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1、 二、用空间向量处理“垂直”问题 第1页/共26页空间中的角角的分类角的分类向量求法向量求法范围范围异面直线异面直线所成的角所成的角设两异面直线所成的角为设两异面直线所成的角为，它们的方，它们的方向向量分别为向向量分别为a，b，则，则cos _直线与平直线与平面所成的面所成的角角设直线设直线l与平面与平面所成的角为所成的角为，l的方向的方向向量为向量为a，平面，平面的法向量为的法向量为n，则，则sin _二面角二面角设二面角设二面角l的平面角为的平面角为，平面，平面、的法向量为的法向量为n1，n2，则，则|cos|_0，|cosa，b|2|cosa，n|cosn1，n2|第2页/共26页题型一
2、题型一求异面直线的夹角求异面直线的夹角 正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是A1D1、A1C1的中点，求异面直线AE与CF所成角的余弦值【例例1】解解不妨设正方体棱长为2，分别取DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则第3页/共26页规律方法规律方法 在解决立体几何中两异面直线所成角问题时，若能构建空间直角坐标系，则建立空间直角坐标系，利用向量法求解但应用向量法时一定要注意向量所成的角与异面直线所成角的区别第4页/共26页 四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60，在四边形ABCD中，ADCDAB90，AB4，CD1，A
3、D2.(1)建立适当的坐标系，并写出点B、P的坐标；(2)求异面直线PA与BC所成的角的余弦值【变式变式1】解解(1)如图，建立空间直角坐标系如图，建立空间直角坐标系ADCDAB90，AB4，CD1，AD2.A(2，0，0)，C(0，1，0)，B(2，4，0)由由PD平面平面ABCD，得，得第5页/共26页第6页/共26页 思路探索思路探索 利用正三棱柱的性质，建立适当的空间直角坐标系，写出有关点的坐标求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，取A1B1的中点M，连结C1M，证明C1AM是是AC1与平面与平面A1ABB1所成的角；另一所成的角；另一种是利用平面种是利用平面A1ABB1的法向量的法
4、向量n(，x，y)求解求解题型题型二二求线面角求线面角【例例2】第7页/共26页第8页/共26页第9页/共26页第10页/共26页规律方法规律方法 用向量法求线面角的一般步骤是：先利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量有关知识求解线面角法二给出了用向量法求线面角的常用方法，即先求平面法向量与斜线夹角，再进行换算第11页/共26页【变式变式2】第12页/共26页第13页/共26页第14页/共26页 (12分)如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点，求二面角AA1DB的余弦值题型题型三三二面角的求法二面角的求法【例例3】第15页/共26页 规范解答规范
5、解答如图所示，取BC中点O，连结AO.因为ABC是正三角形，所以AOBC，因为在正三棱柱ABC A1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1，所以AO平面BCC1B1.第16页/共26页第17页/共26页【题后反思题后反思】几何法求二面角，往往需要作出其平面角，这是该方法的一大难点而用向量法求解二面角，无需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，转化为两直线(或两向量)所成的角，通过向量的数量积运算即可获解，体现了空间向量的巨大优越性第18页/共26页【变式变式3】第19页/共26页第20页/共26页 空间向量的具体应用主要体现为两种方法向量法和坐标法这两种方法的思想都是利用空间向量表示立体图
6、形中的点、线、面等元素，建立立体图形和空间向量之间的联系，然后进行空间向量的运算，最后把运算结果回归到几何结论这样就把立体几何问题转化为空间向量来研究，体现了化归与转化思想 方法技巧化归与转化思想解决立体几何问题方法技巧化归与转化思想解决立体几何问题第21页/共26页(1)证明：直线MN平面OCD；(2)求异面直线AB与MD所成角的大小思路分析思路分析 建系求相关点坐标求相关点坐标求相关向量坐标求相关向量坐标向量运算向量运算结论结论解解作APCD于点P，分别以AB，AP，AO所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz，如图所示，【示示例例】第22页/共26页第23页/共26页第24页/共26页第25页/共26页感谢您的观看！第26页/共26页