《粱昆淼第四数学物理方法.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《粱昆淼第四数学物理方法.pptx（68页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、科西收敛判据：(级数收敛必要条件)对于任意 0,有N，使得nN时p 为任意正整数绝对收敛：收敛2 2、复变函数项级数、复变函数项级数各项都是各项都是z 的函数的函数对于B（或l 上）任意z,给定 0,有N，使得nN()时称为级数在B上一致收敛此时，若每项连续，则和连续第1页/共68页令：1 1、比值判别法、比值判别法3.2 3.2 幂级数幂级数讨论幂讨论幂级数级数为以为以z0 为中心的幂级数为中心的幂级数考虑考虑绝对收敛发散发散绝对收敛第2页/共68页2 2、根值判别法、根值判别法发散发散绝对收敛发散发散绝对收敛发散发散第3页/共68页3 3、收敛圆与收敛半径的的收敛半径例：求幂级数以以z0为
2、圆心半径为为圆心半径为R的圆内级数绝对收敛，这个圆称的圆内级数绝对收敛，这个圆称为为收敛圆。R为收敛半径事实上：解：解：收敛圆：以以0为圆心为圆心半径为半径为1如如第4页/共68页的的收敛半径例：求幂级数公比为解：解：收敛圆：以以0为圆心为圆心半径为半径为1如如的的收敛半径例：求幂级数解：解：第5页/共68页定理：设定理：设f(z)在以在以z0为圆心的为圆心的圆圆CR内解析，则对圆内的任意内解析，则对圆内的任意z点，点，f(z)可展开为可展开为其中：其中：3.3 3.3 泰勒级数展开泰勒级数展开CR1为为圆圆CR内包含内包含z且与且与CR同心的圆同心的圆CR1CR第6页/共68页证：证：cau
3、ch公式公式CRCR1第7页/共68页而由而由cauch公式公式第8页/共68页展开展开例：在z0=0邻域上把公比为解：解：第9页/共68页展开展开例：在z0=0邻域上把解：解：和和第10页/共68页展开展开例：在z0=0邻域上把解：解：展开展开例：在z0=0邻域上把第11页/共68页展开展开例：在z0=1邻域上把解：解：第12页/共68页第13页/共68页3.4 3.4 解析沿拓解析沿拓比较两个比较两个函数：函数：除除 z=1 以外以外设某个区域b 上的解析函数f(z)，找出另一函数F(z),它在含有b 的一个较大的区域B上解析，且在区域b上等于f(z)和和两者在较小区域等同两者在较小区域等
4、同bB称F(z)为 f(z)的解析沿拓1 1、解析沿拓概念、解析沿拓概念第14页/共68页设f(z)，F(z)在某个区域B上解析，若在B的任一子区域b 中f(z)F(z)，则在整个区域B上必有f(z)F(z)。2 2、解析沿拓唯一性概念、解析沿拓唯一性概念第15页/共68页3.5 3.5 洛朗级数展开洛朗级数展开考虑如下幂级数考虑如下幂级数正幂部分收敛半径为正幂部分收敛半径为R1负幂部分，记负幂部分，记 =1/(z-z0),级数级数的收敛圆半径为的收敛圆半径为 1/R2=即在即在 z-z0 =R2圆外圆外收敛圆收敛圆第16页/共68页在圆环在圆环 R2 z-z0 R1内绝对一内绝对一致致收敛圆
5、收敛圆定理：设定理：设f(z)在圆环在圆环 R2 z-z0 0),可令可令 n=l+h 第33页/共68页令令-h=m,n=l 第34页/共68页Jm为为m阶贝塞尔函数阶贝塞尔函数 第35页/共68页3.6 3.6 孤立奇点的分类孤立奇点的分类f(z)在某点在某点z0 不可导，而在不可导，而在z0的任意小邻域内处处可导，的任意小邻域内处处可导，称称z0为为f(z)的的孤立奇点孤立奇点f(z)正幂部分称为正幂部分称为解析部分解析部分，负幂部分称为，负幂部分称为主要部分主要部分(z-z0)-1的系数的系数a-1称为称为f(z)在在 奇点奇点z0的的留数留数若若称称z0为为f(z)的的可去奇点可去奇
6、点第36页/共68页若若称称z0为为f(z)的的本性奇点本性奇点m为为z0的阶，一阶极点简称为的阶，一阶极点简称为单极点单极点第37页/共68页第四章第四章 留数定理留数定理4.2 4.2 利用留数定理计算实变函数定积分利用留数定理计算实变函数定积分4.1 4.1 留数定理留数定理第38页/共68页4.1 4.1 留数定理留数定理若若l所围区域解析，则所围区域解析，则考虑积分考虑积分若若l所围区域包围一个奇所围区域包围一个奇点点z0，展开，展开f(z)，则则第39页/共68页由(l不包围)(l包围)a-1称为称为f(z)在在 奇点奇点z0的的留数留数第40页/共68页若若l所围区域包围所围区域
7、包围n个奇个奇点点b1 b2 b3.，bn,则则称为留数定理称为留数定理如何求如何求a-1？若若z0为为单极点单极点第41页/共68页若若第42页/共68页若若z0为为f(z)的的m阶阶极点极点m阶阶极点极点单单极点极点留数定理留数定理第43页/共68页求 Resf(0)例：解：解：第44页/共68页求 Resf(1)例：解：解：第45页/共68页的极点，求留数留数例：确定函数解：解：第46页/共68页例：计算回路积分解：解：被积函数的奇点为单位圆 z =1 内的奇点为第47页/共68页第48页/共68页4.2 4.2 利用留数定理计算实变函数定积分利用留数定理计算实变函数定积分(1)、无穷积
8、分、无穷积分若若f(z)在实轴上无在实轴上无奇点，在上半平面除有限个孤立奇奇点，在上半平面除有限个孤立奇点点bk(k=1,2,n)外处处解析；在包括实轴在内的上外处处解析；在包括实轴在内的上半平面中半平面中，当，当 z 无穷时，zf(z)一致趋于零，一致趋于零，则则o-RRCR则则至少高于至少高于 两阶两阶第49页/共68页证明：证明：o-RRCR第50页/共68页例：计算积分解：解：上半平面奇点为z0=i第51页/共68页例：计算积分解：解：被积函数的奇点为上半平面为n阶极点z0=in为整数第52页/共68页第53页/共68页(2)、三角函数有理积分积分、三角函数有理积分积分若若R(cos,
9、sin)为为 cos,sin 的有理函数，且在的有理函数，且在0，2 上连续，上连续，则则其中其中表示表示f(z)在单位圆内所在单位圆内所有有奇点的留数和奇点的留数和第54页/共68页证明：证明：第55页/共68页例：计算积分解：解：令有两个一阶极点(a 1)有两个一阶极点第57页/共68页为单极点，在圆内第58页/共68页例：计算积分解：解：令(a1)有一个奇点z=0,为2n+1阶极点第59页/共68页第60页/共68页第61页/共68页(3)、含三角函数的无穷积分、含三角函数的无穷积分其中其中F(z)为偶数，为偶数，G(x)为奇数为奇数若若f(z)在实轴上无在实轴上无奇点，在上半平面除有限
10、个孤立奇点奇点，在上半平面除有限个孤立奇点bk(k=1,2,n)外处处解析；在包括实轴在内的上半平外处处解析；在包括实轴在内的上半平面中面中，当，当 z 无穷时，f(z)一致趋于零，且一致趋于零，且m0则则第62页/共68页证明：证明：o-RRCR第63页/共68页o-RRCR由约定当引理由约定当引理第64页/共68页o-RRCR由约定当引理由约定当引理 z 无穷时，f(z)在包括实轴在内的上半平面中在包括实轴在内的上半平面中，一致一致趋于零，趋于零，则则第65页/共68页例：计算积分解：解：有两个一阶极点上半平面极点 z=ai第66页/共68页例：计算积分解：解：有两个一阶极点上半平面极点 z=ai第67页/共68页感谢您的观看！第68页/共68页