《等比数列的性质.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《等比数列的性质.pptx（27页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、等比数列的项与序号的关系以及性质等比数列的项与序号的关系以及性质设等比数列设等比数列an的公比为的公比为q.(1)两项关系：两项关系：an_(m，nN*)(2)多项关系：若多项关系：若mnpq(m，n，p，qN*)，则，则aman_.(3)若若m，n，p(m，n，pN*)成等差数列时，成等差数列时，am，an，ap成成等比数列等比数列等比数列的项的对称性等比数列的项的对称性有穷等比数列中，与首末两项有穷等比数列中，与首末两项“等距离等距离”的两项之积等于首末的两项之积等于首末两两自学导引自学导引12amqnmapaqan1ank1第1页/共28页等比数列的等比数列的“子数列子数列”的性质的性质
2、若数列若数列an是公比为是公比为q的等比数列，则的等比数列，则(1)an去掉前几项后余下的项仍组成公比为去掉前几项后余下的项仍组成公比为_的等比数的等比数列；列；(2)奇数项数列奇数项数列a2n1是公比为是公比为_的等比数列；的等比数列；偶数项数列偶数项数列a2n是公比为是公比为_的等比数列；的等比数列；(3)在数列在数列an中每隔中每隔k(kN*)取出一项，按原来顺序组取出一项，按原来顺序组成新数列，则新数列仍为等比数列且公比为成新数列，则新数列仍为等比数列且公比为qk1.3qq2q2第2页/共28页 ：如果等比数列如果等比数列an中，中，mn2k(m，n，kN*)，那么，那么amanak2
3、是否成立？反之呢？是否成立？反之呢？提示提示：如果等比数列的三项的序号成等差数列，那么：如果等比数列的三项的序号成等差数列，那么对应的项成等比数列对应的项成等比数列事实上，若事实上，若mn2k(m，n，kN*)，则则aman(a1qm1)(a1qn1)a12qmn2a12(qk1)2ak2.在等比数列在等比数列an中，若中，若amanapaqak2，不一定有，不一定有mnpq2k，如非零常数列，如非零常数列第3页/共28页等比数列的单调性等比数列的单调性(1)当当q1，a10或或0q1，a11，a10或或0q0时，等比数列时，等比数列an是递减数是递减数列列(3)当当q1时，等比数列时，等比数
4、列an是常数列是常数列(4)当当q0，且，且a2a42a3a5a4a636，求，求a3a5的值；的值；(2)若若a1a2a37，a1a2a38，求数列，求数列an的通项公的通项公式式思路探索思路探索 应用等比数列的性质：应用等比数列的性质：a2a4a32，a4a6a52，a1a3a22，化简已知，可求解，化简已知，可求解解解(1)法一法一an0，a10，q0.又又a2a42a3a5a4a636，a1qa1q32a1q2a1q4a1q3a1q536，即即a12q42a12q6a12q836，【例1】第6页/共28页a12q4(12q2q4)36，即，即a12q4(1q2)236，a1q2(1q2
5、)6，a3a5a1q2a1q4a1q2(1q2)6.法二法二a2a42a3a5a4a636，a322a3a5a5236，(a3a5)236，a3a56.(2)a22a1a3代入已知，得代入已知，得a238，a22.第7页/共28页 在等比数列的有关运算中，常常涉在等比数列的有关运算中，常常涉及到次数较高的指数运算若按常规解法，往及到次数较高的指数运算若按常规解法，往往是建立往是建立a1，q的方程组，这样解起来很麻烦，的方程组，这样解起来很麻烦，通过本例可以看出：结合等比数列的性质进行通过本例可以看出：结合等比数列的性质进行整体变换，会起到化繁为简的效果整体变换，会起到化繁为简的效果第8页/共2
6、8页(2)已知数列已知数列an成等比数列若成等比数列若a3a4a58，求，求a2a3a4a5a6的值的值解解(1)在等比数列在等比数列an中，中，a1a9a3a7，由已知可得：由已知可得：a3a764与与a3a720联立得：联立得：【变式1】(1)在递增等比数列an中，a1a964，a3a720，求a11的值第9页/共28页第10页/共28页 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二，第二个数与第三个数的和是个数与第三个数的和是12，求这四个数，求这四个数思路探
7、索思路探索 根据等差数列和等比数列的性质，设出未根据等差数列和等比数列的性质，设出未知数，结合题中条件求解即可知数，结合题中条件求解即可题型题型二二灵活设项求解等比数列灵活设项求解等比数列【例2】第11页/共28页所以，当所以，当a4，d4时，所求四个数为时，所求四个数为0,4,8,16；当当a9，d6时，所求四个数为时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为故所求四个数为0,4,8,16或或15,9,3,1.当当a8，q2时，所求四个数为时，所求四个数为0,4,8,16；故所求四个数为故所求四个数为0,4,8,16或或15,9,3,1.第12页/共28页第13页/共28页 三个数成等比
8、数列，其积为三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与，如果第一个数与第三个数各减去第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数，则这三个数成等差数列，求这三个数【变式2】第14页/共28页 某市某市2010年新建住房年新建住房400万平方米，其中万平方米，其中250万平万平方米是中低价房，预计今年后的若干年内，该市每年方米是中低价房，预计今年后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建另外，每年新建住房中，中低价房的面积比上一年增加住房中，中低价房的面积比上一年增加50万平方米，万平方米，那么到哪一年底那么到哪一年底(1)该市历
9、年所建中低价房的累计面积该市历年所建中低价房的累计面积(以以2010年为累计年为累计的第一年的第一年)将首次不少于将首次不少于4 750万平方米？万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于比例首次大于85%.思路探索思路探索 本题主要考查构建数学模型解决实际问题，本题主要考查构建数学模型解决实际问题，通过阅读之后，找出题目中的相关信息，构造等差数通过阅读之后，找出题目中的相关信息，构造等差数列和等比数列列和等比数列题型题型三三等比数列的实际应用等比数列的实际应用【例3】第15页/共28页解解 (1)设中低价房面积构成数列
10、设中低价房面积构成数列an，由题意可知，由题意可知，an是等差数列，其中是等差数列，其中a1250，d50，令令25n2225n4 750，即，即n29n1900，解得解得n19或或n10，而，而n是正整数是正整数n10.故到故到2019年年底，该市历年所建中低价房的累计面积年年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于将首次不少于4 750万平方米万平方米第16页/共28页(2)设新建住房面积构成数列设新建住房面积构成数列bn，由题意可知，由题意可知，bn是等比数列，是等比数列，其中其中b1400，q1.08，则，则bn400(1.08)n1，由题意可知由题意可知an0.85bn，即即2
11、50(n1)50400(1.08)n10.85满足上述不等满足上述不等式的最小正整数式的最小正整数n6.故到故到2015年年底，当年建造的中低价房的面积占该年年年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于建造住房面积的比例首次大于85%.第17页/共28页 本题将实际问题抽象出一个数列问题，解本题将实际问题抽象出一个数列问题，解决数列应用题的关键是读懂题意，建立数学模型，弄决数列应用题的关键是读懂题意，建立数学模型，弄清问题的哪一部分是数列问题，是哪种数列在求解清问题的哪一部分是数列问题，是哪种数列在求解过程中应注意首项的确立，时间的推算不要在运算过程中应注意首项的确立，时间
12、的推算不要在运算中出现问题中出现问题第18页/共28页 始于始于2007年初的美国次贷危机，至年初的美国次贷危机，至2008年中期，年中期，已经演变为全球金融危机受此拖累，国际原油价格从已经演变为全球金融危机受此拖累，国际原油价格从2008年年7月每桶最高的月每桶最高的147美元开始大幅下跌，美元开始大幅下跌，9月跌至每桶月跌至每桶97美元你能求出美元你能求出7月到月到9月平均每月下降的百分比吗？若月平均每月下降的百分比吗？若按此计算，到什么时间跌至谷底按此计算，到什么时间跌至谷底(即每桶即每桶34美元美元)?解解设每月平均下降的百分比为设每月平均下降的百分比为x，则每月的价格构成了，则每月的
13、价格构成了等比数列等比数列an，记：，记：a1147(7月份价格月份价格)，则则8月份价格：月份价格：a2a1(1x)147(1x)；9月份价格：月份价格：a3a2(1x)147(1x)2.147(1x)297，解得，解得x18.8%.设设an34，则，则34147(118.8%)n1，解得解得n8.即从即从2008年年7月算起第月算起第8个月，也就是个月，也就是2009年年2月国际原月国际原油价格将跌至油价格将跌至34美元每桶美元每桶【变式3】第19页/共28页(2)是否存在是否存在m，使得数列，使得数列bn中存在某项中存在某项bt满足满足b1，b4，bt(tN*，t5)成等差数列？若存在，
14、请指成等差数列？若存在，请指出符合题意的出符合题意的m的个数；若不存在，请说明理由的个数；若不存在，请说明理由审题指导审题指导 (1)由由anSnSn1(n2)求得求得anbb1b8求得求得m.(2)由由2b4b1bt可得以可得以m为变量，为变量，t为函数的关系为函数的关系式式由由t5，tN*可得可得m的取值的取值题型四等差数列与等比数列的综合应用第20页/共28页第21页/共28页第22页/共28页【题后反思题后反思】(1)在等差数列与等比数列的综合问题中，在等差数列与等比数列的综合问题中，特别要注意它们的区别，避免用错公式特别要注意它们的区别，避免用错公式(2)方程思想方程思想的应用往往是
15、破题的关键的应用往往是破题的关键第23页/共28页(1)求通项公式求通项公式an及及Sn；(2)设设bnan是首项为是首项为1，公比为，公比为3的等比数列，求数的等比数列，求数列列bn的通项公式的通项公式解解(1)因为因为an是首项为是首项为19，公差为，公差为2的等差数列，的等差数列，所以所以an192(n1)2n21，即即an2n21；【变式4】已知an是首项为19，公差为2的等差数列，Sn为an的前n项和第24页/共28页A(n1)2 Bn2C(n1)2 Dn(2n1)错解错解 易得易得an2n，且，且log2a1log2a3log2a2n1log2(a1a3a2n1)log2213(2n1)误区警示误区警示因没数清数列的项数致误因没数清数列的项数致误【示例】第25页/共28页 对等差数列对等差数列1,3，2n1的项的项数没数清数没数清正解 a5a2n522nan2，an0，an2n，log2a1log2a3log2a2n1log2(a1a3a2n1)log2213(2n1)log22n2n2.故选B.答案B第26页/共28页 解决此类问题时，可根据通性解决此类问题时，可根据通性通法，但有时用等比数列的性质，能加快通法，但有时用等比数列的性质，能加快解题速度，提高解题效率，达到事半功倍解题速度，提高解题效率，达到事半功倍的效果的效果第27页/共28页