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1、1 第四章第四章 角动量定理 天体运动 2 4.1 角动量定理角动量定理 4.1.1 质点角动量定理质点角动量定理 质点的运动状态：),(vrrdFvvmddtFvmd)21()(相对某参考点，位置矢量r横向转动时，转动时速度v的横向速度不为零 rv转动 3 一个运动质点绕着参考点O旋转时，相对参考点的位置矢量r会横向转动。在 dt 时间 质点位移为 vdt，转过角度d r 便会扫过面积 dS dtvrdS21面积速度 vrdtdS21)(trdtv)(dttrdO 动量定理动量速度 角动量定理角动量面积速度 4 质点在 S 系中相对参考点O的角动量 L prvmrL角动量随时间的变化与什么有
2、关呢？dtpdrpdtrddtprddtLd)(其中 Fdtpdpvpdtrd ,0FrdtLdrpL5 质点所受力相对参考点 O 的力矩 FrM质点角动量定理 质点所受力相对某参考点的力矩 等于质点相对该参考点角动量的变化率。dtLdM处理转动的所有公式都是从这个公式导出 =6 h 力矩力矩 FhrFMsin力臂 h：点 O 到力 F 作用线的距离。在直角坐标系中，M 可用行列式表述成 zyxFzkFyjFxiFrM它的三个分量：,xyzyFxFMrF7 肱二头肌肱二头肌 Use the following values:length of forearm=L=18 cm elbow to
3、bicep distance=d=3 cm mass of forearm=M=4 kg mass of baseball=m=1 kg 8 9 两质点之间一对作用力与反作用力 相对于同一参考点力矩之和必为零。0)(22121222212211FrFrrFrFrFrFr1r2r21r1F2F1 2 10 若过程中力矩恒为零，则过程中角动量为守恒量 若过程中 Mz 恒为零，则过程中 Lz 为守恒量 常矢量LM0有心力：质点所受力 F 若始终指向一个固定点 O，O为力心。常量zzLM 011 例例1 1 相对不同参考点A、B，计算重力矩和角动量 A B vgm1d2d参考点A：重力矩 1mgdM角
4、动量 0L参考点B：重力矩 1mgdM角动量 2mvdL12 例例2 2 匀速圆周运动 O O选择圆心O为参考点 力矩 0M角动量 mvRL R 心Fv 其它任何点则没有这种情况其它任何点则没有这种情况 角动量守恒 13 例例3 3 地球绕太阳公转 选择太阳为参考点 万有引力的力矩为零 CLM 014 例例4 4 OO圆锥摆如图，摆线长l，小球质量m，取悬挂点O为参考点，求摆球所受力矩和摆球角动量。lTgm摆球受张力和重力 张力对O点力矩为零 摆球所受力矩 sinmglM 摆球角动量 mvlL 方向如图 L选另一参考点 O15 例例5 5 OlTgm z dtdmlmlvLmglMzz2sin
5、导出单摆的摆动方程 力矩和角动量都只有 z 轴分量 采用小角度近似 sinlgdtd22利用角动量定理 16 例例6 6 O A 0v0rT小球绕O作圆周运动，如图所示。（1）求B端所受竖直向下的外力T0（2）T0极缓慢增到 2T0，求v（3）用功的定义式求拉力所作的功。B 分析物理过程分析物理过程 以O为参考点，力矩为零，角动量守恒。T0极缓慢增大，径向速度可略，中间过程近似为圆周运动。17 O A 0v0rTB 解：解：（1）0200rvmT（2）角动量守恒 00rmvmvr圆周运动 0200222rmvTrmv30032 ,2 rrvv18（3）拉动过程中，小球作螺旋线运动 TdrrdT
6、dW320202rrmvrmvT)14(213202/32020300mvdrrrmvWrr它恰好等于小球的动能增量)14(212121320202mvmvmvEk19 第四章作业第四章作业 A组组 4、6、8、9、10 13、14、15、16 B组组 24、26、30、32 20 4.1.1 4.1.1 质点系角动量定理质点系角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律 在惯性系S中，质点系相对O点的角动量 L iiLL0内M质点系角动量定理质点系角动量定理：质点系各质点所受外力相对同一参考点的力矩之和 等于质点系相对于该参考点角动量随时间的变化率。dtLdM外21 质点系角动量守恒定律质点系角
7、动量守恒定律 若过程中M外恒为零，则过程中L为守恒量。若过程中M外x（或M外y，M外z）恒为零，则过程中Lx（或Ly，或Lz）为守恒量。非惯性系中非惯性系中质点系的角动量定理质点系的角动量定理 dtLdMM外惯22 例例7 7 l l h 1m2m质量可略、长2l的跷跷板 静坐着两少年，左重右轻，左端少年用脚蹬地，获得顺时针方向角速度0。求0至少多大时，右端少年可着地？zO 力矩 coscos21glmglmMz系统角动量 221)(lmmLz规定顺时针转动为正，垂直纸面向里为正。23 角动量定理 ddlmmdtdlmmdtdLMzz221221)()(积分 022121000)()(cos)
8、(dlmmdglmmlh0sin2022121)(21)(2lmmghmm此即机械能守恒 21210)(2mmghmml24 例例8 8 水平大圆盘绕中心竖直轴 以角速度旋转，质量m的 小球从中心出发，沿阿基米德螺 线运动，角动量 L 守恒。试求小球所受真实力的 横向分量和径向分量。阿基米德螺线 rO 角动量 L 守恒 dtdmrL2 m22 ,rmLdtddtdrrmLdtd25 522222522222 ,2rmLdtrdrmLdtd圆盘系中小球所受合力 vmrmF22合力的横向分量 合力的径向分量 rmvF2mvmrFr22角动量 L 守恒，横向力为零 222LrmvFr径向力应合成ma
9、r 3222122222)21(22rrmLrLmrmvmrdtdrdtrdmFr26 4.1.3 外力矩外力矩 重心重心 对称球对称球 外力矩是质点系角动量变化的原因 合力为零的外力矩合力为零的外力矩 质点系所受外力的合力为零时，外力矩与参考点无关。外外MFRFrFRrMiiiiiiii)(O ORiririF27 一对力偶一对力偶 大小相同、方向相反且不在同一直线上的两个力 221112FrFrM力偶的力矩不依赖于参考点的选择 1 2 1F2F21r12r28 重心重心 位于rG的几何点称为质点系的重心 mrmriiiG质量均匀分布，几何结构具有对称性的物体，重心位于其几何中心 29 质点
10、系各质点重力的冲量和等于质点系重力的冲量 质点系各质点重力作功之和 等于质点系重力作用于重心处所作的功 Giiiiiiiiirdgmrmdgrdmgrdgm)(重力势能 Giiiiiimghghmghm重力的力矩 gmrgrmgrmgmrGGiiiiii)(重心是质点系重力分布中心 猫的空中转体猫的空中转体 30 对称对称球球 P 对称球对外部物体的引力作用等效于它的质量集中于球心；外部物体对对称球的引力作用等效于它的质量集中于球心。31 例例9 质量 M 的均匀麦管放在光滑桌面上，一半在桌面外。质量 m 的小虫停在左端，而后爬到右端。随即另一小虫 轻轻地落在该端，麦管并未倾倒，试求第二个小虫
11、的质量。麦管长L，小虫相对麦管速度u，麦管相对桌面左行速度v 系统动量守恒 Mvvum)(麦管移入桌面长度 LmMmudtmMmvdtxtt0032 分两种情况讨论：（1）2 ,LxmM麦管全部进入桌面，第二个小虫可取任何值。（2）2 ,LxmM麦管和二个小虫相对桌边的重力矩应该满足 MgxxLgmm2)(mmMmMm33 双摆 34 4.2 对称性与守恒律对称性与守恒律 4.2.1 对称性对称性 35 德国数学家魏尔（H.Weyl）对称性：系统在某种变换下具有的不变性。对称性：系统在某种变换下具有的不变性。例例 左右对称，上下对称，也称镜面对称 36 空间变换对称性空间变换对称性 x O z
12、 y 系统相对点、线、面的变换 37 镜面反演对称性镜面反演对称性 镜面反演：对平面直角坐标系，仅取x到-x （或y到-y，或z到-z）的变换。一个系统若在镜面反演变换下保持不变，则称这一系统具有镜面反演对称性。38 39 空间平移对称性空间平移对称性 系统在空间平移，即在)(为常矢量RRrr变换下具有的不变性。40 轴对称性轴对称性 系统在绕着某直线轴作任意角度旋转的变换下 具有的不变性。壁纸的不同贴法壁纸的不同贴法 41 最简单的p1群只包含平移，而不包含其它对称操作 42 cm p1 p2 pg pm pmm 壁纸的不同贴法壁纸的不同贴法 43 壁纸的17种贴法（包含平移、反射、转动操作
13、）Symmetry group IUC notation Lattice type Rotation orders Reflection axes 1 p1 parallelogrammatic none none 2 p2 parallelogrammatic 2 none 3 pm rectangle none parallel 4 pg rectangle none none 5 cm rhombus none parallel 6 pmm rectangle 2 90 7 pmg rectangle 2 parallel 8 pgg rectangle 2 none 9 cmm rho
14、mbus 2 90 10 p4 square 4 none 11 p4m square 4+45 12 p4g square 4*90 13 p3 hexagon 3 none 14 p31m hexagon 3*60 15 p3m1 hexagon 3+30 16 p6 hexagon 6 none 17 p6m hexagon 6 30+=all rotation centers lie on reflection axes *=not all rotation centers on reflection axes 44 p4g p4 p4m cmm pgg pmg 45 p6 p6m p
15、31m p3 p3m1 46 空间反演对称性（点对称性）空间反演对称性（点对称性）系统在空间反演，即在),(zzyyxxrr变换下具有的不变性。47 球对称性球对称性 系统在绕着某点作任意旋转的变换下 具有的不变性。R R 电场强度 半径 均匀带电球体相对球心具有球对称性，它的空间场强分布也具有此种对称性。48 时间变换对称性时间变换对称性 一维的时间只能改变方向和平移，所以只有两种变换：时间反演对称性 时间平移对称性 tt0ttt49 时间反演对称性 dtdttt 时间反演即时间倒流 vvdtrdv ,FFaadtvda ,)(trdtv)(dttrdO 过去过去 未来未来 过去过去 未来未
16、来 1 2 50 牛顿第二定律具有时间反演对称性牛顿第二定律具有时间反演对称性 经典力学中，与牛顿第二定律平行的是力的结构性定律 胡克定律、引力定律、库仑定律具有时间反演对称性胡克定律、引力定律、库仑定律具有时间反演对称性 阻尼性作用定律给出的空气阻力、摩擦力等没有时间反演对称性阻尼性作用定律给出的空气阻力、摩擦力等没有时间反演对称性 时间倒流在真实的世 界中是不可能发生的 vf51 时间平移对称性 系统在时间平移，即在 变换下具有的不变性。0ttt牛顿第二定律和力的结构性定律都具有时间平移对称性牛顿第二定律和力的结构性定律都具有时间平移对称性 自然界中除了与时空变换有关的对称性以外，还有其它
17、的对称性，物理学的后续课程中将会讨论。52 4.2.2 对称性原理对称性原理 2202210122221121212121vmvmvmvm211012012221202102112)(,2)(mmvmvmmvmmvmvmmv具有相同对称性果对称性置具有下因因果对称关联 :换 2 1,标 :53 法国物理学家皮埃尔.居里（Pierre.Curie）在1894年指出 对称性原理对称性原理 因中若有某种对称性，因中若有某种对称性，果中也有此种对称性，果中也有此种对称性，因果间的这种对称性是普遍存在的。因果间的这种对称性是普遍存在的。54 4.2.3 对称性与守恒律对称性与守恒律 Emmy Noeth
18、er(1882-1935)诺特诺特 最伟大的女数学家 55 诺特定理诺特定理：论证了对称性与守恒律之间存在的普遍联系 连续变换的对称性都对应一条守恒定律 时间平移对称性时间平移对称性 能量守恒定律能量守恒定律 空间转动对称性空间转动对称性 角动量守恒定律角动量守恒定律 空间平移对称性空间平移对称性 动量守恒定律动量守恒定律 56 小结小结 角动量守恒定律角动量定理机械能守恒定律动能定理动量守恒定律动量定理牛顿定律牛顿定律 惯性系惯性系 非惯性系非惯性系 惯性力真实力质点质点 质点系质点系 我们周围的世界我们周围的世界 57 4.3 天体运动天体运动 太阳系中太阳是质量最大的天体，行星中质量最大
19、的木星 35.1047太木Mm太阳近似处理成不动的质点，行星运动由太阳引力支配。卫星距大行星很近，围绕着行星的运动由行星引力支配。单体问题 两体问题 多体问题58 4.3.1 天体运动天体运动 天体运动的开普勒三定律 第一定律（轨道定律）行星围绕太阳的运动轨道为 椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上 第二定律（面积定律）行星与太阳的连线在相等 的时间内扫过相等的面积 59 第三定律（周期定律）：各行星椭圆轨道半长轴 A 的三次方与轨 道运动周期 T 的二次方之比值为相同的 常量，即 kTA2360 牛顿力学结合万有引力定律 推导天体运动的开普勒三定律 极坐标系极坐标系 角动量守恒角动量守恒 能量守恒能
20、量守恒 61 太阳质量记为M，待考察的行星质量记为m，某时刻 M 至 m 的径矢 r 和 m 的速度 v。建立极坐标系建立极坐标系 在径矢 r 和速度 v 确定的平面上，建立以 M 为原点的极坐标系。MmrvFvvrddrdtdrvdtdrvrr ,62 利用角动量 L 和能量 E 守恒 ErMmGvvmLmrvr)(2122首先可得到横向速度和径向速度 mrLv 222mrLrMGmEvr63 行星轨道行星轨道 方案方案1：参数方程：参数方程)()(ttrr方案方案2：轨道方程：轨道方程)(rr 64 确定轨道方程确定轨道方程 22232222222222212122LGMmrmMGELLG
21、MmrrmLrMGmELmrddr引入参量 32222221 ,mMGELGMmLp65 22211/prprdrd作变量代换 pru112rdrdu22/updud积分后可得 0arccospu总可选取 0066 cos1pr行星的轨道方程行星的轨道方程 这是太阳位于焦点的圆锥曲线这是太阳位于焦点的圆锥曲线 67 张钰哲（19021986），1928年11月22日，中国天文学者张钰哲 在美国的叶凯士天文台发现了一颗小行星。68 小行星带 69 32222221 ,mMGELGMmLp三种可能的轨道：位于内焦点为双曲线之一时ME ,1 ,0 )1(位于焦点为抛物线时ME ,1 ,0 )2(位于
22、其中一个焦点为椭圆时ME ,1 ,0 )3(都与行星质量无关 cos1pr行星的轨道方程 70 71 大行星受太阳引力束缚，E 0，轨道是椭圆 ABCM m 22BAC110prCAprCA椭圆偏心率 ACe0时，为圆轨道。=1 2=2 72 各大行星轨道偏心率各大行星轨道偏心率 水星 0.206 金星 0.007 地球 0.017 火星 0.098 木星 0.048 土星 0.055 天王星 0.051 海王星 0.007 冥王星 0.252 73 例例10 太阳质量M，行星椭圆轨道半长轴A、半短轴B。行星的轨道运动周期T，试导出开普勒第三定律。ABCM m 1 2 1v2v选择长轴的两点：
23、近日点 1和远日点 2，速度与径矢垂直的唯一的两点。74 机械能守恒 CAMmGmvCAMmGmv22212121角动量守恒 21)(21)(21mvCAmvCA,1AGMBCAv面积速度 AGMBvCA21)(211行星的轨道运动周期 GMAAABT2CGMTA2234开普勒第三定律开普勒第三定律 AGMBCAv275 解法二 轨道1处的曲率半径 AB2牛顿第二定律 221)(CAMmGvmAGMBCAv1面积速度 AGMBvCA21)(211行星的轨道运动周期 GMAAABT2CGMTA2234开普勒第三定律开普勒第三定律 76 例例1111 对于太阳和某个行星构成的两体引力系统，若考 虑
24、到引力对太阳的影响，开普勒三定律将作哪些修正？引入约化质量和行星相对太阳的加速度 mMMmaF其中 ,将引力公式代入 arrMmG377 上式可改写为 amrrmmMG3)(除了将太阳质量 M 换成 M+m 以外，所有结果保持不变。开普勒第一、第二定律不依赖于太阳质量，保持不变。开普勒第三定律依赖太阳质量，严格意义下不再成立。MmGMmMGTA144)(2223即使是行星中质量最大的木星 35.1047Mm 41055.9Mm确实是小到可以忽略 78 例例12 12 计算第一、第二、第三宇宙速度 略去地球大气层的影响 地球半径 m1037.66ER地球轨道半径 m1050.111r太阳质量 k
25、g1099.130SM地表重力加速度 2m/s8.9g79 第一宇宙速度：在地球引力作用下，贴近地面沿圆轨道 运动的飞行器速度v1。飞行器质量 m mgRmvE21km/s 9.7m/s 109.731EgRv80 第二宇宙速度：从地面向上发射太空飞行器，为使它能远离地球而去的最小发射速度v2。地球质量 ME 02122EERmMGmvkm/s 2.11m/s 102.11222312vgRRGMvEEE81 第三宇宙速度：从地面向上发射太空飞行器，为使它能 相继脱离地球和太阳的引力束缚远离太 阳系而去的最小发射速度v3。相对地球的最小发射速度v3需沿着地球轨道的运动方向。地球轨道速度 rGM
26、uSE在地心参考系中，飞行器距地球足够远时，它相对于地球 从v3降为 3v23232121vmRmMGmvEE（1）82 转到太阳系，飞行器相对太阳的速度为 Euvu3（2）为使飞行器恰好能脱离太阳的引力束缚，要求 0212rmMGmuS（3）m/s 106.16)223(2)3(),2(),1(33rMGgRvSE83 例例1313 通过天文观测，发现存在行星椭圆轨道，假设质 点间的万有引力大小与距离 r 的关系为 试就下面两种情况分别确定（1）太阳在椭圆轨道的一个焦点上；（2）太阳在椭圆的中心 GMmrF ABCM m 1 2 1v2v84 ABCM m 1 2 1v2v面积速度不变)()
27、(21CAvCAv)(121CAGMmvm)(222CAGMmvm2122)()(CACA对于椭圆 2 ,0必有C从开普勒第一、第二定律，导出了引力的平方反比律（1）85（2）ABM m 1 2 1v2v3v3 对于1、3两处 BvAv31ABGMmAvm21121,BAGMmBvm23323,11BA对于椭圆 1 ,必有BA引力具有弹性力的特点 86 4.3.2 有心力场中质点的有心力场中质点的运动运动 存在有心力的空间称为有心力场，以力心为坐标原点，在有心力场中质点所受力可表述成：引力当斥力当 ,0)(,0)()()(rfrfrrrfrF87 有心力场中，质点初速度沿径向或为零时，运动轨道
28、是直线。对于吸引性有心力场，质点初速度沿角向并满足 运动轨道是圆。)(2rfrmv一般情况下，质点的运动轨道都是平面曲线，这一平面由质点初位矢和初速度确定。88 有心力场中，在由质点初位矢和初速度确定的平面上，以力心为坐标原点，建立极坐标系。系统的角动量和机械能都是守恒量：ErVvvmLmrvr)()(21,22横向速度 222)(22,rmLmrVmEvmrLvr径向速度 89 为获得r-t，ErVmrLdtdrm)(221222这是关于 r-t的一阶微分方程，原则上可解出 r-t关系。轨道微分方程 2222)(22rmLmrVmELmrddr给定V(r)，积分上式，得轨道方程：)(rr 9
29、0 对对 r-t 关系的定性讨论关系的定性讨论 了解 r随 t的变化范围，确定轨道是有限的，还是无穷的。取随质点径矢一起变速转动的非惯性系 质点的惯性离心力 322mrLrmFc此力是保守力，取无穷远点为势能零点，它的离心势能 222mrLVc能量守恒式中与角动量有关的动能项可理解为离心势能。质点的一维运动 91 引入等效势能)()()(rVrVrVcequ径向能量守恒方程 ErVmvequr)(212利用此式就可以讨论 r 随 t 的变化 有心力与离心力的合力 drdVFequ合等效势能的极值点对应质点所受径向合力为零的点。若此时质点的径向动能为零，即)(rVEequ则质点作圆周运动。92
30、径向加速度使质点始终有径向朝外的运动趋势，直至无穷远，故质点运动轨道必定是无限的。有心力是排斥性的有心力是排斥性的 从受力的角度分析从受力的角度分析 从能量的角度分析从能量的角度分析 排斥性的有心力势能 V(r)为正，随 r 的增大而减小。0)(,;)(,0rVrrVrcc离心势能 质点的能量是守恒量，且有限，它的运动范围只能是 无穷远 有限远 93 有心力是有心力是吸引吸引性的性的 为任意实数 ,0 ,)(AArrf吸引性的有心力的一般形式 取不同值对应不同的吸引性的有心力，对应的势能的一般形式为 1 ,11)(1CArrV94 1 ,)(Arrf有心力具有胡克力的性质 222212)(Ar
31、mrLrVequ)(rV)(rVcminEE)(rVequ0r1r2rr轨道是圆则若,0minrvEE其它则轨道为椭圆 95)(rV)(rVc)(rVequ0rr1 ,)(rArfrmrLrVequln2)(2296 2 ,)(2rArf有心力如引力和库仑力 rAmrLrVequ222)()(rV)(rVcminEE)(rVequ0r1r2rrE轨道是圆则若,0minrvEE双曲线抛物线椭圆 0 ;0 ;0EEE其它情况 97 3 ,)(3rArf2221)(rAmLrVequ02 AmL02 AmLAmL298 4 ,)(4rArf32232)(rAmrLrVequBertrand定理：只当有心力为平方反比力或Hooke力时，粒子的所有束缚运动轨道才是闭合的。)(rV)(rVc)(rVequ99 4.4 膨胀的宇宙 太阳系的边缘