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1、第三节第三节 连续型随机变量函数的密度函数连续型随机变量函数的密度函数复习复习:变限积分的求导公式变限积分的求导公式若若a为常数为常数,则则若若b为常数为常数?1根据分布函数的定义一一.一维随机变量函数的密度函数一维随机变量函数的密度函数目标目标:设设X 为一个连续型随机变量，其概率密度函数为为一个连续型随机变量，其概率密度函数为 f(x)。y=g(x)为一个连续函数为一个连续函数(分段严格单调分段严格单调)，求随机，求随机变量变量Y=g(X)的密度函数的密度函数 .基本方法基本方法(分布函数求导法分布函数求导法),分分2个步骤个步骤:(1)(1)求求Y的分布函数的分布函数(2)(2)对对 求
2、导，求导，21.是严格单调且可导的函数是严格单调且可导的函数.1).定理定理3.1.设设 而而 是严格单调且是严格单调且且处处可导的且处处可导的,设设 是是g的反函数的反函数,则则 是连续型随机变量是连续型随机变量,其密度函数为其密度函数为其中其中其实就是变限积分求导其实就是变限积分求导3证明证明4推论推论.如果如果Y=aX+b,则则Y 的密度函数为的密度函数为特别的特别的,对于正态分布对于正态分布 ,设设我们有我们有 更一般的更一般的,则则5解解 先求分布函数先求分布函数 FY(y)。设随机变量设随机变量X服从正态分布服从正态分布 求求的概率密度的概率密度。当当 时，时，所以，所以，请同学自
3、己用分布函请同学自己用分布函数求导法证明数求导法证明!6当当 时，时，所以，所以，7解解 体积体积 的分布函数为的分布函数为例例 设球的半径设球的半径X的概率密度为的概率密度为 试求体积的概率密度。试求体积的概率密度。所以体积的所以体积的概率密度为概率密度为 严格单调递增函数严格单调递增函数8所以体积的所以体积的概率密度为概率密度为 即即 代入代入f(x).9练习练习 设圆的半径设圆的半径X服从区间服从区间(1,2)(1,2)上的均匀分布，上的均匀分布，求圆面积的分布密度函数。求圆面积的分布密度函数。答案：答案：10例题例题1,此类问题的基本做法此类问题的基本做法:先确定先确定Y的取值范围的取
4、值范围,其密度其密度函数在此范围外的取值为零函数在此范围外的取值为零,对此范围内用公式法对此范围内用公式法或者分布函数求导法或者分布函数求导法,最后写出函数最后写出函数.以下练习以下练习:11练习题练习题:12定理定理3.2 3.2 若随机变量若随机变量X和和随机变量随机变量Y=g(X)的密度的密度函数分别为函数分别为f X(x),fY(y),当当g(x)在不相重叠的区在不相重叠的区间间 I1，I2，,Ik上上是严格单调是严格单调函数且可导，则函数且可导，则其中其中 为为 在在Ii上的反函数上的反函数2.2.分段严格单调可导函数分段严格单调可导函数最好不要套用定理最好不要套用定理,还是由还是由
5、”分布函数求导法分布函数求导法”来求解来求解!13例例 设设X N（0，1），），其概率密度为其概率密度为：则则概率密度函数为概率密度函数为：此时称此时称Y 服从自由度为服从自由度为1 1的的 -分布分布,记作记作 结论：若结论：若 ,则则14解解因此对于因此对于首先注意到首先注意到则则有有对对不是单调的，但却不是单调的，但却是分段单调的。是分段单调的。是单调下降的，是单调下降的，是单调上升的，是单调上升的，1).公式法公式法(自己看自己看)152).2).分布函数求导法分布函数求导法:因此对因此对首先首先当当 时时,有有对其求导对其求导,所以所以,16若若 结果怎样结果怎样?17例例3.15
6、(3).设设X的密度函数的密度函数求求 的密度函数的密度函数.解解.因为因为 所以只要考虑所以只要考虑当当 时时,求导求导,得得18当当 时时,求导求导,得得故故19解题步骤解题步骤:20设设 是二维连续型随机变量是二维连续型随机变量,其联合分布密度为其联合分布密度为 则则 是一维的连续型随机变量是一维的连续型随机变量?其分布函数为其分布函数为 是二元连续函数，是二元连续函数，其分布密度函数为其分布密度函数为 二二.多维随机变量函数的密度函数多维随机变量函数的密度函数基本步骤基本步骤(分布函数求导法分布函数求导法)211).1).如果如果(X,Y)的联合分布密度函数为的联合分布密度函数为f(x
7、,y)，则，则Z=X+Y的分布密度函数为的分布密度函数为 或或 特别地，当特别地，当X,Y 相互独立时，有相互独立时，有卷积公式卷积公式 或或 1.和的分布和的分布22证明证明.设设(X,Y)的密度函数为的密度函数为f(x,y),则则Z=X+Y的分布的分布函数为函数为所以所以,对对z求导求导,令令对对f(x,y)沿着沿着x+y=z积分积分对于相互独立的对于相互独立的X,Y,则则23例例3.16 如果如果X与与Y相互独立相互独立记住结论记住结论,证明过程证明过程感兴趣自己看感兴趣自己看.进一步进一步,24例例3.17如果如果 在小于在小于0上取上取0值值,则积分都是类则积分都是类似的似的,卷积的
8、积分限限制到卷积的积分限限制到(0,z).25当当 时时,解解当当 时时,所以所以练习题练习题.X,Y相互独立相互独立,且都服从参数为且都服从参数为 的指数的指数分布分布,求求Z=X+Y的密度函数的密度函数.2627282.例例3.18 设设X,Y 相互独立相互独立,N(0,1),求求Z 的密度函数的密度函数.例例3.14 自由度为自由度为1的的 分布分布,例例3.18自由度为自由度为2的的 分布分布.如果随机变量是如果随机变量是n个相互独立的标准正态分个相互独立的标准正态分布的平方和布的平方和,则其是自由度为则其是自由度为n的的 分布分布.293.若若(X,Y)的密度函数为的密度函数为f(x,y),则则Z的密度函数为的密度函数为沿着沿着yz=x,对对y积分积分.304.极大值和极小值的分布极大值和极小值的分布设设 相互独立相互独立,令令希望得到希望得到 的分布的分布.31若为同分布若为同分布,则则而而而而32两个非同分布独立随机变量情形两个非同分布独立随机变量情形:33其它类型其它类型34例例 设二维随机变量（设二维随机变量（X,Y）的概率密度为）的概率密度为求随机变量求随机变量 Z=X+2Y 的密度函数的密度函数.解解所求分布函数为所求分布函数为 分布密度函数为分布密度函数为 35练习题练习题3637