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1、1.2 概率的定义及其性质概率的定义及其性质 几何定义几何定义 统计定义统计定义 古典定义古典定义概率的公理化定义概率的公理化定义课程邮箱：buaaprobability 密 码：111222我的邮箱：定义 设 E 是一随机试验，它具有下列特点：q 基本事件的个数有限q 每个基本事件发生的可能性大小相同则称 E 为 等可能概型等可能概型中概率的计算：记 则 等可能（古典）概型等可能（古典）概型q 非负性：q 规范性：q 有限可加性：其中 为两两互斥事件。古典概型的性质：例1.从1至9这九个号码中，随机的取4个号码，数码之和为奇数的概率p=例2投掷三颗骰子，其中一个出现点数为5，而另外两个出现的
2、点数不同且不等于5的概率为例3 5个有区别的球随机的放入10个盒内，求恰有且仅有2个球放在同一盒内的概率。以放球的方法为样本！例例4（分房问题）设有 k 个不同的球，每个球 等可能地落入 N 个盒子中（）,设每 个盒子容纳的球数无限，求下列事件的概 率（1）某指定的 k 个盒子中各有一球；（2）恰有 k 个盒子中各有一球；（3）某指定的一个盒子没有球；（4）某指定的一个盒子恰有 m 个球()；（5）至少有两个球在同一盒子中解解设（1）（5）的各事件分别为则例例5 某人的表停了，他打开收音机听电台报时，已知电台是整点报时的，问他等待报时的时 间短于十分钟的概率9点10点10分钟几何概型几何概型
3、(等可能概型的推广)几何概型几何概型 设样本空间是一个有限区域S，若样本点落入S内任何区域A 中的概率与区域A 的测度成正比，则样本点落入A内的概率为q 非负性：q 规范性：q 有限可加性：其中 为两两互斥事件。几何概型的性质：q 可列限可加性：其中 为两两互斥事件。例例6 两船欲停靠同一个码头,设两船到达码头的时间各不相干，而且到达码头的时间在一昼夜内是等可能的.如果两船到达码头后需在码头停留的时间分别是1 小时与2 小 时，试求在一昼夜内，任一船到达时，需 要等待空出码头的概率.解解 设船1 到达码头的瞬时为 x，0 x 24 船2 到达码头的瞬时为 y，0 y 24设事件 A 表示任一船
4、到达码头时需要等待 空出码头xy2424y=xy=x+1y=x-2定义 设在 n 次试验中，事件 A 发生了nA 次，则称为事件A 在这 n 次试验中发生的频率 统计定义频率频率的性质q q 事件 A,B互斥，则可推广到有限个两两互斥事件的和事件非负性q 规范性可加性q 稳定性投一枚硬币观察正面向上的次数Buffon n=4040,nH=2048,f n(H)=0.5069Pearson n=12000,nH=6019,f n(H)=0.5016n=24000,nH=12012,f n(H)=0.5005频率稳定性的实例 蒲丰投币 皮尔森投币例例 Dewey G.统计了约438023个英语单词
5、中各 字母出现的频率，发现各字母出现的频率 不同：A:0.0788 B:0.0156 C:0.0268 D:0.0389E:0.1268 F:0.0256 G:0.0187 H:0.0573I:0.0707 J:0.0010 K:0.0060 L:0.0394M:0.0244 N:0.0706 O:0.0776 P:0.0186Q:0.0009 R:0.0594 S:0.0634 T:0.0987U:0.0280 V:0.0102 W:0.0214 X:0.0016Y:0.0202 Z:0.0006概率的公理化定义 设 是随机试验E 的样本空间，若能找到一个法则，使得对于E 的每一事件 A 赋
6、于一个实数，记为P(A),称之为事件 A 的概率，这种赋值满足下面的三条公理：q 非负性：q 规范性：q 可列可加性：其中 为两两互斥事件，概率的定义概率的定义概率的公理化理论由前苏联数学家柯尔莫哥洛夫(A.H.)1933年建立.概率的性质概率的性质q q q 有限可加性:设 为两两互斥事件，q 若q 加法公式：对任意两个事件A,B,有 推广：一般：例例7 小王参加“智力大冲浪”游戏,他能答出第 一类问题的概率为0.7,答出第二类问题的概率为0.2,两类问题都能答出的概率为0.1.求小王解解 设事件Ai 表示“能答出第 i 类问题”i=1,2(1)(1)答出第一类而答不出第二类问题的概率 (2
7、)两类问题中至少有一类能答出的概率 (3)两类问题都答不出的概率(2)(3)排列、组合有关知识复习：加法原理：完成一件事情有n 类方法，第 i 类方法中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情共有 种不同的方法乘法原理：完成一件事情有n 个步骤，第 i 个步骤中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情共有 种不同的方法排列：从 n 个不同的元素中取出 m 个（不放 回地）按一定的次序排成一排不同的 排法共有全排列可重复排列：从 n 个不同的元素中可重复地 取出 m 个排成一排,不同的排法有种不尽相异元素的全排列：n 个元素中有 m 类，第 i 类中有 个相同的元素，将这 n 个元素按一定的次序排成一排，种不同的排法共有，不同的分法共有多组组合：把 n 个元素分成 m 个不同的组（组编号），各组分别有 个元素，种组合：从 n 个不同的元素中取出 m 个（不放 回地）组成一组，不同的分法共有