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1、物理课件第五章刚体的定轴转动第1页，本讲稿共54页教学基本要求教学基本要求一一理解理解描写刚体定轴转动的描写刚体定轴转动的物理量物理量，并掌握角，并掌握角量与线量的关系量与线量的关系.二二理解理解力矩力矩和和转动惯量转动惯量概念，掌握概念，掌握刚体绕定刚体绕定轴转动的转动定理轴转动的转动定理.三三理解理解角动量角动量概念，掌握质点在平面内运动概念，掌握质点在平面内运动以及刚体绕定轴转动情况下的以及刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒角动量守恒问题问题.能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体的能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体的简单系统的力学问题简单系统的力学问题.四四理解理解刚体定轴转动的刚体
2、定轴转动的转动动能转动动能概念，能在有概念，能在有刚体绕定轴转动的问题中正确地应用刚体绕定轴转动的问题中正确地应用机械能守恒定律机械能守恒定律第2页，本讲稿共54页5.1 刚体的运动刚体的运动一一.刚体刚体受力时不改变形状和体积的物体。受力时不改变形状和体积的物体。说明：说明：1)理想化的力学模型理想化的力学模型；2)任何两点之间的距离在运动过程中保持不变任何两点之间的距离在运动过程中保持不变；3)刚体可以看成是无数质点组成的质点系，每一个质点叫做刚体刚体可以看成是无数质点组成的质点系，每一个质点叫做刚体的一个质元。的一个质元。4)关于质点系的运动基本定律适用关于质点系的运动基本定律适用.刚体
3、可以看成一个包含由大量质点、而各个质点间距离保持不刚体可以看成一个包含由大量质点、而各个质点间距离保持不变的质点系。变的质点系。第3页，本讲稿共54页1 1、平动、平动当当刚体中所有点的运动轨迹都保持刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同完全相同时，或者说时，或者说刚体内任意两点间刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的的连线总是平行于它们的初始位置间的连线连线时，刚体的运动叫作时，刚体的运动叫作平动平动。二二.刚体的运动刚体的运动特特点点：刚刚体体内内所所有有的的点点具具有有相相同同的的位位移移、速速度度和和加加速速度度。刚体上任一点的运动规律即代表刚体的平动规律。刚体上任一点的运动
4、规律即代表刚体的平动规律。刚体平动刚体平动质点运动质点运动第4页，本讲稿共54页2 2、转、转 动动刚体中所有的点都绕同一条直线作刚体中所有的点都绕同一条直线作圆周运动圆周运动，这种运动称为，这种运动称为转动转动。这条。这条直线叫作直线叫作转轴转轴。定轴转动：定轴转动：转轴固定不动的转动。转轴固定不动的转动。特点：特点：各质点都作圆周运动；各质点都作圆周运动；各质点圆周运动的平面垂直于轴线，圆心各质点圆周运动的平面垂直于轴线，圆心在轴线上；在轴线上；各质点的矢径在相同的时间内转过的角各质点的矢径在相同的时间内转过的角度相同。度相同。具有相同的角位移、角速度和具有相同的角位移、角速度和角加速度角
5、加速度.第5页，本讲稿共54页3、刚体的一般运动、刚体的一般运动平动平动绕转轴的转动绕转轴的转动+第6页，本讲稿共54页三三.刚体定轴转动的描述刚体定轴转动的描述 1.1.定轴转动的角量描述定轴转动的角量描述 角位置：角位置：角位移：角位移：角速度：角速度：角加速度：角加速度：角角速速度度和和角角加加速速度度均均为为矢矢量量，定定轴轴转转动动中中其其方方向向沿沿转转轴轴的的方方向向并并满满足足右右手螺旋定则手螺旋定则。第7页，本讲稿共54页2 2、角量和线量的关系角量和线量的关系3、匀加速转动公式匀加速转动公式 当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做匀加速转动当刚体绕定轴转动的角加速度为恒
6、量时，刚体做匀加速转动第8页，本讲稿共54页 刚体刚体绕绕定轴作匀加速转动定轴作匀加速转动质点质点匀加速直线运动匀加速直线运动刚体匀加速转动与质点匀加速直线运动公式对比刚体匀加速转动与质点匀加速直线运动公式对比P142例例5.1第9页，本讲稿共54页转动平面 沿沿Z Z 轴分量为轴分量为 对对Z Z 轴轴力矩力矩对对O O 点的力矩点的力矩：一一.力矩力矩5.2 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律第10页，本讲稿共54页 力不在转动平面内力不在转动平面内 注注 （1 1）在定轴动问题中，在定轴动问题中，如不加说明，所指的力矩是如不加说明，所指的力矩是指力在转动平面内的分力对指力在转动平面内的分力
7、对转轴的力矩。转轴的力矩。只能引起轴的只能引起轴的变形变形,对转动无贡献对转动无贡献。转动平面第11页，本讲稿共54页 是转轴到力作是转轴到力作用线的距离，称为力臂用线的距离，称为力臂。（2 2）（3 3）对转轴的力矩为零，对转轴的力矩为零，在定轴转动中不予考虑。在定轴转动中不予考虑。（4 4）在转轴方向确定后，力对在转轴方向确定后，力对转轴的力矩方向可用转轴的力矩方向可用+、-号表示。号表示。转动平面第12页，本讲稿共54页二二.刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律应用牛顿第二定律，可得：应用牛顿第二定律，可得：O对刚体中任一质量元对刚体中任一质量元-外力外力-内力内力采用自然坐标系，上式切向分
8、量式为：采用自然坐标系，上式切向分量式为：O第13页，本讲稿共54页用用 乘以上式左右两端：乘以上式左右两端：设刚体由设刚体由N 个点构成，对每个质点可写出上述类似个点构成，对每个质点可写出上述类似方程，将方程，将N 个方程左右相加，得：个方程左右相加，得：根据内力性质根据内力性质(每一对内力等值、反向、共每一对内力等值、反向、共线线,对同一轴力矩之代数和为零对同一轴力矩之代数和为零)，得：，得：第14页，本讲稿共54页得到：得到：上上式式左左端端为为刚刚体体所所受受外外力力的的合合外外力力矩矩，以以M M 表表示示；右右端端求求和和符符号号内内的的量量与与转转动动状状态态无无关关，称称为为刚
9、刚体体转转动动惯惯量，以量，以J J 表示。于是得到表示。于是得到刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律刚体所受的对于刚体所受的对于某一固定轴某一固定轴的合外力矩等于刚体对于的合外力矩等于刚体对于此此转轴转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所获得的角的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。加速度的乘积。第15页，本讲稿共54页讨论：讨论：（4 4）J J 和转轴有关，同一个物体对不同转轴的转和转轴有关，同一个物体对不同转轴的转 动惯量不同。动惯量不同。（3 3）J J 和质量分布有关；和质量分布有关；（2 2）M M 的符号：使刚体向规定的转动正方向加速的符号：使刚体向规定的转动
10、正方向加速 的力矩为正；的力矩为正；惯性大小的量度；惯性大小的量度；转动惯量是转动转动惯量是转动（1）M M 一定，一定，J J第16页，本讲稿共54页对定律的理解：对定律的理解：合外力矩与角加速度是瞬时关系，且一一对应。合外力矩与角加速度是瞬时关系，且一一对应。合外力矩与转动惯量是对同一转轴而言的。合外力矩与转动惯量是对同一转轴而言的。转转动动定定律律的的地地位位与与质质点点动动力力学学中中牛牛顿顿第第二二定定律律相相当当，是是解解决刚体定轴转动问题的基本方程。决刚体定轴转动问题的基本方程。三三.转动定律的应用转动定律的应用解题要点：解题要点：第17页，本讲稿共54页例例题题1 1 一一轻轻
11、绳绳跨跨过过一一定定滑滑轮轮，滑滑轮轮视视为为圆圆盘盘，绳绳的的两两端端分分别别悬悬有有质质量量为为m1和和m2的的物物体体1 1和和2 2，m1m1，物体，物体1 1向上运动，物体向上运动，物体2 2向下运动，滑轮以顺时针向下运动，滑轮以顺时针方向旋转，方向旋转，Mr r的指向如图所示。可列出下列方程的指向如图所示。可列出下列方程式式中中 是是滑滑轮轮的的角角加加速速度度，a是是物物体体的的加加速速度度。滑滑轮轮边边缘缘上的切向加速度和物体的加速度相等，即上的切向加速度和物体的加速度相等，即从以上各式即可解得从以上各式即可解得第19页，本讲稿共54页而而第20页，本讲稿共54页当不计滑轮质量
12、及摩擦阻力矩即令当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令m=0=0、M=0=0时，有时，有 上上题题中中的的装装置置叫叫阿阿特特伍伍德德机机，是是一一种种可可用用来来测测量量重重力力加加速速度度g g的的简简单单装装置置。因因为为在在已已知知m1、m2 、r和和J的的情情况况下下，能能通通过过实实验验测测出出物物体体1 1和和2 2的的加加速速度度a，再再通通过过加加速速度度把把g g算算出出来来。在在实实验验中中可可使使两两物物体体的的m1和和m2相相近近，从从而而使使它它们们的加速度的加速度a和速度和速度v都较小，这样就能角精确地测出都较小，这样就能角精确地测出a来。来。第21页，本讲稿共54页第2
13、2页，本讲稿共54页P144145例例5.2，例例5.3第23页，本讲稿共54页例例3、一个质量为一个质量为M、半径为、半径为R 的定滑轮上面绕的定滑轮上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为一质量为m 的物体而下垂。忽略轴处摩擦，的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体求物体m由静止下落高度由静止下落高度h时的速度和此时滑轮时的速度和此时滑轮的角速度。的角速度。解：解：定轴定轴ORthmv0=0绳绳第24页，本讲稿共54页例例2、一根长为一根长为l、质量为、质量为m 的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，
14、因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆下摆 角时的角加速度和角速度。角时的角加速度和角速度。解：棒下摆为加速过程，外力解：棒下摆为加速过程，外力矩为重力对矩为重力对O O 的力矩。的力矩。棒上取棒上取质元质元dm,当棒处在下摆当棒处在下摆 角时角时，重重力矩为：力矩为：XOdmgdmx据质心定义据质心定义第25页，本讲稿共54页再求角速度再求角速度 XOdmgdmx第26页，本讲稿共54页刚体的转动惯量等于刚体上各质点的刚体的转动惯量等于刚体上各质点的质量与各质点到转轴垂直距离平方的乘积质量与各质点到转轴垂直距
15、离平方的乘积之和。之和。转动惯量是标量；转动惯量是标量；转动惯量有可加性；转动惯量有可加性；刚体转动惯性大小的量度。刚体转动惯性大小的量度。单位：单位：kgm2若质量连续分布若质量连续分布若质量离散分布若质量离散分布 y rix z yi xi mi 5.3 转动惯量的计算转动惯量的计算 转动惯量与刚体的质量、刚体的转动惯量与刚体的质量、刚体的形状、以及转动轴有关形状、以及转动轴有关P146147例例5.4例例5.6第27页，本讲稿共54页平行轴定理平行轴定理（适用于任意形状的刚体）（适用于任意形状的刚体）CJCJZd例：对圆盘P148表表5.1：一些均匀刚体的转动惯量：一些均匀刚体的转动惯量
16、(记住记住)第28页，本讲稿共54页例例1 1、求质量为、求质量为m、半径为、半径为R的的均匀圆环的转动惯量均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平。轴与圆环平面垂直并通过圆心。面垂直并通过圆心。解：解：ROdm第29页，本讲稿共54页例例2 2、求质量为、求质量为m、半径为、半径为R均匀均匀圆盘的转动惯量圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂。轴与盘平面垂直并通过盘心。直并通过盘心。解：取半径为解：取半径为r宽为宽为d dr的薄圆环的薄圆环,ORO第30页，本讲稿共54页例例3 3、求长为、求长为L、质量为、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。ABLXABL/2L/2CX
17、解：取如图坐标，解：取如图坐标，（平行轴定理）（平行轴定理）第31页，本讲稿共54页例例4 4、内内半半径径为为R1 1 外外半半径径为为R2 2 质质量量为为m 的的匀匀质质中中空空圆圆柱柱绕绕其其对对称轴的转动惯量称轴的转动惯量解：取半径为解：取半径为r宽为宽为d dr的薄圆环的薄圆环,第32页，本讲稿共54页例例5 5、质质量量为为m 半半径径为为R 的的匀匀质质薄薄球球壳壳绕绕过过中中心心轴轴的的转转动动惯惯量量在球面取一圆环带，半径在球面取一圆环带，半径第33页，本讲稿共54页例例6 6、质量为、质量为m 半径为半径为R 的的匀质球体匀质球体绕过球心轴的转动惯量绕过球心轴的转动惯量把
18、球体看作无数个同心薄球壳的组合把球体看作无数个同心薄球壳的组合 第34页，本讲稿共54页5.4 角动量定理及守恒定律角动量定理及守恒定律一一.刚体绕定轴转动的角动量刚体绕定轴转动的角动量第35页，本讲稿共54页二二.角动量定理及守恒定律角动量定理及守恒定律角动量定理角动量定理角动量守恒定律角动量守恒定律刚体所受的外力矩等于刚体角动量的变化率。刚体所受的外力矩等于刚体角动量的变化率。角动量守恒定律：角动量守恒定律：当刚体所受的的合外力矩为零，或者当刚体所受的的合外力矩为零，或者不受合外力的作用，则刚体的角动量保持不变。不受合外力的作用，则刚体的角动量保持不变。第36页，本讲稿共54页讨论：分两种
19、情况：讨论：分两种情况：1)如果转动惯量不变，刚体作匀速转动；如果转动惯量不变，刚体作匀速转动；2)如果转动惯量发生改变，则刚体的角速度随转动惯量也发生变如果转动惯量发生改变，则刚体的角速度随转动惯量也发生变化，但二者的乘积不变。当转动惯量变大时，角速度变小；当转化，但二者的乘积不变。当转动惯量变大时，角速度变小；当转动惯量变小时，角速度变大。动惯量变小时，角速度变大。第37页，本讲稿共54页推推广广：对对于于多多个个刚刚体体或或刚刚体体与与质质点点的的组组合合系系统统，角角动动量量定理定理仍然成立。仍然成立。对对于于由由多多个个刚刚体体或或刚刚体体与与质质点点组组成成的的复复杂杂系系统统，系
20、系统统所所受受的的对对同同一一转转轴轴的的合合外外力力矩矩等等于于系系统统对对该该转转轴轴的的总总角角动动量量的的变变化化率率；若若系系统统所所受的对某一转轴的合外力矩为零，则系统对该转轴的总角动量守恒。受的对某一转轴的合外力矩为零，则系统对该转轴的总角动量守恒。P150152例例5.7例例5.9第38页，本讲稿共54页圆圆锥锥摆摆子子弹弹击击入入杆杆以子弹和杆为系统以子弹和杆为系统机械能机械能不不守恒守恒.角动量守恒；角动量守恒；动量动量不不守恒；守恒；以子弹和沙袋为系统以子弹和沙袋为系统动量守恒；动量守恒；角动量守恒；角动量守恒；机械能机械能不不守恒守恒.圆锥摆系统圆锥摆系统动量动量不不守
21、恒；守恒；角动量守恒；角动量守恒；机械能守恒机械能守恒.讨讨论论子子弹弹击击入入沙沙袋袋细细绳绳质质量量不不计计第39页，本讲稿共54页被被中中香香炉炉惯性导航仪（陀螺）惯性导航仪（陀螺）角动量守恒定律在技术中的应用角动量守恒定律在技术中的应用第40页，本讲稿共54页LABACC常平架上的回转仪常平架上的回转仪第41页，本讲稿共54页5.5 转动中的功和能转动中的功和能一一.力矩的功力矩的功 刚体的内力不做功刚体的内力不做功OP对于有限角位移，力做的功：对于有限角位移，力做的功：力力对对P点作功：点作功：当刚体在外力矩作用下绕定轴转动而发生角位当刚体在外力矩作用下绕定轴转动而发生角位移时，就称
22、力矩对刚体做功。移时，就称力矩对刚体做功。第42页，本讲稿共54页二二.刚体的转动动能与重力势能刚体的转动动能与重力势能1.1.刚体的转动动能刚体的转动动能 OirvivrimDZ定义转动惯量定义转动惯量（定轴转动的刚体转动动能公式）（定轴转动的刚体转动动能公式）第43页，本讲稿共54页2.2.刚体的重力势能刚体的重力势能Ohx 一个不太大的刚体的重力势能和它的全一个不太大的刚体的重力势能和它的全部质量集中在质心时所具有的重力势能一部质量集中在质心时所具有的重力势能一样。样。第44页，本讲稿共54页三三.刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理 合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的功等于
23、它的转合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的功等于它的转动动能的增量。动动能的增量。第45页，本讲稿共54页2r12r2d例例题题4-7如如图图，冲冲床床上上配配置置一一质质量量为为5000kg的的飞飞轮轮，r1=0.3m,r2=0.2m.今今用用转转速速为为900r/min的的电电动动机机借借皮皮带带传传动动来来驱驱动动飞飞轮轮，已已知知电电动动机机的的传传动动轴轴直直径径为为d=10cm。（1）求飞轮的转动动能。求飞轮的转动动能。（2）若冲床冲断）若冲床冲断0.5mm厚厚的薄钢片需用冲力的薄钢片需用冲力9.80 104N，所消耗的能量全部由飞，所消耗的能量全部由飞轮提供，问冲断钢片后飞轮轮
24、提供，问冲断钢片后飞轮的转速变为多大？的转速变为多大？定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理 第46页，本讲稿共54页解解 （1 1）为为了了求求飞飞轮轮的的转转动动动动能能，需需先先求求出出它它的的转转动动惯惯量量和和转转速速。因因飞飞轮轮质质量量大大部部分分分分别别布布在在轮轮缘缘上上，由由图示尺寸并近似用圆筒的转动惯量公式，得图示尺寸并近似用圆筒的转动惯量公式，得皮皮带带传传动动机机构构中中，电电动动机机的的传传动动轴轴是是主主动动轮轮，飞飞轮轮是是从从动动轮轮。两两轮轮的的转转速速与与轮轮的的直直径径成成反反比比，即即飞飞轮轮的的转转速为速为第47页，
25、本讲稿共54页由此得飞轮的角速度由此得飞轮的角速度这样飞轮的转动动能是这样飞轮的转动动能是（2 2）在冲断钢片过程中，冲力）在冲断钢片过程中，冲力F F所作的功为所作的功为第48页，本讲稿共54页这就是飞轮消耗的能量，此后飞轮的能量变为这就是飞轮消耗的能量，此后飞轮的能量变为由由求得此时间的角速度求得此时间的角速度 为为而飞轮的转速变为而飞轮的转速变为定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理 第49页，本讲稿共54页四四.刚体定轴转动的功能原理和机械能守恒定律刚体定轴转动的功能原理和机械能守恒定律对于包括有刚体和质点的系统，外力不做功，只有保对于包括有刚体和质点
26、的系统，外力不做功，只有保守内力做功守内力做功P153155例例5.105.13第50页，本讲稿共54页例例5.11、一个质量为一个质量为M、半径为、半径为R 的定滑轮上面的定滑轮上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为一质量为m 的物体而下垂。忽略轴处摩擦，的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体求物体m由静止下落高度由静止下落高度h时的速度和此时滑时的速度和此时滑轮的角速度。轮的角速度。解：解：定轴定轴ORthmv0=0绳绳以滑轮、物体和地球作为研究系统，滑以滑轮、物体和地球作为研究系统，滑轮轴对滑轮的支持力（外力）不做功轮轴对滑轮的支持力
27、（外力）不做功（因为无位移），因此，系统是封闭得（因为无位移），因此，系统是封闭得保守系统，机械能守恒。保守系统，机械能守恒。取物体的初始位置为重力势能零点，则初态：取物体的初始位置为重力势能零点，则初态：末态：末态：由机械能守恒给出：由机械能守恒给出：第51页，本讲稿共54页第52页，本讲稿共54页例例3一长为一长为l ,质量为质量为 的竿可绕支点的竿可绕支点O自由自由转动转动.一质量为一质量为、速率为、速率为的子弹射入竿内距支的子弹射入竿内距支点为点为处，使竿的偏转角为处，使竿的偏转角为30.问子弹的初速率为问子弹的初速率为多少多少?解解把子弹和竿看作一个系统把子弹和竿看作一个系统.子弹射入竿的过程系统角动量守恒子弹射入竿的过程系统角动量守恒第53页，本讲稿共54页射入竿后，以子弹、细杆和射入竿后，以子弹、细杆和地球为系统地球为系统，机械能守恒，机械能守恒.第54页，本讲稿共54页