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1、 设随机变量设随机变量X和和Y的数学期望都是的数学期望都是2，方差分，方差分别为别为1和和4，而相关系数为，而相关系数为0.005，则根据切比雪夫，则根据切比雪夫不等式求：不等式求：解：解：1、契比雪夫不等式可以用来干什么？、契比雪夫不等式可以用来干什么？一、复习：一、复习：则则2、大数定律的含义是什么？、大数定律的含义是什么？独立同分布大数定律说明：经过算术平均后得独立同分布大数定律说明：经过算术平均后得到的随机变量的取值比较紧密地聚集在它的期望到的随机变量的取值比较紧密地聚集在它的期望值附近。值附近。贝努利大数定律说明：当贝努利大数定律说明：当n充分大时，事件充分大时，事件A发发生的频率与
2、其概率的绝对偏差小于任意给定的正数生的频率与其概率的绝对偏差小于任意给定的正数3、中心极限定理可以用来干什么？、中心极限定理可以用来干什么？某计算机系统有某计算机系统有120个终端，每个终端在个终端，每个终端在1小小时内平均有时内平均有3分钟使用打印机，假定各终端使用分钟使用打印机，假定各终端使用打印机与否是相互独立的，求至少有打印机与否是相互独立的，求至少有10个终端个终端同时使用打印机的概率。同时使用打印机的概率。解：解：设设X=计算机使用打印机的终端数计算机使用打印机的终端数则则数理统计学数理统计学是数学的一个分支学科是数学的一个分支学科,研究怎样有效地收集研究怎样有效地收集,整理和分析
3、带有随整理和分析带有随据据,以对所观察的问题作出推断以对所观察的问题作出推断机性的数机性的数或预测或预测,直至为采取一定的直至为采取一定的决策和行动提决策和行动提供依据与建议。供依据与建议。数理统计学就是这样一门学科：数理统计学就是这样一门学科：它使用它使用概率论和数学的方法概率论和数学的方法,研究怎研究怎样收集样收集(通过试通过试验或观察验或观察)带有随机带有随机误差的数据误差的数据,并在设定的并在设定的模型模型(称为称为统计模型统计模型)之下之下,对这种数据进行分对这种数据进行分析析(称为统计分析称为统计分析),以对所研究的问以对所研究的问题作出推题作出推断断(称为统计推断称为统计推断).
4、已故中科院院士陈希孺已故中科院院士陈希孺对数理统计学的定义对数理统计学的定义本书前五章的研究属于概率论的范畴。本书前五章的研究属于概率论的范畴。在那里，随机变量及其概率分布全面描述了在那里，随机变量及其概率分布全面描述了随机现象的统计规律，在概率论的许多问题中，随机现象的统计规律，在概率论的许多问题中，概率分布通常被假定为已知的，而一切计算推理概率分布通常被假定为已知的，而一切计算推理均基于这个这个已知的分布进行，但在实际问题均基于这个这个已知的分布进行，但在实际问题情形往往并非如此。情形往往并非如此。例例1、某公司要采购一批产品，每件产品、某公司要采购一批产品，每件产品要么是正品，要么是次品
5、，若设这批产品的次要么是正品，要么是次品，若设这批产品的次随机抽取一件，用随机抽取一件，用X服从服从0-1分布分布B（1,p），但），但品率为品率为p（一般是未知的），则从该批产品中（一般是未知的），则从该批产品中分布中参数分布中参数p是不知道的。显然，是不知道的。显然，p的大小决定的大小决定了该批产品的质量，它直接影响采购行为的经济了该批产品的质量，它直接影响采购行为的经济效益，故人们对效益，故人们对p提出一些问题：提出一些问题：p的大小如何？的大小如何？p大概落在什么范围？大概落在什么范围？能否认为能否认为p满足设定要求（如满足设定要求（如 ）？）？第六章第六章 样本及其分布样本及其分布第
6、一节第一节随机样本和统计量随机样本和统计量1、总体：总体：一、总体、个体一、总体、个体研究的对象的某个研究的对象的某个(或某些或某些)数量指标的数量指标的 X的分布函数和数字特征称为总体的分布函数的分布函数和数字特征称为总体的分布函数全体全体,称为称为总体总体(母体母体)，和数字特征和数字特征.它是一个随机变量它是一个随机变量(或多维随机变量或多维随机变量).).记为记为X.的某个取值的某个取值.用用 表示表示.即总体的每个数量指标即总体的每个数量指标,可看作随机变量可看作随机变量 X 2 2、个体、个体:组成总体的每一个元素称为个体组成总体的每一个元素称为个体.例例2、考察某批灯泡的质量时，
7、该批灯泡的全体、考察某批灯泡的质量时，该批灯泡的全体就是总体；就是总体；其中每一个灯泡就是个体。其中每一个灯泡就是个体。例例3、考察某城市的人口时，该城市人口的全体、考察某城市的人口时，该城市人口的全体就是总体；就是总体；其中每一个市民就是个体。其中每一个市民就是个体。从总体中抽取的部分个体称为样本，从总体中抽取的部分个体称为样本，容量为容量为n的样本可以看作的样本可以看作n维随机变量维随机变量.样本中所包含的个体数目称为样本容量样本中所包含的个体数目称为样本容量.例如，考察某批灯泡的质量时，从该批灯泡中抽取例如，考察某批灯泡的质量时，从该批灯泡中抽取16只灯泡，检验它们的寿命，只灯泡，检验它
8、们的寿命，一个样本，一个样本，用用表示表示,则则16只灯泡就是只灯泡就是且样本容量为且样本容量为16。3、样本、样本样本是随机变量样本是随机变量,例如上面抽到哪例如上面抽到哪16只是随机的只是随机的.但是但是,一旦取定一组样本一旦取定一组样本,得到的是得到的是n个具体的数个具体的数(x1,x2,xn)，称为样本的一次观察值，称为样本的一次观察值，简称样本值简称样本值由于抽样的目的是为了对总体进行统计推断，由于抽样的目的是为了对总体进行统计推断，为了使抽取的样本能很好地反映总体的信息，必为了使抽取的样本能很好地反映总体的信息，必须考虑抽样方法须考虑抽样方法.X1,X2,Xn是相互独立的随机变量是
9、相互独立的随机变量.最常用的一种抽样方法叫作最常用的一种抽样方法叫作“简单随机抽样简单随机抽样”X1,X2,Xn中每一个与所考察的总体中每一个与所考察的总体1)代表性：代表性：2)独立性：独立性：它要求抽取的样本满足下面两点它要求抽取的样本满足下面两点:有相同的分布有相同的分布.由简单随机抽样得到的样本由简单随机抽样得到的样本若总体的分布函数为若总体的分布函数为F(x)，则简单随机样本的，则简单随机样本的4、简单随机样本：简单随机样本：称为称为简单随机样本简单随机样本，它可以用与总体独立同分布的，它可以用与总体独立同分布的n个相互独立的随机变量个相互独立的随机变量X1,X2,Xn表示表示.联合
10、分布函数为：联合分布函数为：若总体若总体X的概率密度为的概率密度为则则X1,X2,Xn的联合密度为：的联合密度为：二、频率直方图二、频率直方图设总体设总体X是一个连续型随机变量，是一个连续型随机变量，下面介绍下面介绍体体X的概率密度的概率密度 的图解法频率直方图。的图解法频率直方图。一种根据样本观察值一种根据样本观察值 来近似求出总来近似求出总设设 和和 分别是分别是的最大值和最的最大值和最小值，选取略小于小值，选取略小于的数的数a和略大于和略大于的数的数b，并在区间并在区间(a,b中插入若干个分点中插入若干个分点于是把区间于是把区间(a,b分成分成 r+1个小区间：个小区间：且且计算样本观察
11、值落入第计算样本观察值落入第个小区间个小区间的的个数个数(即频数即频数)，而而称为样本观察值落入称为样本观察值落入的频率，的频率，频率直方图：频率直方图：在在平面的上半平面上平面的上半平面上作以作以轴上的区间轴上的区间为底，以为底，以为高的矩形为高的矩形(如图如图)的图称为频率直方图。的图称为频率直方图。三、经验分布函数三、经验分布函数设设是总体是总体X的样本观察值，将它按的样本观察值，将它按大小次序排列如下：大小次序排列如下：例例4、从总体、从总体X中获得一组样本观察值如下：中获得一组样本观察值如下：-1，-0.5，0，1，1.5，2,求经验分布函数。求经验分布函数。四、统计量四、统计量1.
12、统计量：统计量：不含任何未知参数的样本的函数称不含任何未知参数的样本的函数称为统计量为统计量.它是完全由样本决定的量它是完全由样本决定的量.例例4、设总体服从正态分布、设总体服从正态分布其中其中未知未知X1,X2,Xn为总体为总体X的一个样本，则的一个样本，则2.几个常见统计量几个常见统计量1)样本均值样本均值:2)样本方差样本方差:3)样本样本k阶原点矩阶原点矩:4)样本样本k阶中心矩阶中心矩:k=1,2,第六章第六章 样本及其分布样本及其分布第二节第二节几个常用的分布几个常用的分布一、标准正态分布的上分位点：一、标准正态分布的上分位点：例例1、求、求设设相互独立相互独立,都服从正态都服从正
13、态正态分布正态分布N(0,1),则称随机变量则称随机变量所服从的分布为自由度为所服从的分布为自由度为 n 的的 分布分布.分布的密度函数为分布的密度函数为设设相互独立相互独立,都服从正态分布都服从正态分布结论结论1：结论结论2：结论结论3：结论结论4：则则n=2n=3n=5n=10n=15例例2、求、求t 分布密度函数为分布密度函数为记为：记为：Tt(n).2、t 分布分布设设XN(0,1),Y,且且X与与Y相互独立，相互独立，则称变量则称变量所服从的分布为所服从的分布为自由度为自由度为n的的t 分布分布.t 分布的密度函数关于分布的密度函数关于x=0对称，且对称，且当当n充分大时，充分大时，
14、结论结论1：结论结论2：其图形近似于标准正态分布密度函数的图形其图形近似于标准正态分布密度函数的图形.t分布的图形分布的图形(红色的是标准正态分布红色的是标准正态分布)n=1 1n=2020由由 t 分布的上分布的上分位点的定义及概率密度分位点的定义及概率密度图形的对称性有：图形的对称性有：例例3、求、求例例4、设随机变量、设随机变量X和和Y相互独立且都服从正态分相互独立且都服从正态分布布N(0，32)，而而X1,X2,X9和和Y1,Y2,Yn分别分别是来自总体是来自总体X和和Y的简单随机样本，问统计量的简单随机样本，问统计量服从什么分布？服从什么分布？参数是多少？参数是多少？解：解：且且X1,X2,X9相互独立相互独立于是于是又又且且Y1,Y2,Y9 相互独立相互独立于是于是由定义可见，由定义可见，3.F分布分布F(n,m).记为记为FF(m,n).设设F分布的概率密度为分布的概率密度为例例5、求、求例例6、设随机变量、设随机变量证明：证明：证明：证明：假设假设且且U，V相互独立相互独立则则而而于是于是P180 2 3 2）4）