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1、第二章随机变量及其分布第三讲第三讲常见的连续性常见的连续性随机变量的分布随机变量的分布导读内容导读内容 1 1、常用连续型随机变量的分布有哪些？它、常用连续型随机变量的分布有哪些？它们的概率密度函数是怎样的？们的概率密度函数是怎样的？2 2、均匀分布、正态分布和指数分布有哪些、均匀分布、正态分布和指数分布有哪些重要应用？如何解决实际问题？请查找资重要应用？如何解决实际问题？请查找资料举例说明。料举例说明。(1)均匀分布均匀分布常见的连续性随机变量的分布常见的连续性随机变量的分布若若X的概率密度函数为的概率密度函数为则称则称X服从区间服从区间(a,b)上的上的均匀分布均匀分布或称或称X服从服从参
2、数为参数为 a,b的的均匀分布均匀分布，记作，记作*显然显然 ，且，且*对于对于 中任一子区间中任一子区间 ，有，有 即即即即 X落在落在落在落在 中任一子区间中任一子区间 中的概率只与区间长中的概率只与区间长中的概率只与区间长中的概率只与区间长度有关度有关度有关度有关,而与位置无关而与位置无关而与位置无关而与位置无关,这反映了某种这反映了某种这反映了某种这反映了某种“等可能性等可能性等可能性等可能性”,即即即即 在区间在区间在区间在区间 上上上上“等可能取值等可能取值等可能取值等可能取值”例例1:1:设连续型随机变量设连续型随机变量X X在在a,ba,b上服从均匀分上服从均匀分布，求其分布函
3、数布，求其分布函数.解解因为因为 所以当时所以当时当时当时当时当时即即 xf(x)abxF(x)ba 例例2宁波的路公共汽车每隔宁波的路公共汽车每隔15分钟一趟，分钟一趟，若一乘客到某站点的时间是随机的，问其候车时间若一乘客到某站点的时间是随机的，问其候车时间超过超过8分钟的概率是多少？分钟的概率是多少？解解设设X为候车时间，则为候车时间，则X在在0,15上服从均匀分布，上服从均匀分布，其概率密度函数为其概率密度函数为 0 x15 其他其他 (2)指数分布指数分布若若 的概率密度函数为的概率密度函数为则称则称 服从参数为服从参数为 的的指数分布，记作指数分布，记作 0 为常数*显然显然 ，且，
4、且容易求得，容易求得，指数分布的分布函数为指数分布的分布函数为 应用场合应用场合用指数分布描述的实例有：用指数分布描述的实例有：随机服务系统中的服务时间随机服务系统中的服务时间电话问题中的通话时间电话问题中的通话时间无线电元件的寿命无线电元件的寿命动物的寿命动物的寿命 指数分布指数分布常作为各种常作为各种“寿命寿命”分布的近似分布的近似 例例3假设某元件的寿命服从参数假设某元件的寿命服从参数 =0.0015的指数的指数分布，求它使用分布，求它使用1000小时后还没有坏的概率小时后还没有坏的概率.解解设设X为该元件的寿命，则为该元件的寿命，则解解（1）（2）故又把指数分布称为故又把指数分布称为“
5、永远年轻永远年轻”的分的分布布(3)正态分布正态分布若随机变量若随机变量 的概率密度函数为的概率密度函数为则称则称 服从参数为服从参数为 ,2 的的正态分布正态分布记作记作 N(,2)为常数，为常数，正正正正态态态态分分分分布布布布是是是是德德德德国国国国数数数数学学学学家家家家高高高高斯斯斯斯在在在在研研研研究究究究误误误误差差差差理理理理论论论论时时时时得得得得到到到到的的的的，故正态分布也称为，故正态分布也称为，故正态分布也称为，故正态分布也称为高斯分布高斯分布高斯分布高斯分布.Xf(x)的性质的性质：1.图形关于直线图形关于直线 x=对称对称,即即且在且在 x=时时,f(x)取得最大值
6、取得最大值2.在在 x=时时,曲线曲线 y=f(x)在对应的在对应的 点处有拐点点处有拐点3.曲线曲线 y=f(x)以以 x 轴为渐近线轴为渐近线4.曲线曲线 y=f(x)的图形呈单峰状的图形呈单峰状f(+x)=f(-x)正态分布图象正态分布图象 位置参数位置参数即固定即固定 ,对于不同的对于不同的 ,对应的对应的 f(x)的形的形状不变化，只是位置不同状不变化，只是位置不同。形状参数形状参数固定固定 ，对于不同的，对于不同的 ，f(x)的形状不同的形状不同.若若 1 2 则则附近值的概率更大。附近值的概率更大。前者取前者取 服从正态分布的指标有什么特点服从正态分布的指标有什么特点服从正态分布
7、的指标有什么特点服从正态分布的指标有什么特点一般说，若影响某一数量指标的随机因素很多，而每一般说，若影响某一数量指标的随机因素很多，而每一般说，若影响某一数量指标的随机因素很多，而每一般说，若影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用都不太大，则这个指标服从正态分布个因素所起的作用都不太大，则这个指标服从正态分布个因素所起的作用都不太大，则这个指标服从正态分布个因素所起的作用都不太大，则这个指标服从正态分布.为什么叫为什么叫为什么叫为什么叫“正态正态正态正态”分布分布分布分布正正正正态态态态分分分分布布布布密密密密度度度度呈呈呈呈现现现现“中中中中间间间间高高高高，两两两两头头头头低
8、低低低”的的的的形形形形态态态态，它它它它描描描描述述述述了了了了自自自自然然然然界界界界大大大大量量量量存存存存在在在在的的的的随随随随机机机机现现现现象象象象，所所所所以以以以正正正正态态态态分分分分布布布布是自然界的一种是自然界的一种是自然界的一种是自然界的一种“正常状态正常状态正常状态正常状态 (normal)(normal)”的分布的分布的分布的分布.正态分布具有许多良好的性质，许多分布可用正态分布具有许多良好的性质，许多分布可用正态分布来近似，在数理统计中解决实际问题时用正态分布来近似，在数理统计中解决实际问题时用得最多的就是正态分布或与正态分布有关得最多的就是正态分布或与正态分布
9、有关.Ox-8-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8这是什么曲线这是什么曲线这是什么曲线这是什么曲线?高尔顿钉板试验高尔顿钉板试验可用正态变量描述的实例极多：可用正态变量描述的实例极多：各种测量的误差；各种测量的误差；炮弹弹着点；炮弹弹着点；工厂产品的尺寸；工厂产品的尺寸；农作物的收获量；农作物的收获量；海洋波浪的高度；海洋波浪的高度；金属线抗拉强度；金属线抗拉强度；一个地区的家庭年收入；一个地区的家庭年收入；一个班的某门课程的考试成绩；一个班的某门课程的考试成绩；成年人的各种生理指标：成年人的各种生理指标：身高、体重、血压、视力、智商等身高、体重、血压、视力
10、、智商等气象中的月平均气温、湿度、降水量等气象中的月平均气温、湿度、降水量等分布函数分布函数其值有专门的表供查其值有专门的表供查.（4 4）标准正态分布标准正态分布N N(0,1)(0,1)密度函数密度函数因此，当因此，当X XN(0,1)N(0,1)，有，有 注：注：将将的数的数值值列成表格，列成表格，则计则计算算服从服从标标准正准正态态分分布的随机布的随机变变量量X X落在某个区落在某个区间间内内的概率的概率只需直接只需直接查查表表，而无需每次去而无需每次去计计算定算定积积分分 其查表的方法如下：其查表的方法如下：（1）（）（）例例设设X XN(0,1)N(0,1)，利用利用 的数值表计算
11、：的数值表计算：解解 故服从正态分布故服从正态分布的随机变量的随机变量X X的概率可以通的概率可以通过过查正态分布表查正态分布表求得求得.定理：定理：定理：定理：若若若若则则则则 一般正态分布概率的计算一般正态分布概率的计算 解解 补充补充1 1：3 3 原理原理设 X N(,2),求解解注：注：一次试验中一次试验中,X 落入区间落入区间(-3 3 ,+3 3 )的概率为的概率为 0.9974,0.9974,而超出此区间可能性很小。而超出此区间可能性很小。补充补充2 2：标准正态分布的上标准正态分布的上 分位数分位数 z z 设设 X N(0,1),0 1,称满足称满足的点的点 z 为为X 的的上上 分位数分位数 z常用常用数据数据解解 所以所以查表得查表得从而从而解解 所求的所求的d d 应满足应满足由于由于(x)(x)为单增函数，查表知为单增函数，查表知 即即例例4:4:将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内,调节器设定在调节器设定在d,d,液体的温度液体的温度X(X(以以计计)是随机变量是随机变量,且且X XN(d,0.5N(d,0.52 2).).若要求保持液体的温度至少为若要求保持液体的温度至少为80 80 的概率的概率不低于不低于0.99,0.99,问问d d至少为多少至少为多少?