的本征函数.-可修编.