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1、 概率论与数理统计概率论与数理统计第十六讲第十六讲主讲教师：柴中林副教授主讲教师：柴中林副教授中国计量学院理学院中国计量学院理学院6.4 正态总体正态总体6.4.1 2 分布分布它是由正态分布派生出来的一种分布。它是由正态分布派生出来的一种分布。定义定义1:设设 X1,X2,Xn 相互独立相互独立，且，且均均服从正态分布服从正态分布 N(0,1),则称随机变量则称随机变量服从自由度为服从自由度为 n 的的卡方卡方分布，记成分布，记成 。分布的密度函数为分布的密度函数为由由 分布的定义，不难得到其如下性质：分布的定义，不难得到其如下性质：进一步，由中心极限定理可以推出进一步，由中心极限定理可以推
2、出,n 充充分大时分大时,近似于标准正态分布近似于标准正态分布 N(0,1)。分布密度函数图形分布密度函数图形 n2 2 分布上分布上 分位点有表分位点有表可查，见附表可查，见附表4 4。对于对于给定的给定的(0,1),(0,1),称满足条件称满足条件的点的点 n2()为为 n n2 2分布的上分布的上(右右)分位点。分位点。分布分位点分布分位点t 分布的概率分布的概率密度为密度为为服从自由度为服从自由度 n 的的 t 分布，记为分布，记为 T tn。6.4.2 t 分布分布 定义定义2:设设 X N(0,1),Y n2,且且 X与与Y 相互独立，则称随机变量相互独立，则称随机变量t 分布的概
3、率分布的概率密度图形密度图形当当 n 充分大时，充分大时，f(x;n)趋近于标准正趋近于标准正态分布的概率密度。态分布的概率密度。数学期望与方差数学期望与方差若若 T tn,对给定的对给定的 (0,1)(0,1)，称满足条件称满足条件t 分布的分位点分布的分位点的点 tn()为为 tn 分布上分布上 分位点。分位点。t 分布的上分布的上 分位点有表分位点有表可查，见附表可查，见附表3 3。tn 分布上分布上 分位点分位点示意图示意图6.4.3 F 分布分布 则称则称 F=(X/m)/(Y/n)服从第一服从第一自由度为自由度为m，第二自由度为，第二自由度为n 的的 F 分布。记分布。记成成 F
4、Fm,n。定义定义3 3：F 分布的概率分布的概率密度为密度为 若若 FFm,n，对给定的，对给定的 (0,1),(0,1),称满足条件称满足条件F 分布的分位点分布的分位点的点的点 Fm,n()为为F分布的上分布的上 分位点。分位点。.F 分布上分布上 分位点有表分位点有表可查，见附表可查，见附表5 5。F 分布上分布上 分位点分位点示意图示意图 一个需要注意的问题一个需要注意的问题:这个关系式的证明如下：这个关系式的证明如下：证明：证明：若若 X Fm,n，则，则 Y=X-1-1 Fn,m。依分位点定义，依分位点定义，上式等价于上式等价于再根据再根据 Y(Fn,m)的上的上 分位点定分位点
5、定义义，有，有这就证明了这就证明了(1)式。式。在通常在通常 F 分布表中，只对分布表中，只对 比较小的值较小的值,如如 =0.01,0.05,0.025及及0.1等列出了分位点。等列出了分位点。但有时我们也需要知道但有时我们也需要知道 比较大的分位点，较大的分位点，它们在它们在 F 分布表中查不到。这时我们就可利用分布表中查不到。这时我们就可利用分位点的关系式分位点的关系式(1)把它们计算出来。把它们计算出来。例如：对例如：对m=12,n=9,=0.95,我我们们在在 F 分布表中分布表中查查不到不到 F12,9(0.95)，但由，但由(1)式，知式，知可从可从F 分布分布 表中查到表中查到
6、 还有一个重要结果还有一个重要结果:若若X tn,则则X2 2 F1,n。请同学们自己证明。请同学们自己证明。定理定理 1：6.4.4 正态总体样本均值与样本方差的分布正态总体样本均值与样本方差的分布证明：仅证（证明：仅证（1），其余的），其余的证明超出了教学范围，证明超出了教学范围，需了解请参阅附录需了解请参阅附录(p143145)。因因X1,X2,Xn是是正态总体的样本正态总体的样本。故故 X1,X2,Xn 独立同分布于正独立同分布于正态总体态总体,且有且有 E(E(X X)=)=，Var(Var(X)=)=2 2。由前面知识，由前面知识，也服从正态分布，且有也服从正态分布，且有 于是有于
7、是有 定理的内容在后面几章的讨论中将多次定理的内容在后面几章的讨论中将多次用到，希望大家牢记。用到，希望大家牢记。定理定理 1：6.4.5 两个正态总体的抽样分布两个正态总体的抽样分布证明：证明：（1 1）已知总体方差）已知总体方差2 2=16=16；（2 2）2未知，但已知样本方差的观测值未知，但已知样本方差的观测值s2=18.45.例例2：在设计导弹发射装置时，重要内容之一在设计导弹发射装置时，重要内容之一是研究弹着点偏离目标中心的距离的方差。是研究弹着点偏离目标中心的距离的方差。对于某类导弹发射装置，弹着点偏离目标中对于某类导弹发射装置，弹着点偏离目标中心的距离服从心的距离服从 N(,2
8、 2)，这里，这里 2=100米米2 2。现在进行了现在进行了25次发射试验，用次发射试验，用 S2 2 记这记这25次试次试验中弹着点偏离目标中心的距离的样本方差。验中弹着点偏离目标中心的距离的样本方差。求求:S S 2 2 超过超过50米米2 2的概率。的概率。解解:根据基本定理，知根据基本定理，知查附表查附表4,4,得到得到:所以，所以，例例3：设总体：设总体X服从正态分布服从正态分布N(20,52)，总体，总体Y服从正态分布服从正态分布N(10,22)，从总体，从总体X与与Y中分别中分别抽取容量为抽取容量为n1=10与与n2=8的样本，求：的样本，求：小结小结 本讲首先介绍数理统计中三个常用的重本讲首先介绍数理统计中三个常用的重要统计量的分布要统计量的分布:2分布、分布、t 分布和分布和 F 分布分布;然后以定理的形式然后以定理的形式(定理定理1)给出了正态总体给出了正态总体样本均值与样本方差的分布及其相关结论。样本均值与样本方差的分布及其相关结论。