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1、矢量代数(大物)第1页，本讲稿共28页0-1 0-1 矢量与标量矢量与标量第2页，本讲稿共28页一标量一标量定义：定义：定义：定义：只有大小，没有方向的量。只有大小，没有方向的量。只有大小，没有方向的量。只有大小，没有方向的量。表示：表示：表示：表示：数字（可带正负号）。数字（可带正负号）。加法：加法：代数和。代数和。第3页，本讲稿共28页二矢量二矢量定义：定义：定义：定义：既有大小，又有方向的量。既有大小，又有方向的量。既有大小，又有方向的量。既有大小，又有方向的量。表示：表示：加法：加法：平行四边形法则或三角形法则。平行四边形法则或三角形法则。平行四边形法则或三角形法则。平行四边形法则或三
2、角形法则。第4页，本讲稿共28页0-2 0-2 矢量的合成与分解矢量的合成与分解第5页，本讲稿共28页一矢量的合成一矢量的合成矢量矢量2 2矢量矢量3 3第6页，本讲稿共28页二矢量的分解二矢量的分解 把一个矢量看成两个或两个以上的矢量相加。把一个矢量看成两个或两个以上的矢量相加。1 1矢量的分解矢量的分解矢量的分解矢量的分解 一般一个矢量有无穷多种分解法一般一个矢量有无穷多种分解法矢量矢量4 4第7页，本讲稿共28页2 2 2 2矢量的正交分解矢量的正交分解矢量的正交分解矢量的正交分解 矢量矢量8 8xyz第8页，本讲稿共28页三矢量和（差）的正交分量表示三矢量和（差）的正交分量表示第9页，
3、本讲稿共28页0-3 0-3 矢量的乘积矢量的乘积 第10页，本讲稿共28页定义：定义：一一一一.矢量乘以标量矢量乘以标量矢量乘以标量矢量乘以标量 性质：性质：第11页，本讲稿共28页二二.矢量的标积矢量的标积 定义：定义：定义：定义：性质：性质：性质：性质：矢量的标积的正交分量表示：矢量的标积的正交分量表示：矢量的标积的正交分量表示：矢量的标积的正交分量表示：第12页，本讲稿共28页三三.矢量的矢积矢量的矢积 定义：定义：定义：定义：性质：性质：性质：性质：第13页，本讲稿共28页矢量的标积的正交分量表示：矢量的标积的正交分量表示：矢量的标积的正交分量表示：矢量的标积的正交分量表示：第14页
4、，本讲稿共28页0-4 0-4 矢量函数的导数与积分矢量函数的导数与积分第15页，本讲稿共28页一一.矢量函数矢量函数第16页，本讲稿共28页二二.矢量函数的导数矢量函数的导数定义定义定义定义 矢量矢量1010 x xy yz z第17页，本讲稿共28页性质性质性质性质矢量函数导数的正交分量表示矢量函数导数的正交分量表示矢量函数导数的正交分量表示矢量函数导数的正交分量表示 第18页，本讲稿共28页三三.矢量函数的积分矢量函数的积分 定义定义 第19页，本讲稿共28页矢量函数积分的正交分量表示矢量函数积分的正交分量表示矢量函数积分的正交分量表示矢量函数积分的正交分量表示 性质性质第20页，本讲稿
5、共28页0-5 0-5 标量场的梯度与矢量场的散度、旋度标量场的梯度与矢量场的散度、旋度第21页，本讲稿共28页一、一、标量场的梯度标量场的梯度 梯度用来表征标量场在空间各点沿不同方向变化快慢的程度。第22页，本讲稿共28页标量场:笛卡儿坐标:第23页，本讲稿共28页二、矢量场的散度二、矢量场的散度(1)(1)通量通量 一个矢量场通过 面元的通量为通过S面的通量为通过S面的通量为第24页，本讲稿共28页(2)散度散度 设封闭曲面S所包围的体积为 ，则就是矢量场 在 中单位体积的平均通量，或者平均发散量。若平均发散量的极限值存在，便记作第25页，本讲稿共28页散度可用来表征空间 各点矢量场发散的
6、强弱程度，当div ，表示该点有散发通量的正源；当div ，表示该点有吸收通量的负源；当div ，表示该点为无源场。(3)高斯定理高斯定理它将一个闭合曲面的一个闭合曲面的面积分面积分转为该曲面所包围体积的曲面所包围体积的体体积分积分，反之亦然。第26页，本讲稿共28页三、矢量场的旋度三、矢量场的旋度(1)矢量场矢量场 的环量的环量 将矢量场 沿一条有向闭合曲线L的线积分称为 沿该曲线L的环量。(2)(2)旋度旋度 设闭合曲线L围着面积 ,当 时,对L的环量与 之比的极限称为 的旋度沿该面法线的分量第27页，本讲稿共28页 旋度可用以表征矢量在某点附近各方向上环流强弱的程度，如果场中处处rot 称为无旋场。(3)斯托克斯定理（斯托克斯定理（Stokes Theorem）它将任意闭合曲线边界的线积分转换为该闭合曲线为界的任意曲面的面积分，反之亦然。第28页，本讲稿共28页