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1、2010-2011学年第学年第 1 学期学期 概率论概率论 试题试题(A卷卷)考试类型考试类型:(闭卷闭卷)考试考试 考试时间考试时间:120 分钟分钟 一一.填空题填空题(本大题共本大题共 8 小题小题,每小题每小题 3 分分,共共 24 分分)1.事件事件A在在4次独立重复试验中次独立重复试验中至少成功一次至少成功一次的概率的概率为为80/81,则事件则事件A在一次试验中概率为在一次试验中概率为_.设每次试验成功的概率为设每次试验成功的概率为 p,依题意依题意,成功的次数成功的次数XB(4,p),由由至少成功一次至少成功一次的概率为的概率为PX1=1-PX=0=1-C40 p0(1-p)4
2、=1-(1-p)4即即解得解得解解2.三个人独立地破译一个密码三个人独立地破译一个密码,他们能译出的概率他们能译出的概率分别是分别是0.2、1/3、0.25则密码被破译的概率为则密码被破译的概率为_.解解 设事件设事件 A,B,C 分别表示三人破译该密码分别表示三人破译该密码,依题意依题意,事件事件 A,B,C 相互独立相互独立.则密码被破译的概率为则密码被破译的概率为(习题习题1、P27 24.)P(AUBUC)方法方法1独立性独立性=1-(1-0.2)(1-1/3)(1-0.25)=0.6.P(AUBUC)方法方法2P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(AC)P(BC)+P(ABC)独
3、立性独立性P(A)+P(B)+P(C)P(A)P(B)P(A)P(C)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)=0.6.0.63.设设随机随机变变量量 X 的分布函数的分布函数解解则则PX=1=_.方法方法1公式法公式法.(从F(x)的表达式入手)由由PX=x=PXx-PX0),则则k=_时时,PkX0)由由 PkX2k=1/4,得得即即亦即亦即所以所以5.设随机变量设随机变量X1,X2相互独立相互独立,其中其中X1U0,6,X2P(3),记记Y=X1-3X2,则则D(Y)=_.解解 由已知由已知,D(X1)=D(X2)=3.因为因为X1,X2相互独立相互独立,所以所以D(Y)=D(X1-3
4、X2)=D(X1)+9 D(X2)=3+9 X3=30.306.若随机变量若随机变量 在在1,5上服从均匀分布上服从均匀分布,则方程则方程 X 2+X+1=0有实根的概率为有实根的概率为_.解解3/4 的密度函数的密度函数为为方程方程X 2+X+1=0有实根有实根=2-40即即 -2 或或 2所以方程所以方程X 2+X+1=0有实根的概率为有实根的概率为P -2 或或 2=P -2+P 27.如果公共汽车车门的高度按男子碰头率在如果公共汽车车门的高度按男子碰头率在1以以下设计下设计,而成年男子的身高而成年男子的身高X服从正态分布服从正态分布N(165,36)(cm),则公共汽车车门的则公共汽车
5、车门的最低最低高度高度应为应为_.(已知已知(2.33)=0.99)解解178.98 cm 或或 179 cm设设最低高度应为最低高度应为x,PX x 178.98.8.设某工厂生产的圆盘设某工厂生产的圆盘,其直径在区间其直径在区间(a,b)上服从上服从均匀分布均匀分布,则该圆盘面积的数学期望为则该圆盘面积的数学期望为_.习题习题4.第第8题题(P102)解解 设圆盘的直径为设圆盘的直径为X,则则XU(a,b),圆盘面积圆盘面积Y=方法方法1X的密度函数为的密度函数为 所以所以E(Y)=方法方法2E(X)=D(X)=所以所以E(Y)=二、选择题二、选择题(本大题共本大题共 5 小题小题,每小题
6、每小题 3 分分,共共 15 分分)1、设、设A,B为任意两个事件为任意两个事件,A B,P(B)0,则下则下式式 成立的为成立的为()(A)P(A)P(A|B)(D)P(A)P(A|B)解解 由由A B,得得P(A)=P(AB)A=AB,所以所以=P(B)P(A|B)又又 0Y=0.288X0.027+0.432X(0.027+0.189)+0.216X(0.027+0.189+0.441)PX=1,Y=0+PX=2,Y=0+PX=2,Y=1+PX=3,Y=0+PX=3,Y=1+PX=3,Y=2 0.243.习题习题2、P49 7.解解这是古典概型问题这是古典概型问题.(1)基本事件总数基本
7、事件总数n=A包含的基本事件数包含的基本事件数nA=设设A=试验成功一次试验成功一次,1.所以所以P(A)=(2)假设他是猜对的假设他是猜对的,由由(1)知知,他每次猜对的概率为他每次猜对的概率为1/70,连续试验连续试验10次次,则猜对的次数则猜对的次数X3.16X10-4.猜对猜对3次的概率为次的概率为B(10,1/70).PX=3=这个概率很小这个概率很小.根据根据小概率原理小概率原理(也称也称实际推断原理实际推断原理),可以认为他确有区分的能力可以认为他确有区分的能力.概率很小的事件在一次试验中可以看作是不可能发生概率很小的事件在一次试验中可以看作是不可能发生的的称为小概率原理称为小概
8、率原理,也称也称实际推断原理实际推断原理.习题习题2、P49 8.解解(1)依题意依题意,长度为长度为 t 的时间间隔内收到的紧急的时间间隔内收到的紧急呼救呼救的次数的次数 XP(t/2).X的分布律为的分布律为所以所求所以所求的概率为的概率为PX=0=e-1.5.(2)PX1=1-PX=0=1-e-2.5.t=3,所以所求所以所求的概率为的概率为 t=5,习题习题2、P5012.解解(1)由由F(+)=1,得得=a=1.由由连续型随机变量连续型随机变量 的分布函数连续知的分布函数连续知即即 a+b=0,所以所以 b=-1.从而从而(2)X 的密度函数为的密度函数为f(x)=F(x)(3)方法
9、方法1(3)方法方法2习题习题2、P50 13.(1)解解利用分布函数的定义利用分布函数的定义当当x1时，时，=0,当当1x 2时，时，当当x 2时，时，=1综上所述综上所述,得得 X 的分布函数为的分布函数为习题习题2、P50 13.(2)解解利用分布函数的定义利用分布函数的定义当当x0时，时，=0当当0 x 1时，时，当当1x 0时时,FY(y)=Pe-Xy=P X-lny或或=1-FX(-lny)综合得综合得或或(2)求导得求导得Y的密度函数为的密度函数为因为因为fX(x)=代入得代入得Y的密度函数的密度函数(3)Y的分布函数的分布函数FY(y)=PYy=PX 2y当当y0时，时，FY(
10、y)=0当当y0时，时，FY(y)=PX 2y=总之总之,Y的分布函数为的分布函数为或或或者或者P52习题习题2、24.(3)两边求导两边求导,得得Y的概率密度函数为的概率密度函数为又又X的密度函数为的密度函数为则则Y=X 2的概率密度为的概率密度为P52习题习题2、25.(1)Y的分布函数为的分布函数为FY(y)=PYy=P2lnXy解解(1)或或X的密度函数为的密度函数为即即或或两边求导两边求导,得得Y的概率密度函数为的概率密度函数为P102习题习题4、13.解解 由由相互独立的服从正态相互独立的服从正态分布分布的随机变量的随机变量的线性的线性组合仍然服从正态分布组合仍然服从正态分布知知,
11、2X-Y服从正态分布服从正态分布,由由服从正态分布的随机变量的线性函数仍服从正服从正态分布的随机变量的线性函数仍服从正态分布态分布知知,2X-Y+3服从正态分布服从正态分布,又又E(2X-Y+3)=D(2X-Y+3)=2E(X)-E(Y)+3因因 X和和 Y 相互独立相互独立,4D(X)+D(Y)=2X1-0+3=5,=4X2+1=9,所以所以Z=2X-Y+3N(5,9),故故Z=2X-Y+3的密度函数为的密度函数为P82习题习题13,18.解解xOyy=x11如图如图.当当x1时时,从而从而fX(x)=0.当当0 x1时时,所以所以,2.4x2(2-x),0 x1,0,其他其他.fX(x)=f(x,y)=0,=2.4x2(2-x),当当y1时时,从而从而fY(y)=0.f(x,y)=0,所以所以,2.4y(3-4y+y)2,0y1,0,其他其他.fY(y)=当当0y1时时,=2.4y(3-4y+y)2,因为因为 fX(x)fY(y)f(x,y),所以所以,X与与Y 不相互独立不相互独立.P82习题习题12,18.解解=x20，0 x2xOy21=y10，0y1因为因为fX(x)fY(y)=f(x,y)，所以所以,X与与Y相互独立相互独立.