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1、矩阵论线性子空间矩阵论线性子空间第1页，本讲稿共29页一、线性子空间 1 1、线性子空间的定义、线性子空间的定义设设V是数域是数域P上的线性空间，集合上的线性空间，集合若若W对于对于V中的两种运算也构成数域中的两种运算也构成数域P上的线性上的线性空间空间,则称则称W为为V的一个的一个线性子空间线性子空间，简称为，简称为子空间子空间注：注：线性子空间也是数域线性子空间也是数域P上一线性空间，它也上一线性空间，它也 任一线性子空间的维数不能超过整个空间的任一线性子空间的维数不能超过整个空间的有基与维数的概念有基与维数的概念.维数维数.第2页，本讲稿共29页2 2、线性子空间的判定、线性子空间的判定
2、 ，若，若W对于对于V中两种运算封闭，即中两种运算封闭，即 则则W是是V的一个子空间的一个子空间 定理定理：设：设V为数域为数域P上的线性空间，集合上的线性空间，集合 推论推论：V为数域为数域P上的线性空间上的线性空间,则则W是是V的子空间的子空间第3页，本讲稿共29页 ，.且对且对 ，由数乘运算由数乘运算封闭，有封闭，有，即，即W中元素的负元素就是中元素的负元素就是它在它在V中的负元素，中的负元素，4）成立）成立就是就是V中中的零元，的零元，3）成立）成立由于由于，规则，规则1）、）、2）、）、5）、）、6）、）、7）、）、8）是显然成立的下证是显然成立的下证3）、）、4）成立）成立 由加法
3、封闭，有由加法封闭，有,即即W中的零元中的零元证明证明：要证明：要证明W也为数域也为数域P上的线性空间，上的线性空间，即证即证W中的向量满足线性空间定义中的八条规则中的向量满足线性空间定义中的八条规则 第4页，本讲稿共29页 例例2设设V为所有实函数所成集合构成的线性空间为所有实函数所成集合构成的线性空间,则则Rx为为V的一个子空间的一个子空间 例例3Pxn是是Px的的线性子空间的的线性子空间 例例1设设V为数域为数域P上的线性空间，只含零向量的上的线性空间，只含零向量的子集合是子集合是V的一个线性子空间，称之为的一个线性子空间，称之为V的的零子空间零子空间线性空间线性空间V本身也是本身也是V
4、的一个子空间的一个子空间.这两个子空间有时称为这两个子空间有时称为平凡子空间平凡子空间，而其它的，而其它的子空间称为子空间称为非平凡子空间非平凡子空间 第5页，本讲稿共29页的全部解向量所成集合的全部解向量所成集合W对于通常的向量加法和数对于通常的向量加法和数 ()的的解空间解空间W的维数的维数n秩秩(A)，；例例4n元齐次线性方程组元齐次线性方程组()注注 ()的一个基础解系就是解空间的一个基础解系就是解空间W的一组基的一组基.空间，称空间，称W为方程组为方程组()的的解空间解空间量乘法构成的线性空间是量乘法构成的线性空间是 n 维向量空间维向量空间 Pn 的一个子的一个子第6页，本讲稿共2
5、9页例例5判断判断Pn的下列子集合哪些是子空间：的下列子集合哪些是子空间：解解：W1、W3是是Pn的子空间，的子空间，W2不是不是Pn的子空间的子空间.若为若为Pn的子空间，求出其维数与一组基的子空间，求出其维数与一组基.事实上，事实上，W1 是是n元齐次线性方程组元齐次线性方程组的解空间的解空间.所以，维所以，维W1 n n1 1，的一个基础解系的一个基础解系第7页，本讲稿共29页就是就是W1 的一组基的一组基.而在而在 W2中任取两个向量，设中任取两个向量，设则则故故W2不是不是Pn的子空间的子空间.第8页，本讲稿共29页故，故，W3为为V的一个子空间，且维的一个子空间，且维W3 n n1
6、 1，则有则有 其次，其次，设设下证下证W3是是Pn的子空间的子空间.就是就是W3的一组基的一组基.第9页，本讲稿共29页例例6设设V为数域为数域P上的线性空间，上的线性空间，则则W关于关于V的运算作成的运算作成V的一个子空间的一个子空间 即的一切线性即的一切线性组合所成集合组合所成集合.第10页，本讲稿共29页称为称为V的由的由 生成的子空间生成的子空间，二、一类重要的子空间 生成子空间 定义定义：V为数域为数域P上的线性空间，上的线性空间，则子空间则子空间，记作记作 称称 为为 的一组的一组 生成元生成元.第11页，本讲稿共29页例例7在在Pn 中中，为为Pn的的一组基，一组基，即即 Pn
7、 由它的一组基生成由它的一组基生成.类似地，还有类似地，还有事实上，任一有限事实上，任一有限维线性空间都可由维线性空间都可由它的一组基生成它的一组基生成.第12页，本讲稿共29页有关结论有关结论1 1、设设W为为n维线性空间维线性空间V的任一子空间，的任一子空间，是是W的一组基，则有的一组基，则有2、（定理定理定理定理3）1）；为线性空间为线性空间V中的中的两组向量，则两组向量，则与与 等价等价 2）生成子空间）生成子空间 的维数的维数向量组向量组 的秩的秩第13页，本讲稿共29页证：证：1）若）若 则对则对 有有 ，从而从而 可被可被线性表出；线性表出；同理每一个同理每一个也可被也可被 线性
8、表出线性表出.所以，所以，与与 等价等价，可被可被 线性表出，线性表出，从而可被从而可被 线性表出，即线性表出，即 反之，反之，与与 等价等价 第14页，本讲稿共29页所以所以,同理可得，同理可得，故，故，由由33定理定理1 1，2）设向量组）设向量组 的秩的秩t，不妨设，不妨设 为它的一个极大无关组为它的一个极大无关组 因为因为 与与 等价，等价，就是就是 的一组基，的一组基，所以，所以，的维数的维数t第15页，本讲稿共29页无关组，则无关组，则推论：推论：设是线性空间设是线性空间V V中不全为零中不全为零的一组向量，是它的一个极大的一组向量，是它的一个极大3 3、设设 为为P上上n维线性空
9、间维线性空间V的一组基，的一组基，则则 的维数秩的维数秩(A).A为为P上一个上一个 矩阵，若矩阵，若第16页，本讲稿共29页证：设秩证：设秩(A)r，不失一般性，设，不失一般性，设A的前的前r列线列线性无关，并将这性无关，并将这r 列构成的矩阵记为列构成的矩阵记为A1，其余，其余s-r列列构成的矩阵记为构成的矩阵记为A2，则则A(A1,A2)，且，且秩秩(A1)秩秩(A)r，设即设即下证线性无关下证线性无关.第17页，本讲稿共29页是是V的一组基，的一组基，又秩又秩(A1)r，方程组方程组只有零解，即只有零解，即线性无关线性无关.从而从而第18页，本讲稿共29页任取任取 将将A的第的第 j
10、列添在列添在A1的右边构成的矩阵记为的右边构成的矩阵记为Bj，则，则则有则有即即设设第19页，本讲稿共29页从而有从而有而秩而秩(Bj)r，有非零解，故有不全为零的数有非零解，故有不全为零的数故为的极大无关组，故为的极大无关组，所以所以 的维数的维数r秩秩(A).线线性性相相关关.第20页，本讲稿共29页则向量组则向量组 与矩阵与矩阵A的列向量组具有相同的列向量组具有相同线性相关性线性相关性.所以可对矩阵所以可对矩阵A作初等行变换化阶梯作初等行变换化阶梯阵来求向量组阵来求向量组 的一个极大无关组，从而的一个极大无关组，从而求出生成子空间的维数与一组基求出生成子空间的维数与一组基.注：注：由证明
11、过程可知，若由证明过程可知，若 为为V的一组基，的一组基，第21页，本讲稿共29页为为 V 的一组基即在的一组基即在 V 中必定可找到中必定可找到 nm 个向量个向量设设W为为 n 维线性空间维线性空间 V 的一个的一个 m 维子空间，维子空间，4、（定理定理4）为为W的一组基，则这组向量必定可扩充的一组基，则这组向量必定可扩充，使，使 为为 V 的一组基的一组基扩基定理扩基定理 证明证明：对：对nm作数学归纳法作数学归纳法当当 nm0时，即时，即nm，定理成立定理成立就是就是V的一组基的一组基.假设当假设当nmk时结论成立时结论成立.第22页，本讲稿共29页因因 n(m1)(nm)1(k1)
12、1k，下面我们考虑下面我们考虑 nmk1 的情形的情形必定是线性无关的必定是线性无关的既然既然 还不是还不是V的一组基，它又是线的一组基，它又是线性无关的，那么在性无关的，那么在V中必定有一个向量不能被中必定有一个向量不能被 线性表出，把它添加进去，则线性表出，把它添加进去，则由定理由定理3，子空间，子空间 是是m1维的维的可以扩充为整个空间可以扩充为整个空间V的一组基由归纳原理得证的一组基由归纳原理得证.由归纳假设，由归纳假设，的基的基第23页，本讲稿共29页它扩充为它扩充为P4的一组基，其中的一组基，其中例例8 求求 的维数与一组基，并把的维数与一组基，并把解：对以为列向量的矩阵解：对以为
13、列向量的矩阵A作作初等行变换初等行变换第24页，本讲稿共29页由由B知，为知，为 的一个极大的一个极大故，维故，维 3 3，就是就是 的一组基的一组基.无关组无关组.第25页，本讲稿共29页则则 线性无关，从而为线性无关，从而为P4的一组基的一组基.第26页，本讲稿共29页练习练习 设设V为数域为数域P上的线性空间，为上的线性空间，为V的一组基，且的一组基，且求求 的一组基，并把它扩充为的一组基，并把它扩充为V的一组基的一组基.第27页，本讲稿共29页令对令对A作初等行变换作初等行变换解：解：第28页，本讲稿共29页则线性无关，从而为则线性无关，从而为V的一组基的一组基.又又由由B知，知，A的列向量线性无关，从而的列向量线性无关，从而线性无关线性无关.故故 为的一组基为的一组基.第29页，本讲稿共29页