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1、 矩 阵 论教材：矩阵论简明教程（第二版）徐仲，张凯院，陆全，冷国伟编著 科学出版社 第1页/共188页第一章 矩阵的基础知识1.1 矩阵的运算1.2 方阵的行列式1.3 矩阵的秩1.4 特殊矩阵类第2页/共188页1.1 矩阵的运算一、一、矩阵的概念矩阵的概念1、数集R实数集，C复数集2、矩阵的记号第3页/共188页NotationsNotations第4页/共188页二、二、矩阵的运算矩阵的运算1、加法，减法2、数乘3、乘法第5页/共188页4、转置与共轭转置第6页/共188页第7页/共188页三、三、矩阵的块运算矩阵的块运算1、加法，减法第8页/共188页2、数乘3、乘法第9页/共188
2、页4、转置与共轭转置第10页/共188页第11页/共188页1.2 方阵的行列式一、一、行列式的定义与性质行列式的定义与性质第12页/共188页第13页/共188页二、块矩阵的二、块矩阵的行列式行列式第14页/共188页第15页/共188页即某行左乘一个矩阵加到另一行，值不变；某列右乘一个矩阵加到另一列，值不变。第16页/共188页Example 1Example 1证：证：第17页/共188页Example 2Example 2证：证：第18页/共188页Example 3Example 3证：证：第19页/共188页第20页/共188页三、三、Vandermond Vandermond 行
3、列式行列式第21页/共188页第22页/共188页一、一、矩阵秩的定义及基本性质矩阵秩的定义及基本性质1、秩的定义1.3 矩阵的秩第25页/共188页第26页/共188页2、基本性质（1）初等变换不改变矩阵秩；第27页/共188页二、二、矩阵秩等式矩阵秩等式三、三、矩阵秩不等式矩阵秩不等式第28页/共188页第29页/共188页定理定理1 1 1 1第30页/共188页推论推论1 1 1 1第31页/共188页1.4 特殊矩阵一、一、几类基本的特殊矩阵几类基本的特殊矩阵1、零矩阵，单位矩阵2、对角矩阵第32页/共188页3、三角矩阵第33页/共188页二、二、正规矩阵正规矩阵定义定义1 1 1
4、 1以下矩阵都是正规矩阵：第34页/共188页定义定义2 2 2 2第35页/共188页三、初等矩阵三、初等矩阵1 1 1 1、定义、定义有以下三类初等矩阵：定义定义3 3 3 3第36页/共188页Row iRow j第37页/共188页第38页/共188页第39页/共188页2 2 2 2、三种初等矩阵的统一表示、三种初等矩阵的统一表示第40页/共188页第41页/共188页第42页/共188页第43页/共188页第44页/共188页第45页/共188页Remark第46页/共188页四、其他特殊矩阵四、其他特殊矩阵第47页/共188页第48页/共188页第1章 矩阵的相似变换2.1 矩阵
5、的特征值与特征向量2.2 矩阵的相似对角化2.3 矩阵的Jordan标准形2.4 Hamilton-Cayley 定理2.5 矩阵的酉相似第50页/共188页一、特征值与特征向量一、特征值与特征向量1、定义2.1 矩阵的特征值与特征向量定义定义1 1 1 1第51页/共188页2、特征多项式定义定义2 2 2 2RemarksRemarks第52页/共188页3、特征值与特征向量的求法第53页/共188页例例1 1 1 1解解第54页/共188页第55页/共188页第56页/共188页二、特征值与特征向量的性质二、特征值与特征向量的性质定义定义3 3 3 3定理定理1 1 1 1第57页/共1
6、88页定理定理2 2 2 2定义定义4 4 4 4第58页/共188页定理定理3 3 3 3定理定理4 4 4 4第59页/共188页RemarksRemarks第60页/共188页2.2 矩阵的相似对角化一、矩阵的相似一、矩阵的相似1、定义定义定义1 1 1 1第61页/共188页2、性质定理定理1 1第62页/共188页定理定理2 2 2 2Proof Proof ofof（2 2）第63页/共188页第64页/共188页二、相似对角化二、相似对角化1、定义定义定义2 2 2 22、相似对角化的条件定理定理3 3 3 3第65页/共188页ProofProof第66页/共188页第67页/
7、共188页推论推论1 1 1 1第68页/共188页推论推论2 2 2 2第69页/共188页Example 2Example 2Solution Solution 第70页/共188页第71页/共188页第72页/共188页第73页/共188页Example Example 3 3SolutioSolution n第74页/共188页第75页/共188页第76页/共188页一、一、JordanJordanJordanJordan标准形标准形1、定义定义定义1 1 1 12.3 矩阵的Jordan标准形第79页/共188页RemarkRemark第80页/共188页2、矩阵的Jordan分解定
8、理定理定理1 1 1 1第81页/共188页二、二、JordanJordanJordanJordan标准形的求法标准形的求法1、初等变换法定义定义2 2 2 2第82页/共188页定理定理2 2 2 2第83页/共188页ReamrkReamrk定义定义3 3 3 3第84页/共188页由初等变换求矩阵由初等变换求矩阵 A A A A 的的JordanJordanJordanJordan标准形方法：标准形方法：第85页/共188页第86页/共188页例例1 1 1 1解解第87页/共188页第88页/共188页2、行列式因子法定义定义3 3 3 3定理定理3 3 3 3第89页/共188页由行
9、列式因子求矩阵由行列式因子求矩阵 A A A A 的的JordanJordanJordanJordan标准形方法：标准形方法：第90页/共188页例例2 2 2 2解解第91页/共188页第92页/共188页第93页/共188页例例3 3 3 3解解第94页/共188页第95页/共188页第96页/共188页第97页/共188页三、三、相似变换矩阵的求法与相似变换矩阵的求法与JordanJordanJordanJordan标准形的幂标准形的幂1、相似变换矩阵的求法例例4 4 4 4解解第98页/共188页第99页/共188页第100页/共188页第101页/共188页RemarkRemark第
10、102页/共188页2、Jordan标准形的幂定理定理4 4 4 4第103页/共188页第104页/共188页第105页/共188页RemarkRemark第106页/共188页例例5 5 5 5解解第107页/共188页第108页/共188页第109页/共188页一、一、Hamilton-CayleyHamilton-Cayley 定理定理1、定理定理定理1 1 1 1（Hamilton-Cayley Hamilton-Cayley Hamilton-Cayley Hamilton-Cayley 定理定理）2.4 Hamilton-Cayley 定理证明证明第112页/共188页第113页
11、/共188页第114页/共188页第115页/共188页第116页/共188页1、利用定理1可以简化矩阵运算例例1 1 1 1解解二、二、Hamilton-CayleyHamilton-CayleyHamilton-CayleyHamilton-Cayley定理的应用定理的应用第117页/共188页第118页/共188页第119页/共188页2、可逆矩阵逆的多项式表示第120页/共188页三、三、零化多项式与最小多项式零化多项式与最小多项式1、零化多项式定义定义1 1 1 1NotationsNotations第121页/共188页2、最小多项式定义定义2 2 2 2第122页/共188页定理
12、定理2 2 2 2证略证略第123页/共188页3、零化多项式与最小多项式的关系定理定理3 3 3 3证证第124页/共188页定理定理4 4 4 4证略证略第125页/共188页例例2 2 2 2解解第126页/共188页第127页/共188页2.5 矩阵的酉相似1 1 1 1、向量的内积向量的内积定义定义1 1 1 1第130页/共188页定理定理1 1 1 1第131页/共188页2 2 2 2、向量的长度向量的长度定义定义2 2 2 2向量的长度具有如下性质：向量的长度具有如下性质：第132页/共188页定理定理2 2 2 2第133页/共188页3 3 3 3、Cauchy-Schw
13、arzCauchy-Schwarz不等式不等式定理定理3 3 3 3（Cauchy-SchwarzCauchy-Schwarz不等式）不等式）证证第134页/共188页第135页/共188页1 1 1 1、定义定义第136页/共188页第137页/共188页定义定义3 3 3 3定理定理4 4 4 4证证第138页/共188页定义定义4 4 4 4第139页/共188页2 2 2 2、SchmidtSchmidt正交化正交化第140页/共188页第141页/共188页第142页/共188页3 3 3 3、单位化单位化第143页/共188页例例1 1 1 1解解第144页/共188页第145页/
14、共188页第146页/共188页三、三、酉矩阵酉矩阵1 1 1 1、定义定义定义定义5 5 5 5NotationsNotations第147页/共188页2 2 2 2、性质性质定理定理5 5 5 5第148页/共188页定理定理6 6 6 6证证第149页/共188页第150页/共188页四、四、酉相似酉相似1 1 1 1、定义定义定义定义6 6 6 6第151页/共188页2 2 2 2、SchurSchur分解分解定理定理7 7 7 7（SchurSchur分解定理）分解定理）第152页/共188页证证第153页/共188页第154页/共188页从而由归纳法可以证明。第155页/共18
15、8页五、五、酉相似对角化酉相似对角化1 1 1 1、正规矩阵正规矩阵定义定义7 7 7 7NotationsNotations以下矩阵都是正规矩阵：第156页/共188页第157页/共188页定理定理8 8 8 8证：必要性证：必要性第158页/共188页第159页/共188页充分性：充分性：第160页/共188页第161页/共188页第162页/共188页第163页/共188页2 2 2 2、HermiteHermite矩阵，反矩阵，反HermiteHermite矩阵及酉矩阵的特矩阵及酉矩阵的特性性定理定理9 9 9 9证证第164页/共188页第165页/共188页第166页/共188页第
16、167页/共188页第168页/共188页第169页/共188页第170页/共188页第171页/共188页酉相似对角化方法：酉相似对角化方法：第172页/共188页第173页/共188页例例2 2 2 2解解第174页/共188页第175页/共188页第176页/共188页六、六、Hermite Hermite 矩阵的正定性矩阵的正定性1 1 1 1、定义定义定义定义8 8 8 8第177页/共188页2 2 2 2、正定正定Hermite Hermite 矩阵的性质矩阵的性质定理定理10101010第178页/共188页定理定理111111113 3 3 3、非负定非负定Hermite H
17、ermite 矩阵的性质矩阵的性质第179页/共188页定理定理12121212第180页/共188页第181页/共188页第4章 矩阵分析4.1 向量的范数4.2 矩阵范数4.3 矩阵级数4.4 矩阵函数4.5 矩阵的微分与积分第183页/共188页4.1 向量的范数一、向量的范数Recall：向量的长度的性质1 1.范数的定义齐第184页/共188页定义1 设 是 上一个泛函，满足齐则称 是 上一个范数.第185页/共188页2.常用的向量范数设定义定义2 2 2 2第186页/共188页可以验证 均是 上向量范数，分别称为1-范数，2-范数，p-范数和-范数.例如，验证 满足三角不等式.第187页/共188页感谢您的观看！第188页/共188页