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1、分形几何与分形插值分形几何与分形插值孙洪泉孙洪泉 教授教授第一章 绪论 1.1 分形的起源分形的起源人类在认识世界和改造世界的活动中离不开几何人类在认识世界和改造世界的活动中离不开几何学。在历史上科学技术的发展与几何学的进步始终学。在历史上科学技术的发展与几何学的进步始终是密切相关的。在经典几何学中是密切相关的。在经典几何学中,我们可以用直线、我们可以用直线、圆锥、球等一类规则的形状去描述诸如车轮、道路、圆锥、球等一类规则的形状去描述诸如车轮、道路、建筑物等人造物体。因为这些物体本来就是根据欧建筑物等人造物体。因为这些物体本来就是根据欧氏几何的规则图形生成的。然而在自然界中氏几何的规则图形生成
2、的。然而在自然界中,却存却存在着许许多多极其复杂、极不规则的形状。例如在着许许多多极其复杂、极不规则的形状。例如,海岸线、山川、河流、岩石、断裂、森林、闪电等海岸线、山川、河流、岩石、断裂、森林、闪电等等。它们都是非规则形状等。它们都是非规则形状,用欧几里德几何是无能用欧几里德几何是无能为力的。为力的。下面我们给出欧氏空间中不能解释的一些的下面我们给出欧氏空间中不能解释的一些的“奇怪奇怪”现象。现象。koch雪花的面积有限，周长为无限。这是欧氏空雪花的面积有限，周长为无限。这是欧氏空间中的间中的“奇怪奇怪”现象。为了说明这样的事实，下面现象。为了说明这样的事实，下面我们给出我们给出koch雪花
3、的生成步骤（如图雪花的生成步骤（如图1.1所示）。所示）。取周长为取周长为1的正三角形为初始元。的正三角形为初始元。第一步（第一步（k=1）：将边长三等份，并以中间的一份）：将边长三等份，并以中间的一份为底边构造正三角形，去掉该三角形的底边，将两为底边构造正三角形，去掉该三角形的底边，将两腰与剩下的两份相连，得到生成元（见图腰与剩下的两份相连，得到生成元（见图1.1）。原）。原三角形每条边都用生成元替换，得到具有三角形每条边都用生成元替换，得到具有6个凸顶点个凸顶点的的12边形。边形。第二步（第二步（k=2）：对第一步得到的图形，同样将其边）：对第一步得到的图形，同样将其边长三等份，并以中间的
4、一份构造正三角形，去掉该长三等份，并以中间的一份构造正三角形，去掉该三角形的底边，将两腰与两边的两份相连，得到生三角形的底边，将两腰与两边的两份相连，得到生成元替换，得到成元替换，得到24个凸顶点的个凸顶点的48边形。如此方法，边形。如此方法，一直作下去，当一直作下去，当k时便得到时便得到Koch雪花。雪花。运用初等几何和初等代数知识不难求得每一步运用初等几何和初等代数知识不难求得每一步图形的周长（设图形的周长（设k为步数；为步数；L图形边长）：图形边长）：由此可见，随着由此可见，随着n时，时，Koch雪花的周长雪花的周长。初始元 k=0:L=1生成元k=1:L=4/3=(1+1/3)1n,L
5、k=2:L=16/9=(1+1/3)2 k=n:L=16/9=(1+1/3)n图1.1 Koch 雪花的生成 然而，由然而，由Koch雪花的制作过程可知，每一步的雪花的制作过程可知，每一步的图形都包含在半径为图形都包含在半径为1的单位园中。因此的单位园中。因此Koch雪花的雪花的面积是有限的。这种面积有限、周长为无穷大的图形面积是有限的。这种面积有限、周长为无穷大的图形在欧氏空间中也是一种不可思意的在欧氏空间中也是一种不可思意的“奇怪奇怪”现象。现象。为什么会有这种为什么会有这种“奇怪奇怪”的现象发生呢？从分形的现象发生呢？从分形的概念引入之后，人们发现用上述方法作出的的概念引入之后，人们发现
6、用上述方法作出的Koch雪花边长是极其复杂，它的维数已不是欧氏雪花边长是极其复杂，它的维数已不是欧氏空间中曲线的维数空间中曲线的维数1维了，它的维数是大于维了，它的维数是大于1维维的。但这个边长也不能填满任何一个小的面积，所的。但这个边长也不能填满任何一个小的面积，所以它的维数是小于以它的维数是小于2维的。维的。同样，在测量英国海岸线时，人们发现海岸线的同样，在测量英国海岸线时，人们发现海岸线的长度随着测量时使用的码尺的变小而增大。长度随着测量时使用的码尺的变小而增大。1967年年法国数学家法国数学家B.B.Mandelbrot提出了提出了“英国的海岸英国的海岸线有多长？线有多长？”的问题，这
7、好像极其简单，因为长度的问题，这好像极其简单，因为长度依赖于测量单位。以依赖于测量单位。以1km为单位测量海岸线，那些为单位测量海岸线，那些短于短于1km的迂回曲折都忽略掉了；若以的迂回曲折都忽略掉了；若以1m为单位测为单位测量，那些大于量，那些大于1m的迂回曲折就能被测量出来，所以的迂回曲折就能被测量出来，所以测出的长度将变大。测出的长度将变大。测量单位进一步变小，测得的长度将愈来愈大。测量单位进一步变小，测得的长度将愈来愈大。如果这些愈来愈大的长度能趋近于一个确定值，这如果这些愈来愈大的长度能趋近于一个确定值，这个极限值就是海岸线的长度。但个极限值就是海岸线的长度。但Mandelbrot发
8、现：发现：当测量单位变小时，所得的长度是无限增大的。难当测量单位变小时，所得的长度是无限增大的。难道海岸线的长度是不确定的，或者说，海岸线是无道海岸线的长度是不确定的，或者说，海岸线是无限长的。为什么？后来人们发现，英国海岸线以及限长的。为什么？后来人们发现，英国海岸线以及Koch雪花的周长都是极其复杂的几何图形，它们的雪花的周长都是极其复杂的几何图形，它们的维数是介于维数是介于12之间的分数维。而我们使用的量测之间的分数维。而我们使用的量测码尺都是一维的。用小于图形维数的码尺去度量图码尺都是一维的。用小于图形维数的码尺去度量图形，得到的结果只能是无穷大；反之，用大于图形形，得到的结果只能是无
9、穷大；反之，用大于图形维数的码尺去度量图形，得到的结果只能是零。维数的码尺去度量图形，得到的结果只能是零。上述例子说明确实存在维数不是整数的图形，分上述例子说明确实存在维数不是整数的图形，分数维数维分形几何的思想便从这里萌芽。分形几何的思想便从这里萌芽。“分形分形”一词译于英文一词译于英文Fractal，系分形几何的创，系分形几何的创始人曼德尔布罗特（始人曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）于）于1975年由年由拉丁语拉丁语Frangere 一词创造而成，词本身具有一词创造而成，词本身具有“破碎破碎”、“不规则不规则”等含义。等含义。1973年年,法国数学家法国数学家Benoit B.
10、Mandelbrot在法兰西学院讲课时在法兰西学院讲课时,首次提首次提出了分维和分形几何的设想。他创造了出了分维和分形几何的设想。他创造了“分形分形(Fractal)”这个新术语。分形这个新术语。分形(Fractal)这个词出自这个词出自拉丁语拉丁语fractus,其原意具有不规则、分裂、支离破其原意具有不规则、分裂、支离破碎等意思。引入到中国，碎等意思。引入到中国，Fractal 这个词起初被人们这个词起初被人们译为译为“分形分形”、“分维分维”、“分数维分数维”、“分维数分维数”等。现在已基本上统一称为等。现在已基本上统一称为“分形分形”。Benoit B.Mandelbrot创立的分形几
11、何，借助创立的分形几何，借助于自相似性原理，洞察于混乱现象中的精细结构，于自相似性原理，洞察于混乱现象中的精细结构，其研究对象为自然界和社会活动中广泛存在的复其研究对象为自然界和社会活动中广泛存在的复杂无序，而又具有某种规律的系统，它为人们从局杂无序，而又具有某种规律的系统，它为人们从局部认识整体、从有限认识无限提供了新的方法，为部认识整体、从有限认识无限提供了新的方法，为研究自然界中的不规则现象提供了一种定量描述手研究自然界中的不规则现象提供了一种定量描述手段。因此段。因此,近年来分形几何不论在理论上近年来分形几何不论在理论上,还是在应还是在应用上都得到了迅速的发展。用上都得到了迅速的发展。
12、1.2 什么是分形什么是分形我们人类生活的世界是一个极其复杂的世界，我们人类生活的世界是一个极其复杂的世界，例如，喧闹的都市生活、变幻莫测的股市变例如，喧闹的都市生活、变幻莫测的股市变化、复杂的生命现象、蜿蜒曲折的海岸线、化、复杂的生命现象、蜿蜒曲折的海岸线、坑坑洼洼的地面等等，都表现了客观世界特坑坑洼洼的地面等等，都表现了客观世界特别丰富的现象。在传统欧氏几何学里，别丰富的现象。在传统欧氏几何学里，人们总是把研究对象想象成一个个规则的形体：直人们总是把研究对象想象成一个个规则的形体：直线、圆形、方形、曲面、立方体等，而我们生活的线、圆形、方形、曲面、立方体等，而我们生活的现实世界中存在的物体
13、，竟有如此多的不规则和支现实世界中存在的物体，竟有如此多的不规则和支离破碎。与欧几里得几何图形相比，拥有完全不同离破碎。与欧几里得几何图形相比，拥有完全不同层次的复杂性。分形几何则提供了一种描述和研究层次的复杂性。分形几何则提供了一种描述和研究这种不规则复杂现象的新方法。这种不规则复杂现象的新方法。什么是分形几何？通俗一点说就是研究无限复什么是分形几何？通俗一点说就是研究无限复杂但具有一定意义下的自相似图形和结构的几何学。杂但具有一定意义下的自相似图形和结构的几何学。什么是自相似呢？我们日常生活中的菜花就是一个什么是自相似呢？我们日常生活中的菜花就是一个具有统计自相似性的分形几何体的很好的例子
14、具有统计自相似性的分形几何体的很好的例子(图1.2)。从一棵菜花上掰下一枝，放大后它与整体是。从一棵菜花上掰下一枝，放大后它与整体是相似的，再从这枝上掰下更小的一枝，再进行放大，相似的，再从这枝上掰下更小的一枝，再进行放大，它也与这棵菜花的整体也是相似的。又如，河流水它也与这棵菜花的整体也是相似的。又如，河流水系系(图1.3)，一个大的河流、水系与它的支流、，一个大的河流、水系与它的支流、更小的一枝，再进行放大，它也与这棵菜花的整体更小的一枝，再进行放大，它也与这棵菜花的整体也是相似的。又如，河流水系也是相似的。又如，河流水系(图1.3)，一个大的河，一个大的河流、水系与它的支流、更小的水系就
15、具有统计意义流、水系与它的支流、更小的水系就具有统计意义上的自相似性。图上的自相似性。图1.3显示了亚马逊河水系的自相似显示了亚马逊河水系的自相似特征特征,经测量计算得其分形维数为经测量计算得其分形维数为1.85。图1.2 菜花的自相似性征1/2 inch1/2 inch1/2 inch图1.3 河流水系的分形特征N500 km其实，自相似的例子在我们的身边到处可见。例如其实，自相似的例子在我们的身边到处可见。例如一棵大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，在形状一棵大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，在形状上没什么大的区别，所以我们说，大树与树枝这种关上没什么大的区别，所以我们说，大树与树枝这种
16、关系在几何形状上称之为自相似关系；我们再拿来一片系在几何形状上称之为自相似关系；我们再拿来一片树叶，仔细观察一下叶脉，它们也具备这种性质。动树叶，仔细观察一下叶脉，它们也具备这种性质。动物也不例外，一头牛身体中的一个细胞中的基因记物也不例外，一头牛身体中的一个细胞中的基因记录着这头牛的全部生长信息；还有高山的表面，您录着这头牛的全部生长信息；还有高山的表面，您无论怎样放大其局部，它都如此粗糙不平等等。无论怎样放大其局部，它都如此粗糙不平等等。分形几何的创始人分形几何的创始人Benoit B.Mandelbrot 说过说过:“云团不是球体云团不是球体,山峰不是锥形山峰不是锥形,海岸线不是圆弧海岸
17、线不是圆弧,树树皮也并不光滑皮也并不光滑,闪电也不是直线传播闪电也不是直线传播2。”这就说明这就说明了在自然界中大量的物体都不能用传统的几何形态了在自然界中大量的物体都不能用传统的几何形态来精确地进行描述。来精确地进行描述。而在这些而在这些“不规则不规则”的形体的形体中中,大量的具有分形的特征。大量的具有分形的特征。分形是适合于描述大自然的几何。研究表明星云分形是适合于描述大自然的几何。研究表明星云的分布、海岸线的形状、山形的起伏、地震、河网的分布、海岸线的形状、山形的起伏、地震、河网水系、材料组织生长、湍流、酶和蛋白质的结构、水系、材料组织生长、湍流、酶和蛋白质的结构、人体血管系统、肺膜结构
18、、脑电图、城市噪音、股人体血管系统、肺膜结构、脑电图、城市噪音、股市的涨落等等，大至宇宙星云分布，小到准晶态的市的涨落等等，大至宇宙星云分布，小到准晶态的的晶体结构，从地学、生物学、物理学、化学以至的晶体结构，从地学、生物学、物理学、化学以至社会科学都普遍存在分形现象。社会科学都普遍存在分形现象。分形几何揭示了世界的本，分形几何是真正描述分形几何揭示了世界的本，分形几何是真正描述大自然的几何学。区别于经典几何，分形几何有两大自然的几何学。区别于经典几何，分形几何有两个基本特征，即自相似性与分形维数。自相似性就个基本特征，即自相似性与分形维数。自相似性就是说物体的任何细小部分与整体相似，例如上述
19、是说物体的任何细小部分与整体相似，例如上述Koch雪花的周长。这种相似性称为严格自相似性。雪花的周长。这种相似性称为严格自相似性。然而然而,自然界中常见的自相似是统计自相似，即统计自然界中常见的自相似是统计自相似，即统计意义上的自相似性。意义上的自相似性。我们对上述分形的描述加以引伸，可以得到下列我们对上述分形的描述加以引伸，可以得到下列分形的含义：分形的含义：1、分形既可以是几何图形，也可以是由、分形既可以是几何图形，也可以是由“功能功能”或或“信息信息”架起的数理模型；架起的数理模型；2、分形可以同时具有形态、功能和信息三方面的、分形可以同时具有形态、功能和信息三方面的自相似性，也可以只有
20、其中某一方面的自相似性；自相似性，也可以只有其中某一方面的自相似性；3、自相似性可以是严格的，也可以是统计意义、自相似性可以是严格的，也可以是统计意义上的，自然界的大多数分形都是统计自相似的；上的，自然界的大多数分形都是统计自相似的；4、相似性有层次结构上的差异，数学中的分形，、相似性有层次结构上的差异，数学中的分形，具有无限嵌套的层次结构，而自然界中的分形只有具有无限嵌套的层次结构，而自然界中的分形只有有限层次的嵌套，且要进入到一定的层次结构以后有限层次的嵌套，且要进入到一定的层次结构以后才有分形的规律；才有分形的规律；5、相似性有级别（即使用生成元的次数或放大、相似性有级别（即使用生成元的
21、次数或放大倍数）上的差异。级别最高的是整体，最低的称为倍数）上的差异。级别最高的是整体，最低的称为0级生成元。级别愈接近，则愈相似。级别相差愈大，级生成元。级别愈接近，则愈相似。级别相差愈大，相似性愈差。可用无标度区间或标度不变性表示。相似性愈差。可用无标度区间或标度不变性表示。1.3 维数与分形维数维数与分形维数 在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维。平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维。也可以稍加推广，认为点是零维的。还可以引入也可以稍加推广，认为点是零维的。还可以引入高维空间，但通常人们习惯于整数
22、的维数。高维空间，但通常人们习惯于整数的维数。分形的另一个特征是分数维数，即维数可以是分形的另一个特征是分数维数，即维数可以是分数的。这类维数是在研究自然界中复杂现象时分数的。这类维数是在研究自然界中复杂现象时需要引入的一个重要概念。需要引入的一个重要概念。为了弄清楚分形维数的计算方法，我们首回顾为了弄清楚分形维数的计算方法，我们首回顾在欧氏空间中，度量不同维数的单位形体时，尺在欧氏空间中，度量不同维数的单位形体时，尺码与度量次的关系码与度量次的关系(见图见图1.4)。取单位长的线段取单位长的线段(1维形体维形体)，以长为，以长为 的码尺去度的码尺去度量它，度量的次数为量它，度量的次数为N(r
23、)=2，它是码尺的，它是码尺的1次幂分次幂分之一；若以长为之一；若以长为 的码尺去度量它，则度量的次数为的码尺去度量它，则度量的次数为N(r)=3，它仍然是码尺的，它仍然是码尺的1次幂分之一；次幂分之一；当；当以长为以长为 的码尺去度量它，则度量的次数为的码尺去度量它，则度量的次数为N(r)=n，它仍然是码尺的，它仍然是码尺的1次幂分之一，见图次幂分之一，见图1.4（a）。再取单位正方形再取单位正方形(2维形体维形体)，以边长为，以边长为(码尺码尺)的小的小正方形去度量它，度量的次数为正方形去度量它，度量的次数为N(r)=4，它是码尺，它是码尺的的2次幂分之一；若以边长为次幂分之一；若以边长为
24、(码尺码尺)的小正方形去的小正方形去度量它，则度量的次数为度量它，则度量的次数为N(r)=9，它仍然是码尺的，它仍然是码尺的2次幂分之一；次幂分之一；当以边长为；当以边长为 的小正方形去度的小正方形去度量它，则度量的次数为量它，则度量的次数为N(r)=n2，它仍然是码尺的，它仍然是码尺的1次幂分之一，见图次幂分之一，见图1.4（b）同理，对于单位立方体同理，对于单位立方体(3维形体维形体)，用不同的码，用不同的码尺去度量它时，其度量次数是码尺尺去度量它时，其度量次数是码尺3次幂分之一次幂分之一,见见图图1.4(c)。(a)(b)图1.4 欧氏空间中单位形体码尺与度量次数之间关系r：码尺，N(r
25、)：度量次数，l(r)：单位形体体积(a)一维形体；(b)二维形体；(c)三维形体所以，我们可以得到，对于所以，我们可以得到，对于d维欧氏空间中的形体，维欧氏空间中的形体，码尺长度码尺长度r与度量次数与度量次数N(r)之间关系为之间关系为 公式公式(1.4.1)是欧氏空间中维数定义的数学表达式，是欧氏空间中维数定义的数学表达式，它是维数本质的数学特征。对于分形空间中的分形它是维数本质的数学特征。对于分形空间中的分形体，如果它是严格自相似的，则它的相似维数也可体，如果它是严格自相似的，则它的相似维数也可以通过公式以通过公式(1.4.1)来求得。由于分形几何具有特殊来求得。由于分形几何具有特殊的复
26、杂性，对于一般的分形集的维数的计算，根据的复杂性，对于一般的分形集的维数的计算，根据不同的情况可以用极限的形式定义不同的分形维数不同的情况可以用极限的形式定义不同的分形维数计算公式，以后的章节将有详细介绍。计算公式，以后的章节将有详细介绍。(1.4.1)对于分形，目前还没有一个确切的定义，正如生对于分形，目前还没有一个确切的定义，正如生物学中对物学中对“生命生命”也没有严格明确的定义一样，人们也没有严格明确的定义一样，人们通常是列出生命体的一系列特性来加以说明。对分形通常是列出生命体的一系列特性来加以说明。对分形的定义也可作同样的处理。的定义也可作同样的处理。对于某一集合对于某一集合A，如果具
27、有下面的性质，可称为分，如果具有下面的性质，可称为分形集：形集：(1)曼德布罗特曾把满足下式条件曼德布罗特曾把满足下式条件 的集合的集合A，称为，称为分形集。其中，分形集。其中，Dim(A)为集合为集合A的分形维数，的分形维数，dim(A)为其拓扑维数。一般来说，为其拓扑维数。一般来说，Dim(A)不是整数，而是不是整数，而是分数；分数；(2)集合集合A具有近似的、或统计的自相似性，亦即满具有近似的、或统计的自相似性，亦即满足标度不变性；足标度不变性；(3)集合集合A具有不规则性，从整体到局部均难以用传具有不规则性，从整体到局部均难以用传统的几何学进行描述；统的几何学进行描述；(4)集合集合A
28、具有精细结构，也就是说，它具有任意具有精细结构，也就是说，它具有任意小的比例的细节；小的比例的细节；(5)在许多情况下，集合在许多情况下，集合A可以用非常简单的方法可以用非常简单的方法定义，它具有递归性，可在计算机上以递归的方式定义，它具有递归性，可在计算机上以递归的方式生成。生成。总之，分形几何与传统的几何完全不同，传统的总之，分形几何与传统的几何完全不同，传统的欧几里德几何的对象具有一定的特征长度和标度，欧几里德几何的对象具有一定的特征长度和标度，其所描述的是人类生产的工业产品的规则形状，分其所描述的是人类生产的工业产品的规则形状，分形几何则是无特征长度与标度的，它擅长描述自然形几何则是无
29、特征长度与标度的，它擅长描述自然界普遍存在的景物，分形几何的图形具有自相似性界普遍存在的景物，分形几何的图形具有自相似性和递归性，它比较适于用计算机迭代生成。和递归性，它比较适于用计算机迭代生成。1.4 插值与分形插值插值与分形插值给定一组测量数据（信息点）给定一组测量数据（信息点）(xi,Fi);xi-1xi,i=1,2,N 欲构造一个函数欲构造一个函数f(x)，使它的几何图形连，使它的几何图形连续地穿过每个点，即续地穿过每个点，即Fi=f(xi),i=0,1,N。函数。函数f(x)就称为插值函数。就称为插值函数。对插值函数的要求不同，又可得到不同的性质的对插值函数的要求不同，又可得到不同的
30、性质的插值函数。插值函数。1.线性插值线性插值 线性插值是假定相邻两已知数据点之间的未知信线性插值是假定相邻两已知数据点之间的未知信息呈线性变化规律息呈线性变化规律,即为一次函数即为一次函数(直线或平面）。直线或平面）。如如手工绘制等值线图。手工绘制等值线图。2.距离平方反比法距离平方反比法 已知数据点对未知点的影响已知数据点对未知点的影响,是与它到未知点的距是与它到未知点的距离有关的。离有关的。距离越远距离越远,影响越小。传统的曲面插值影响越小。传统的曲面插值常采用这种方法。常采用这种方法。3.Lagrange插值插值 Lagrange插值是多项式插值插值是多项式插值,它是插值区域的整它是插
31、值区域的整体函数体函数,使得这个函数在观测点上的函数值与观测值使得这个函数在观测点上的函数值与观测值相等。相等。4.样条函数样条函数 样条函数是分片函数样条函数是分片函数,它不仅要求函数在观测点它不仅要求函数在观测点上连续上连续,还要具有一阶或二阶导数存在。还要具有一阶或二阶导数存在。5.地质统计学法地质统计学法地质统计学插值假定研究区域中的数据地质统计学插值假定研究区域中的数据,具有统计上具有统计上的二阶平稳性。它是一种无偏且估计方差最小的插的二阶平稳性。它是一种无偏且估计方差最小的插值方法。在插值的过程中值方法。在插值的过程中,既考虑到已知信息点的随既考虑到已知信息点的随机性机性,又考虑到
32、已知信息点的空间相关性。又考虑到已知信息点的空间相关性。6.分形插值分形插值 分形插值是根据分形几何的自相似性的原理和分形插值是根据分形几何的自相似性的原理和迭代函数系的理论迭代函数系的理论,将已知数据插值成具有自相似将已知数据插值成具有自相似结构的曲面。任何一个局部都与整体自相似或统结构的曲面。任何一个局部都与整体自相似或统计自相似。计自相似。(a)(b)(c)图1.5 不同性质的插值曲线(a)线性；(b)光滑曲线；(c)分形插值因此因此,从插值原理上看从插值原理上看,传统的插值方法传统的插值方法(15),任任意两相邻插值点之间的信息都是用直线或光滑曲线连意两相邻插值点之间的信息都是用直线或
33、光滑曲线连接接(见图见图1.5(a)，(b),从而掩盖了相邻两插值点之间从而掩盖了相邻两插值点之间局部变化特征局部变化特征,因此具有一定程度的光滑作用；而分因此具有一定程度的光滑作用；而分形插值形插值,根据整体与局部相似的原理根据整体与局部相似的原理,将插值数据点将插值数据点的变化特征映射到了相邻点之间的局部区域，在相邻的变化特征映射到了相邻点之间的局部区域，在相邻的两个信息点之间也能得到局部波状起伏的形状，可的两个信息点之间也能得到局部波状起伏的形状，可以得到两信息点之间的局部变化特征以得到两信息点之间的局部变化特征(见图见图1.5(c)。然而，对大量实际情况，在相邻两信息点之间并不是然而，
34、对大量实际情况，在相邻两信息点之间并不是线性变化的或是光滑过渡的，而是存在局部变化的特线性变化的或是光滑过渡的，而是存在局部变化的特征。因此征。因此,对于具有分形特征的形体，两信息点之间对于具有分形特征的形体，两信息点之间有更多更精细一级的波状起伏，用分形插值其结果更有更多更精细一级的波状起伏，用分形插值其结果更加符合实际。加符合实际。第三章 分形集的构造这一章我们着重讨论经典分形集的概念和构造方这一章我们着重讨论经典分形集的概念和构造方法。这些构造方法使我们能够产生和分类广泛的分法。这些构造方法使我们能够产生和分类广泛的分形类，包括康托形类，包括康托(Cantor)集、科赫集、科赫(Koch
35、)曲线、谢曲线、谢尔宾斯基尔宾斯基(Sierpinski)地毯和皮亚诺地毯和皮亚诺(Peano)曲线。曲线。分形被看成是由逐次微小加细的无限递归或归纳过分形被看成是由逐次微小加细的无限递归或归纳过程而得到的一种对象。本章仅给这些集合的生成方程而得到的一种对象。本章仅给这些集合的生成方法及其图形，下一章将给出它们的相似维数。法及其图形，下一章将给出它们的相似维数。3.1 Cantor集集 3.1.1 Cantor集的构造集的构造 经典的经典的Cantor集提供了一个最简单的分形集的集提供了一个最简单的分形集的例子。它的构造反映了分形集构成的一般原理：它例子。它的构造反映了分形集构成的一般原理：它
36、是由无限个许多小片组成，每一个小片又与整体集是由无限个许多小片组成，每一个小片又与整体集相似。相似。更精确地说，令更精确地说，令E0:0,1，E1:0,1/32/3,1，并且令，并且令Ek+1 是从去掉是从去掉Ek每一个小区间中间的每一个小区间中间的三分之一而得到。很清楚三分之一而得到。很清楚Ek是由是由2k个小区间组成，个小区间组成，且每个小区间的长度为且每个小区间的长度为(1/3)k。注意，。注意，Ek可以通过连可以通过连续地使用函数续地使用函数fi:0,10,1,i1,2 而得到。对于而得到。对于前一步前一步Ek-1集的每一个小区间，集的每一个小区间，fi由下式给定：由下式给定：和和（3
37、.1.1）（3.1.2）那么那么Cantor集就定义成集就定义成 。众所周知，众所周知，E是一个完备集。也就是说它是闭的是一个完备集。也就是说它是闭的并且自身是稠密的。并且自身是稠密的。Cantor集集F并不包含任何区间，并不包含任何区间，它的一维勒贝格测度等于零。但是，它的一维勒贝格测度等于零。但是，E是不可数的，是不可数的，它的零维勒贝格测度是无穷大。这种相当简单的研它的零维勒贝格测度是无穷大。这种相当简单的研究给了我们一个启示：对于精确地度量究给了我们一个启示：对于精确地度量E的的“体积体积”，勒贝格测度是太粗糙了，勒贝格测度是太粗糙了(事实上这是分形集的一事实上这是分形集的一般特征般特
38、征)。然而，豪斯道夫引进了一种测度，这种测。然而，豪斯道夫引进了一种测度，这种测度将一个有限的非零数与集度将一个有限的非零数与集C联系在一起。联系在一起。现在我们给出现在我们给出Cantor集的具体作法（见图集的具体作法（见图3.1）。）。设设E0表示线段表示线段0，1上所有实数的集合，把线段上所有实数的集合，把线段0，1分成三等份，把中央的三分之一部分分成三等份，把中央的三分之一部分1/3，2/3去去掉，用掉，用E1表示这剩下两个线段表示这剩下两个线段0，1/3，2/3，1。接着，把剩余的线段接着，把剩余的线段0，1/3，2/3，1再分别分成再分别分成三等份，去掉各自中央的三分之一部分三等份
39、，去掉各自中央的三分之一部分1/9，2/9，7/9，8/9，用，用E2表示剩下四个线段表示剩下四个线段0，1/9，2/9，1/3，2/3，7/9，8/9，1。这种作法不断重复下去，。这种作法不断重复下去，得到得到Cantor集集F。三分。三分Cantor集集F是由属于所有是由属于所有Ek当当k趋于无穷时的极限，是一个不可数的无穷集。图趋于无穷时的极限，是一个不可数的无穷集。图3.1给出了第给出了第5级的情况。在下一章，我们将给出级的情况。在下一章，我们将给出Cantor集的自相似维数。集的自相似维数。下面列出三分下面列出三分Cantor集集F的一些性质：的一些性质：(1)F是自相似的。很明显，
40、在区间是自相似的。很明显，在区间0，1/3和和2/3，l内的内的F的部分与的部分与F是几何相似的，相似比为是几何相似的，相似比为1/3。F在在E2的四个区间内的部分也与的四个区间内的部分也与F相似，相似比为相似，相似比为1/9。以此类推，这个集包含许多不同比例的与自身相似以此类推，这个集包含许多不同比例的与自身相似的子集。的子集。(2)F具有具有“精细结构精细结构”。它包含有任意小比例的。它包含有任意小比例的细节，即在任意小的尺度内都包含整体特征。越放细节，即在任意小的尺度内都包含整体特征。越放大三分大三分Cantor集的图，间隙就越清楚地呈现出来。集的图，间隙就越清楚地呈现出来。(3)尽管尽
41、管F有错综复杂的细节结构，但有错综复杂的细节结构，但E的实际定的实际定义却非常简单明了。义却非常简单明了。(4)F是由一个迭代过程产生的，它的结构是由重是由一个迭代过程产生的，它的结构是由重复去掉区间中间的复去掉区间中间的1/3得到。持续的步骤得到的得到。持续的步骤得到的Ek是是E的越来越好的逼近。的越来越好的逼近。(5)F的几何性质难以用传统的几何术语来描述，的几何性质难以用传统的几何术语来描述，它的点的轨迹既不满足某些简单的几何条件，也不它的点的轨迹既不满足某些简单的几何条件，也不是某个简单方程的解集。是某个简单方程的解集。(6)F的局部几何性质也是很难描述的，在它的每的局部几何性质也是很
42、难描述的，在它的每个点附近都有大量被各种不同间隔分开的其它点。个点附近都有大量被各种不同间隔分开的其它点。(7)虽然虽然F在某种意义上是相当大的集在某种意义上是相当大的集(它是无限它是无限不可数的不可数的)，然而它是不能用通常的测度和长度来，然而它是不能用通常的测度和长度来度量，用任何合理的长度意义下，度量，用任何合理的长度意义下，F的长度总为零。的长度总为零。图3.1 Cantor集18/97/92/31/32/91/90E0E1E2E3E4E53.1.2 Cantor尘的构造尘的构造 一个平面中的一个平面中的Cantor集，称为集，称为“Cantor尘尘”19，如图如图3.2所示。构造所示
43、。构造“Cantor尘尘”的步骤与三分的步骤与三分Cantor集的类似，它的每一步骤是把正方形等分成集的类似，它的每一步骤是把正方形等分成16个小正方形，保留其中四个而把其余的去掉。当然，个小正方形，保留其中四个而把其余的去掉。当然，保留不同次序或个数不同的小正方形，可以构造出不保留不同次序或个数不同的小正方形，可以构造出不同的集。显然同的集。显然“Cantor尘尘”具有与在三分具有与在三分Cantor集中集中指出的那些性质相似的性质。指出的那些性质相似的性质。图3.2 Cantor尘 Cantor集的构造还可以有随机的类似形式。以集的构造还可以有随机的类似形式。以三分三分Cantor集为例，
44、它的构造可以用几种不同的方集为例，它的构造可以用几种不同的方法随机化。每次把线段分成三部分，但不是总去掉法随机化。每次把线段分成三部分，但不是总去掉中间的一段，可以用掷骰子来决定去掉哪部分。另中间的一段，可以用掷骰子来决定去掉哪部分。另外，也可以在每步的构造中随机地选择区间的长度，外，也可以在每步的构造中随机地选择区间的长度，可以在第可以在第k步，得到步，得到2k个不同长度的区间，最终得到个不同长度的区间，最终得到一个看起不规则的图形。一个看起不规则的图形。一般地说，在构造随机的一般地说，在构造随机的Cantor集时，有两个集时，有两个条件是可以改变的：其一是对初始长度条件是可以改变的：其一是
45、对初始长度L0进行多少进行多少等分或不等分；其二是留下哪些部分，去掉哪些等分或不等分；其二是留下哪些部分，去掉哪些部分。在部分。在Cantor三分集中，可以随机地保留其中三分集中，可以随机地保留其中的两部分，每部分的长度也可以是随机变化的。的两部分，每部分的长度也可以是随机变化的。得到的图形将是更加错综复杂的。得到的图形将是更加错综复杂的。3.2 Koch曲线曲线3.2.1 Koch曲线的构造曲线的构造 现在我们介绍现在我们介绍Koch曲线的构造曲线的构造(图图3.3)。开始，设单位长度的线段为开始，设单位长度的线段为E0；第一步，将第一步，将E0分成三等份，去掉中间的一段，并分成三等份，去掉
46、中间的一段，并以两条长为以两条长为1/3的折线来替代，得到的折线来替代，得到E1；第二步，将第二步，将E1中的每条线段三等份，去掉中间的中的每条线段三等份，去掉中间的一段，用长一段，用长(l/3)2的两条折线替代，得到的两条折线替代，得到E2；不断重复这样的迭代作法，无数次迭代后就生成不断重复这样的迭代作法，无数次迭代后就生成了具有无穷多弯曲、处处连续、处处不可微商的了具有无穷多弯曲、处处连续、处处不可微商的Koch曲线曲线F。E0E1E2E3F图3.3 Koch曲线3.2.2 Koch曲线的自相似性曲线的自相似性 Koch曲线曲线F是分形的，因为它是自相似的。自相是分形的，因为它是自相似的。
47、自相似性就是跨尺度的对称性。它意味着递归，在一个图似性就是跨尺度的对称性。它意味着递归，在一个图形内部还有图形。自相似性指的是把要考虑的图形一形内部还有图形。自相似性指的是把要考虑的图形一部分放大，其形状与整体相同。设想把图部分放大，其形状与整体相同。设想把图3.3中中Koch曲线曲线F在区间在区间0，l/3中的图形放大中的图形放大3倍，放大后的图倍，放大后的图形与原来的曲线形状完全相同。把区间形与原来的曲线形状完全相同。把区间2/3，1放大放大3倍，也会得到同样结果。虽然区间倍，也会得到同样结果。虽然区间1/3，l/2，1/2，2/3的图形是倾斜的，但是把它放大，也会得到同的图形是倾斜的，但
48、是把它放大，也会得到同样的结果。若把区间样的结果。若把区间0，1/9的图形放大的图形放大9倍，同样也倍，同样也可以求得与原来相同的图形。对更小的部分进行放大可以求得与原来相同的图形。对更小的部分进行放大也是如此。不论多小的部分，若把它放大到适当大小，也是如此。不论多小的部分，若把它放大到适当大小，应该能得出与原来相同的图形应该能得出与原来相同的图形,见图见图3.4。图3.4 Koch曲线的自相似性放大3倍 注意到，在第注意到，在第n步迭代时，每个线段的长度为步迭代时，每个线段的长度为(1/3)n，一共有，一共有4n个这样的线段。因此，个这样的线段。因此，Koch曲线曲线的长度在第的长度在第n步
49、时为步时为 Ln=(4/3)n（3.2.1）显然，当时显然，当时n，Ln。这正是由于这条曲线。这正是由于这条曲线是分形曲线，它的维数大于一维，用欧氏空间一维是分形曲线，它的维数大于一维，用欧氏空间一维的尺码去度量所得到的结果。下一章我们将给出的尺码去度量所得到的结果。下一章我们将给出Koch曲线的分形维数。曲线的分形维数。3.2.3 Koch雪花的构造雪花的构造 绪论中所讲的绪论中所讲的Koch雪花的构造过程与雪花的构造过程与Koch曲线曲线的构造过程类似。实际上，的构造过程类似。实际上，Koch雪花是由三条三雪花是由三条三次次Koch曲线组成（见图曲线组成（见图3.5）。它是一条连续的回）。
50、它是一条连续的回线，永远不会自我相交。因为每边上新加的三角形线，永远不会自我相交。因为每边上新加的三角形部足够小，以致彼此碰不上。每一次变换在曲线内部足够小，以致彼此碰不上。每一次变换在曲线内部增加一点面积，但总面积仍是有限的。事实上比部增加一点面积，但总面积仍是有限的。事实上比初始的三角形大不了多少。如果画一个外接圆把初初始的三角形大不了多少。如果画一个外接圆把初始的三角形包起来，始的三角形包起来，Koch雪花的周长曲线永远不雪花的周长曲线永远不会超出这个圆之外。会超出这个圆之外。然而，曲线本身却是无限之长，同任何伸向无边无然而，曲线本身却是无限之长，同任何伸向无边无际的宇宙深处的欧几里德直