科学计算与数学建模第二章.pptx

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1、求未知函数近似表达式的插值法2求插值多项式的Lagrange法3求插值多项式的Newton法45求插值多项式的改进算法6求函数近似表达式的拟合法1城市供水量的预测问题第2章城市供水量的预测模型插值与拟合算法7城市供水量预测的简单方法第1页/共153页2.1 城市供水量的预测问题 为了节约能源和水源，某供水公司需要根据日供水量为了节约能源和水源，某供水公司需要根据日供水量记录估计未来一时间段（未来一天或一周）的用水量，以记录估计未来一时间段（未来一天或一周）的用水量，以便安排未来（该时间段）的生产调度计划。现有某城市便安排未来（该时间段）的生产调度计划。现有某城市7 7年用水量的历史记录，记录中

2、给出了日期、每日用水量年用水量的历史记录，记录中给出了日期、每日用水量（吨（吨/日）。如何充分地利用这些数据建立数学模型，预日）。如何充分地利用这些数据建立数学模型，预测测20072007年年1 1月份城市的用水量，以制定相应的供水计划和月份城市的用水量，以制定相应的供水计划和生产调度计划。生产调度计划。表某城市7年日常用水量历史记录（万吨/日）日期日期2000010120000101200001022000010220061230200612302006123120061231日用水量日用水量122.1790122.1790128.2410128.2410150.40168150.40168

3、148.2064148.2064第2页/共153页表2000-2006年1月城市的总用水量（万吨/日）年份年份20002000200120012002200220032003200420042005200520062006用水量用水量4032403241414186418602540254429642969866986643744374852852443544352344234445054505427442744517451769936993利用这些数据，可以采用时间序列、灰色预测等方法建立数学模型来预测2007年1月份该城市的用水量。如果能建立该城市的日用水量随时间变化的函数关系，则用该函数

4、来进行预测非常方便。但是这一函数关系的解析表达式是没办法求出来的，那么能否根据历史数据求出该函数的近似函数呢？根据未知函数的已有数据信息求出其近似函数的常用方法有插值法和数据拟合。本章将介绍插值法和数据拟合，并用这两种方法给出该城市供水量进行预测。第3页/共153页2.2 求未知函数近似表达式的插值法 一般地，在某个实际问题中，虽然可以断定所考虑的一般地，在某个实际问题中，虽然可以断定所考虑的函数在区间上存在且连续，但却难以找到它的解析表达式，函数在区间上存在且连续，但却难以找到它的解析表达式，只能通过实验和观测得到该函数在有限个点上的函数值（即只能通过实验和观测得到该函数在有限个点上的函数值

5、（即一张函数表）。显然，要利用这张函数表来分析函数的性态，一张函数表）。显然，要利用这张函数表来分析函数的性态，甚至直接求出其它一些点上的函数值是非常困难的。在有些甚至直接求出其它一些点上的函数值是非常困难的。在有些情况下，虽然可以写出函数的解析表达式，但由于结构相当情况下，虽然可以写出函数的解析表达式，但由于结构相当复杂，使用起来很不方便。面对这些情况，总希望根据所得复杂，使用起来很不方便。面对这些情况，总希望根据所得函数表（或结构复杂的解析表达式），构造某个简单函数作函数表（或结构复杂的解析表达式），构造某个简单函数作为的近似。插值法是解决此类问题的一种比较古老的、然而为的近似。插值法是解

6、决此类问题的一种比较古老的、然而却是目前常用的方法，它不仅直接广泛地应用于生产实际和却是目前常用的方法，它不仅直接广泛地应用于生产实际和科学研究中，而且也是进一步学习数值计算方法的基础。科学研究中，而且也是进一步学习数值计算方法的基础。第4页/共153页 设函数 在区间 上连续，且在 个不同的点 上分别取值 ，在一个性质优良、便于计算的函数类 中，求一简单函数 ，使 为函数在节点 处的插值函数。求插值函数 的方法称为插值法。插值函数 类 的取法不同，所求得的插值函数 逼近 的效果就不同，它的选择取决于使用上的需要。常用的有代数多项式、三角多项式和有理函数等。当选用代数多项式作为插值函数时，相应

7、的插值问题就称为多项式插值。第5页/共153页 在多项式插值中，求一次数不超过在多项式插值中，求一次数不超过 的代数多项式的代数多项式 使使 ()()其中其中 多项称多项称为函数为函数 的的 次插值值多项式。次插值值多项式。次插值多项式次插值多项式 的几何意义：过曲线的几何意义：过曲线 上的上的 个个点点 图第6页/共153页 由线性代数知，线性方程组的系数行列式是由线性代数知，线性方程组的系数行列式是 阶范德蒙（阶范德蒙（VandermondeVandermonde）行列式，且）行列式，且（）第7页/共153页 第8页/共153页 2.3 求插值多项式的Lagrange法第9页/共153页

8、先考虑一下简单的插值问题：对节点先考虑一下简单的插值问题：对节点 中任意一中任意一点点 做一做一 次多项式次多项式 使它在该点上取值为使它在该点上取值为1,1,而在其余而在其余点点 上取值为零上取值为零,即即 表明表明 个点个点 都是都是 次多项式次多项式 的零点，故可的零点，故可设设 其中其中 为待定系数，由条件为待定系数，由条件 可得可得 第10页/共153页 次插插多项式次插插多项式 。容易看出，这组多项式仅与。容易看出，这组多项式仅与节点的取法有关，称它们为在节点的取法有关，称它们为在 个节点上的个节点上的 次基次基本插值多项式或本插值多项式或 次插值基函数。次插值基函数。（）第11页

9、/共153页 事实上，由于每个插值基函数事实上，由于每个插值基函数 （）第12页/共153页 即即 这是一个线性函数，用线性函数这是一个线性函数，用线性函数 近似代替函数近似代替函数 ，在几何上就是通过曲线，在几何上就是通过曲线 上两点上两点 第13页/共153页 这是一个二次函数这是一个二次函数 ，用二次函数近似代替函数，用二次函数近似代替函数 ，在几何上就是通过曲线，在几何上就是通过曲线 上的三点上的三点 作一抛物线作一抛物线 （）图第14页/共153页 故用线性插值求得的近似值为：故用线性插值求得的近似值为：图第15页/共153页 （）第16页/共153页然后再通过外循环，即令然后再通过

10、外循环，即令 从从0 0到到 ，累加得出插值结果，累加得出插值结果图第17页/共153页 在插值区间在插值区间 上用插值多项式上用插值多项式 近似代替近似代替 ，除了在插值节点，除了在插值节点 上没有误差以外，在其他点上一般有存在上没有误差以外，在其他点上一般有存在误差的。若记误差的。若记 则则 就是用就是用 近似代替近似代替 时所产生的截断误差，称时所产生的截断误差，称为插值多项式为插值多项式 的余项。的余项。设设 在区间在区间 上有直到上有直到 阶导数阶导数,为区间为区间 上上 个互异的节点，个互异的节点，为满足条件为满足条件:的的 次插值多项式，则对于任何次插值多项式，则对于任何 有有（

11、）第18页/共153页其中其中 且依赖于且依赖于证明证明 由插值条件由插值条件 知知 ，即插值节点都是，即插值节点都是 的零点的零点,故可设故可设 其中其中 为待定函数。下面求为待定函数。下面求 。对区间。对区间 上异上异于于 的任意一点的任意一点 作辅助函数：作辅助函数：不难看出具有如下特点不难看出具有如下特点（1 1）（2 2）在）在 上有直到上有直到 阶导数，且阶导数，且（）第19页/共153页 个互异的零点，根据罗尔个互异的零点，根据罗尔(Rolle)(Rolle)定理，在定理，在 的两个零点之间的两个零点之间，至少有一个零点，因此，至少有一个零点，因此，在在 内至少有内至少有 个互异

12、的零点，对个互异的零点，对 再应用罗尔定理，推得再应用罗尔定理，推得 在在 内至少有内至少有 个互异的零点。继续上述讨论，个互异的零点。继续上述讨论，可推得可推得 在在 第20页/共153页 近似值，试估计它们的截断误差。近似值，试估计它们的截断误差。现在现在 ，故，故 第21页/共153页当用抛物插值求当用抛物插值求 的近似值时，其截断误差为的近似值时，其截断误差为 现在现在 ，代入，即得代入，即得第22页/共153页 设设 且且 为已知，若将用为已知，若将用 假设假设 在区间在区间 中变化不大，将上面两式相中变化不大，将上面两式相除，即得近似式除，即得近似式第23页/共153页 即即 来估

13、计插值，这种直接利用计算结果来估计误差的方法，来估计插值，这种直接利用计算结果来估计误差的方法，称为事后估计法。称为事后估计法。（）第24页/共153页 做节点，可算得做节点，可算得 的另一近似值的另一近似值 。的误差为：的误差为：第25页/共153页2.4 求插值多项式的Newton法 由线性代数可知，任何一个不高于由线性代数可知，任何一个不高于 次的多项式，都可表示成次的多项式，都可表示成函数函数 的线性组合，即可将满足插值条件的线性组合，即可将满足插值条件 的的 次多项式写成形式次多项式写成形式 其中其中 为待定系数。这种形式的插值多项式称为牛为待定系数。这种形式的插值多项式称为牛顿顿N

14、ewtonNewton插值多项式，我们把它记成插值多项式，我们把它记成 ,即即 因此，牛顿插值多项式因此，牛顿插值多项式 是插值多项式是插值多项式 的另的另一种表示形式一种表示形式,与拉格朗日插值多项式相比较，不仅克服了与拉格朗日插值多项式相比较，不仅克服了“增加增加一个节点时整个计算机工作必须重新开始一个节点时整个计算机工作必须重新开始”（）第26页/共153页 设函数设函数 在等距节点在等距节点 处的函数值处的函数值 为已知，其中为已知，其中 是正常数，称为步长，称两个相邻点是正常数，称为步长，称两个相邻点 和和 处函数值之差处函数值之差 为函数为函数 在点在点 处以处以 为步长的一阶向为

15、步长的一阶向前差分前差分简称一阶差分简称一阶差分，记，记 ，即，即 于是，函数于是，函数 在各节点处的一阶差分依次为在各节点处的一阶差分依次为 又称一阶差分的差分又称一阶差分的差分 为二阶差分。为二阶差分。一般地，定义函数一般地，定义函数 在点在点 处的处的 阶差分为：阶差分为：第27页/共153页 在等距节点在等距节点 即可得即可得 。第28页/共153页 再由插值条件再由插值条件 可得：可得：由插值条件由插值条件 可得：可得：一般地，由插值条件一般地，由插值条件 可得可得:于是，满足插值条件的插值多项式为：于是，满足插值条件的插值多项式为：第29页/共153页 令令 并注意到并注意到 则可

16、简化为则可简化为 这个用向前差分表示的插值多项式，称为牛顿向前插值公式，简称前这个用向前差分表示的插值多项式，称为牛顿向前插值公式，简称前插公式。它适用于计算表头插公式。它适用于计算表头 附近的函数值。附近的函数值。（）（）第30页/共153页表0.10.20.30.40.50.60.295520.198670.099830.479430.389420.564640.098840.096850.093900.090010.08521-0.00389-0.00295-0.00094-0.00096-0.00480-0.00091-0.00199第31页/共153页 处的函数值和各阶差分。若用线性

17、插值求处的函数值和各阶差分。若用线性插值求 用二次插值得：用二次插值得：第32页/共153页 用三次插值得：用三次插值得：因因 与与 第33页/共153页 在等距节点在等距节点 下，除了向前差分下，除了向前差分外，还可引入向后差分和中心差分，其定义和记号分别如下：外，还可引入向后差分和中心差分，其定义和记号分别如下：在点在点 处以处以 为步长的一阶向后差分和为步长的一阶向后差分和 阶向后差分分阶向后差分分别为：别为：在点在点 处以处以 为步长的一阶中心差分和为步长的一阶中心差分和 阶中心差分分阶中心差分分别为：别为：第34页/共153页 根据插值条件根据插值条件 得到一个用向后差分表示的插值多

18、项式：得到一个用向后差分表示的插值多项式：第35页/共153页 （）（）第36页/共153页 的近似值。的近似值。“”线标出的各数依次给出了线标出的各数依次给出了 在在 处的处的函数值和向后差分值。因三阶向后差分接近于常数，故函数值和向后差分值。因三阶向后差分接近于常数，故用三次插值进行计算，且用三次插值进行计算，且 第37页/共153页 第38页/共153页 当插值节点非等距分布时，就不能引入差分来简化当插值节点非等距分布时，就不能引入差分来简化牛顿插值多项式，此时可用差商这个新概念来解决。牛顿插值多项式，此时可用差商这个新概念来解决。设函数设函数 在一串互异的点在一串互异的点 上的上的值依

19、次为值依次为 我们称函数值之差我们称函数值之差 与自变量之差与自变量之差 的比值的比值 为函数为函数 关于关于 点的一阶差商，记作点的一阶差商，记作第39页/共153页 为函数为函数 关于点关于点 的二阶差商（简称二阶差的二阶差商（简称二阶差商），记作商），记作 ，一般地，可通过函数一般地，可通过函数 的的 阶差商定义的阶差商定义的 阶阶差商如下：差商如下：第40页/共153页二阶差商一阶差商表三阶差商差商具有下列重要性质（证明略）：第41页/共153页（1 1）函数）函数 的的 阶差商阶差商 可由函数值可由函数值 的线性组合表示，且的线性组合表示，且（2 2）差商具有对称性，即任意调换节点的

20、次序，不影响差商的值。）差商具有对称性，即任意调换节点的次序，不影响差商的值。例如例如 （）当（）当 在包含节点在包含节点 的某个区间上存在时，的某个区间上存在时，在在 之间必有一点之间必有一点 ，使，使 （4 4）在等距节点）在等距节点 情况下，可同时引入情况下，可同时引入 阶差分与差商，且有下面关系：阶差分与差商，且有下面关系：第42页/共153页 故满足插值条件故满足插值条件 的的 次插值多项式为：次插值多项式为：第43页/共153页解解 先构造差商表先构造差商表第44页/共153页 故用线性插值所得的近似值为：故用线性插值所得的近似值为：用抛物插值所求得的近似值为：用抛物插值所求得的近

21、似值为：来估计截断误差（证明略）来估计截断误差（证明略）注意注意 上式中的上式中的 阶差商阶差商 与与 的值有关，的值有关，故不能准确地计算出故不能准确地计算出 的精确值，只能对它做一种估的精确值，只能对它做一种估计。计。第45页/共153页例当四阶差商变化不大时，可用例当四阶差商变化不大时，可用 近似代替近似代替第46页/共153页2.5 求插值多项式的改进算法先以先以 为节点作五次插值多项为节点作五次插值多项式式 ，再以再以 为节点作十次插值多为节点作十次插值多项项式式 ，并将曲线并将曲线第47页/共153页第48页/共153页 虽然在局部范围中，例如在虽然在局部范围中，例如在 区间中，区

22、间中，比比 较好地逼近较好地逼近 ,但从整体上看，但从整体上看，并非处处都比并非处处都比 较好地逼近，尤其是在较好地逼近，尤其是在 区间的端点附近。进一步的分析区间的端点附近。进一步的分析表明，表明，当当 增大时，该函数在等距节点下的高次插值多项式增大时，该函数在等距节点下的高次插值多项式 ，在，在 两端会发生激烈的振荡。这种现象称为龙格（两端会发生激烈的振荡。这种现象称为龙格（Runge)Runge)现象。这表现象。这表明，在大范围内使用高次插值，逼近的效果可能不理想。明，在大范围内使用高次插值，逼近的效果可能不理想。另一方面，插值误差除来自截断误差外，还来自初始数据的另一方面，插值误差除来

23、自截断误差外，还来自初始数据的误差和计算过程中的舍入误差。插值次数越高，计算工作越大，误差和计算过程中的舍入误差。插值次数越高，计算工作越大，积累误差也可能越大。积累误差也可能越大。因此，在实际计算中，常用分段低次插值进行计算，即把整因此，在实际计算中，常用分段低次插值进行计算，即把整个插值区间分成若干小区间，在每个小区间上进行低次插值。个插值区间分成若干小区间，在每个小区间上进行低次插值。第49页/共153页 第50页/共153页 类似地，为求类似地，为求 的近似值的近似值.也可选取距点最近的三个节点也可选取距点最近的三个节点 进行二次插值，即取进行二次插值，即取 的可通过下面方法确定：的可

24、通过下面方法确定：用图表示为：用图表示为：第51页/共153页第52页/共153页 从六十年代开始，首先由于航空、造船等工程设计的需要而从六十年代开始，首先由于航空、造船等工程设计的需要而发展起来的所谓样条（发展起来的所谓样条（Spline)Spline)的插值方法，既保留了分段低次的插值方法，既保留了分段低次插值多项式的各种优点，又提高了插值函数的光滑性。今天，样插值多项式的各种优点，又提高了插值函数的光滑性。今天，样条插值方法已成为数值逼近的一个极其重要的分支，在许多领域条插值方法已成为数值逼近的一个极其重要的分支，在许多领域里得到越来越广泛的应用。里得到越来越广泛的应用。本节介绍应用最广

25、泛且具有二阶连续导数的三次样条插值函本节介绍应用最广泛且具有二阶连续导数的三次样条插值函数。数。三次样条插值函数的定义三次样条插值函数的定义 对于给定的函数表对于给定的函数表第53页/共153页 其中其中 ，若函数，若函数 满足：满足：（1 1）在每个子区间）在每个子区间 上是不高于三次的多上是不高于三次的多项式；项式；（2 2）在在 上连续；上连续；（3 3）满足插值条件）满足插值条件 则称则称 为函数关于节为函数关于节点点 的三次样条插值。的三次样条插值。边界条件问题的提出与类型边界条件问题的提出与类型 注：单靠一张函数表是不能完全确定一个三次样条插值函数的。注：单靠一张函数表是不能完全确

26、定一个三次样条插值函数的。事实上，由条件（事实上，由条件（1 1）知，三次样条插值函数）知，三次样条插值函数 是一个分段是一个分段三次多项式，若用三次多项式，若用 表示它在第表示它在第 个子区间个子区间 上的表达式，上的表达式，则形如：则形如：这里有四这里有四个待定系数个待定系数 。子区间共有。子区间共有 个，确定个，确定 需要确需要确定定 个待定系数。个待定系数。第54页/共153页 另一方面，要求分段三次多项式另一方面，要求分段三次多项式 及其导数及其导数 在整个插值区间在整个插值区间 上连续，只要在各子区间的端点上连续，只要在各子区间的端点 连续即可。故由条件（连续即可。故由条件（2 2

27、），（），（3 3）可得待定系数应满足的）可得待定系数应满足的 个方程为个方程为:由此可以看出，要确定个待定系数还缺少两个条件，这两个由此可以看出，要确定个待定系数还缺少两个条件，这两个条件通常在插值区间条件通常在插值区间 的边界点的边界点 处给出，称为边界处给出，称为边界条件。边界条件的类型很多，常见的有：条件。边界条件的类型很多，常见的有：第55页/共153页 （1 1）给定一阶导数值）给定一阶导数值 （2 2）给定二阶导数值）给定二阶导数值 特别地，特别地，称为自然边界条件，满足自然边界称为自然边界条件，满足自然边界条件的三次样条插值函数称为自然样条插值函数。条件的三次样条插值函数称为自

28、然样条插值函数。（3 3）当）当 是周期为是周期为 的函数时，则要求的函数时，则要求 及其导数都是及其导数都是以以 为周期的函数，相应的边界条件为为周期的函数，相应的边界条件为三次样条插值函数的求法三次样条插值函数的求法系数系数 ，从而得到三次样条插值函数，从而得到三次样条插值函数 在各个子区间在各个子区间 的表的表达式达式 。但是，这种做法的计算工作量大，不便于实际应用。但是，这种做法的计算工作量大，不便于实际应用。下面介绍一种简便的方法。下面介绍一种简便的方法。第56页/共153页 设在节点设在节点 处处 的二阶导数为的二阶导数为 因为在子区间因为在子区间 上上 是不高于三次是不高于三次的

29、多项式，其二阶导数必是线性函数（或常数）。于是，的多项式，其二阶导数必是线性函数（或常数）。于是，有有 记记 则有则有 连续积分两次得：连续积分两次得：第57页/共153页 其中其中 为积分常数。利用插值条件为积分常数。利用插值条件易得：易得：综合以上讨论可知，只要确定综合以上讨论可知，只要确定 ，这，这 个值，个值，就可定出三次样条插值函数。就可定出三次样条插值函数。第58页/共153页 为了求出为了求出 ，利用一阶函数在子区间连接，利用一阶函数在子区间连接点上连续的条件即点上连续的条件即 得得 故故 ，并由此得：，并由此得：第59页/共153页 两边同乘以两边同乘以 ，即得方程组，即得方程

30、组 若记若记第60页/共153页 可得则所得方程组可简写成可得则所得方程组可简写成 即即 这是一个含有这是一个含有 个未知数、个未知数、个方程的线性方程组。个方程的线性方程组。要确定要确定 的值，还需用到边界条件。的值，还需用到边界条件。上的导数为：上的导数为：第61页/共153页 故由条件故由条件 立即可得立即可得 即即 同理，由条件同理，由条件 ，可得，可得 第62页/共153页 其中其中 在第在第(2)(2)种边界条件下，由种边界条件下，由 第63页/共153页 在第在第(3)(3)种边界条件种边界条件下下由由 ，直接可得，直接可得 由条件由条件 可得可得 注意到注意到 和和 ，上式整理

31、后得：，上式整理后得：第64页/共153页 若记若记 则所得方程可简写成则所得方程可简写成：第65页/共153页 综上分析，有综上分析，有 满足第（满足第（1 1）或第（）或第（2 2）或第（）或第（3 3）种边界条件的三次样条插值）种边界条件的三次样条插值函数是存在且唯一的。三次样条插值函数的具体求解过程在下面函数是存在且唯一的。三次样条插值函数的具体求解过程在下面的例子中给出了详细的说明。的例子中给出了详细的说明。第66页/共153页 在区间在区间 上求三次样条插值函数上求三次样条插值函数 ，使它满足边界，使它满足边界条件：条件：解解 先根据给定数据和边界条件算出先根据给定数据和边界条件算

32、出 由所给函数表知：由所给函数表知：第67页/共153页 故确定故确定 与与 的方程组为：的方程组为：第68页/共153页 。在本例中，将在本例中，将 代入，整理后得代入，整理后得 同理可得：同理可得：第69页/共153页 故所求三次样条插值函数为：故所求三次样条插值函数为：第70页/共153页第71页/共153页 上述求三次样条插值函数的方法，其上述求三次样条插值函数的方法，其基本思路基本思路和和特点特点是是:先利用一阶导数先利用一阶导数 在内节点在内节点 上上的连续性以及边界条件，列出确定二阶导数的连续性以及边界条件，列出确定二阶导数 的线性方程组（在力学上称为三弯矩方程组），并由此出的线

33、性方程组（在力学上称为三弯矩方程组），并由此出 ，然后用，然后用 来表达来表达 。通过别的途径也可求三次样条插值函数。例如，可以先利通过别的途径也可求三次样条插值函数。例如，可以先利用二阶导数在内节点上的连续性以及边界条件，列出确定一阶导用二阶导数在内节点上的连续性以及边界条件，列出确定一阶导数数 的线性方程组（在力学上称为三转角方程组），并由此出的线性方程组（在力学上称为三转角方程组），并由此出 ，然后用，然后用 来表达来表达 。在有些情况下，这种表达方法与前者相比较，使用起来更方在有些情况下，这种表达方法与前者相比较，使用起来更方便。便。第72页/共153页2.6 求函数近似表达式的拟合法

34、 在科学实验和生产实践中，经常要从一组实验数在科学实验和生产实践中，经常要从一组实验数据据 出发，寻求函数出发，寻求函数 的的一个近似表达式一个近似表达式 （称为经验公式）。从几上，（称为经验公式）。从几上，就是希望根据给出的就是希望根据给出的 个点个点 ，求曲线求曲线 的一条近似曲线的一条近似曲线 。因此，这是一个曲线拟合。因此，这是一个曲线拟合的问题的问题。第73页/共153页 多项式插值虽然在一定程度上解决了由函数表求函多项式插值虽然在一定程度上解决了由函数表求函数的近似表达式问题，但用它来解决这里提出的问题，数的近似表达式问题，但用它来解决这里提出的问题，有明显缺陷。有明显缺陷。首先，

35、实验提供的数据通常带有测试误差。如首先，实验提供的数据通常带有测试误差。如要求近似曲线要求近似曲线 严格地通过所给的每个数据严格地通过所给的每个数据点点 ，就会使曲线保持原有的测试误差。当，就会使曲线保持原有的测试误差。当个别数据的误差较大时，插值效果显然是不理想的。个别数据的误差较大时，插值效果显然是不理想的。第74页/共153页 其次，由实验提供的数据往往较多（即其次，由实验提供的数据往往较多（即 较大），较大），用插值法得到的近似表达式，明显地缺乏实用价值。用插值法得到的近似表达式，明显地缺乏实用价值。因此，怎样从给定的一组数据出发，在某个函因此，怎样从给定的一组数据出发，在某个函数类数

36、类 中寻求一个中寻求一个“最好最好”的函数的函数 来拟合这组数据，来拟合这组数据，是一个值得讨论的问题。是一个值得讨论的问题。随着拟合效果随着拟合效果“好好”、“坏坏”标准的不同，解决此标准的不同，解决此类问题的方法也不同。这里介绍一种最常用的曲线拟类问题的方法也不同。这里介绍一种最常用的曲线拟合方法，即最小二乘法。合方法，即最小二乘法。第75页/共153页曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法 如前所述，在一般情况下，我们不能要求近似如前所述，在一般情况下，我们不能要求近似曲线曲线 严格地通过所有数据点严格地通过所有数据点 ，亦不能要，亦不能要求所有拟合曲线函数在求所有拟合曲线函数在 处的

37、偏差（亦称残差）。处的偏差（亦称残差）。都严格地趋于零。都严格地趋于零。但是，为了使近似曲线尽量反映所给数据点的变化但是，为了使近似曲线尽量反映所给数据点的变化趋势，要求都较小还是必要的。趋势，要求都较小还是必要的。达到这一目标的途径很多，常见的有：达到这一目标的途径很多，常见的有：第76页/共153页(1)(1)选取选取 ，使偏差绝对值之和最小，即，使偏差绝对值之和最小，即(2)(2)选取选取 ，使偏差最大，绝对值最小，即，使偏差最大，绝对值最小，即(3)(3)选取选取 ，使偏差平方和最小，即，使偏差平方和最小，即第77页/共153页 为了方便计算、分析与应用，我们较多地根据为了方便计算、分

38、析与应用，我们较多地根据“偏偏差平方和最小差平方和最小”的原则（称为最小二乘原则）来选取的原则（称为最小二乘原则）来选取拟合曲线拟合曲线 按最小二乘原则选择拟合曲线的方法，称为最按最小二乘原则选择拟合曲线的方法，称为最小二乘法。小二乘法。本章要着重讨论的线性最小二乘问题，其基本本章要着重讨论的线性最小二乘问题，其基本提法是：对于给定数据表提法是：对于给定数据表第78页/共153页 要求在某个函数类要求在某个函数类 （其（其中中 ）中寻求一个函数）中寻求一个函数 使使 满足条件满足条件 式中式中 是函数类是函数类 中任一函数中任一函数。第79页/共153页 ，称为上述最小二乘问题的最小二乘解，称

39、为上述最小二乘问题的最小二乘解 。由上可知，用最小二乘法解决实际问题包含两由上可知，用最小二乘法解决实际问题包含两个基本环节：个基本环节：先根据先根据 所给数据点的变化趋势与问题的实所给数据点的变化趋势与问题的实际背景确定函数类际背景确定函数类,即确定即确定 ，即确定其系，即确定其系数数 。第80页/共153页 是多元函数是多元函数 的极小点，从而的极小点，从而 满足方程组：满足方程组：即即第81页/共153页 亦即亦即若对任意的函数若对任意的函数 和和 ，引入记号，引入记号则上述方程组可以表示成则上述方程组可以表示成第82页/共153页 写成矩阵形式即写成矩阵形式即 第83页/共153页事实

40、上，最小二乘法的法方程可以用下面的方法形成。在中，当 时，令 ，即得方程组：将其写成矩阵形式：第84页/共153页令则方程组可写为：将方程两边同时乘以，则可以得到这就是最小二乘法的法方程（）。当线性无关时，可以证明它有唯一解，并且相应的函数（）就是满足条件（）的最小二乘解。当第85页/共153页 综上分析可得综上分析可得 对任意给定的一组实验数据对任意给定的一组实验数据 (其中其中 互异互异),),在函数类在函数类 (线性无关线性无关)中中,存在唯一的函数存在唯一的函数 第86页/共153页 作为曲线拟合的一种常用的情况，若讨论的是作为曲线拟合的一种常用的情况，若讨论的是代数多项式拟合，即取代

41、数多项式拟合，即取 第87页/共153页故相应的法方程组为：（2.6.8）第88页/共153页 下面通过两个具体的例子来说明用最小二乘法解决下面通过两个具体的例子来说明用最小二乘法解决实际的问题的具体步骤与某些技巧。实际的问题的具体步骤与某些技巧。，其熔解温度为，其熔解温度为 ，由实验测得，由实验测得 与与 解解 根据前面的讨论，解决问题的过程如下：根据前面的讨论，解决问题的过程如下：（1 1）将表中给出的数据点）将表中给出的数据点 第89页/共153页 图图 即令即令 其中其中 为待定常数。为待定常数。第90页/共153页 第91页/共153页 （）第92页/共153页 与实际值有一定的偏差

42、。与实际值有一定的偏差。表第93页/共153页 其平方根（称为均方误差）其平方根（称为均方误差）在一定程度上反映了所得经验公式的好坏。在一定程度上反映了所得经验公式的好坏。之间的溶解度。否则，就要用改变函数类型之间的溶解度。否则，就要用改变函数类型或者增加实验数据等方法来建立新的经验公式。或者增加实验数据等方法来建立新的经验公式。第94页/共153页 表第95页/共153页（1 1）曲线随着）曲线随着 的增加而上升，但上升速度由快到慢。的增加而上升，但上升速度由快到慢。（2 2）当）当 时，反应还未开始，即时，反应还未开始，即 ;当当 时，时，趋于某一常数。故曲线应通过原点趋于某一常数。故曲线

43、应通过原点(或者当或者当 时以时以原点为极限点原点为极限点)，且有一条水平渐近线。，且有一条水平渐近线。具有上述特点的曲线很多。选用不同的数学模型，具有上述特点的曲线很多。选用不同的数学模型，可以获得不同的拟合曲线与经验公式。可以获得不同的拟合曲线与经验公式。下面提供两种方案下面提供两种方案:图第96页/共153页 方案方案1 1 设想设想 是双曲线型的，并且具有形式是双曲线型的，并且具有形式 此时，若直接按最小二乘法原则去确定参数此时，若直接按最小二乘法原则去确定参数 和和 ,则问题归结为求二则问题归结为求二元函数元函数 的极小点，这将导致求解非线性方程组：的极小点，这将导致求解非线性方程组

44、：（）（）第97页/共153页 于是，若引入新变量于是，若引入新变量第98页/共153页 的最小二乘解的最小二乘解 表第99页/共153页即得代入(2.6.12),即得经验公式 （2.6.14）第100页/共153页 方案方案2 2 设想设想 具有指数形式具有指数形式 为了求参数为了求参数 和和 时，避免求解一个非线形方程组，时，避免求解一个非线形方程组，对上式两边取对数对上式两边取对数 此时，若引入新变量此时，若引入新变量 并记并记 ，则上式就是，则上式就是第101页/共153页 参照方案参照方案1 1，写出相应的法方程组并解之，即得，写出相应的法方程组并解之，即得表第102页/共153页

45、于是于是 故得另一个经验公式故得另一个经验公式 第103页/共153页 下面以常用的多项式拟合为例，说明最小二乘法下面以常用的多项式拟合为例，说明最小二乘法在电子计算机上实现的步骤。在电子计算机上实现的步骤。设有一组实验数据设有一组实验数据 ，今要用最小，今要用最小二乘法求一二乘法求一 次多项式曲线次多项式曲线来拟合这组数据。显然，求来拟合这组数据。显然，求 的实质就是要确定的实质就是要确定其系数其系数 。表（3.11)式（3.9）式最大偏差均方误差经验公式第104页/共153页 表示）分别为表示）分别为:第105页/共153页图2.6.3图2.6.4第106页/共153页 在实际问题中测得的

46、所有实验数据，并不是总是等在实际问题中测得的所有实验数据，并不是总是等精度、等地位的。显然，对于精度较高或地位较重要精度、等地位的。显然，对于精度较高或地位较重要（这应根据具体情况来判定）的那些数据，应当给予较（这应根据具体情况来判定）的那些数据，应当给予较大的权。在这种情况下，求给定数据的拟合曲线，就要大的权。在这种情况下，求给定数据的拟合曲线，就要采用加权最小二乘法。采用加权最小二乘法。用加权最小二乘法进行曲线拟合的要求与原则：用加权最小二乘法进行曲线拟合的要求与原则：对于给定的一组实验数据对于给定的一组实验数据第107页/共153页要求在某个函数类要求在某个函数类 中，寻求一个函数中，寻

47、求一个函数 使使 其中其中第108页/共153页 为函数类为函数类 中任一函数；中任一函数；是一列正数，是一列正数，称为权，它的大小反映了数据地位的强弱。显然，求称为权，它的大小反映了数据地位的强弱。显然，求 的问题可归结为求多元函数：的问题可归结为求多元函数：第109页/共153页 作为特例，如果选用的拟合曲线为作为特例，如果选用的拟合曲线为 那么相应的法方程组为那么相应的法方程组为（）第110页/共153页例2.6.3已知一组实验数据及权如表2.6.7。若与之间有线性关系，试用最小二乘法确定系数和。表2.6.7第111页/共153页 解解 因为拟合曲线为一次多项式曲线（直线）因为拟合曲线为

48、一次多项式曲线（直线）解之得解之得第112页/共153页 在前几节，虽然从原则上解决了最小二乘意义在前几节，虽然从原则上解决了最小二乘意义下的曲线拟合问题，但在实际计算中，由于当下的曲线拟合问题，但在实际计算中，由于当 较较大，例如大，例如 ，法方程组往往是病态的，因而，法方程组往往是病态的，因而给求解工作带来了一定困难。近年来，产生了许多解给求解工作带来了一定困难。近年来，产生了许多解决这一困难的新方法。本节将简要介绍利用正交函数决这一困难的新方法。本节将简要介绍利用正交函数作最小二乘拟合的基本原理，以及利用正交多项式拟作最小二乘拟合的基本原理，以及利用正交多项式拟合的一种行之有效的方法。合

49、的一种行之有效的方法。第113页/共153页 对于对于 和权和权 ，若一组函数，若一组函数 满足条件：满足条件：则称则称 是关于点集是关于点集 带权带权 的正交函数族。特别，当的正交函数族。特别，当 都是多项式都是多项式时，就称时，就称 是关于点集是关于点集 带权带权 的一组正的一组正交多项式。交多项式。（）第114页/共153页 如果在提到正交函数或正交多项式时，没有提到权如果在提到正交函数或正交多项式时，没有提到权 ，就意味着权都是，就意味着权都是1 1。若所考虑的函数类若所考虑的函数类 第115页/共153页 此时法方程组简化为：此时法方程组简化为：只要由此解出只要由此解出 就可得到最小

50、二乘法解：就可得到最小二乘法解：（）（）第116页/共153页 这样就避免了求解一个病态方程组。这样就避免了求解一个病态方程组。（）第117页/共153页 ，寻求一组由正交函数族组成的基函数的问，寻求一组由正交函数族组成的基函数的问题。题。构造正交函数组的方法很多。下面以多项式构造正交函数组的方法很多。下面以多项式为例，介绍一种具体的方法。这种做法是以下述为例，介绍一种具体的方法。这种做法是以下述定理为基础的：定理为基础的：第118页/共153页定理2.6.2对于给定的点集和权利用递推公式：（2.6.22）（2.6.23）第119页/共153页 构造的函数族构造的函数族 是关于点集是关于点集