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1、几何与代数第一章第1页，本讲稿共52页第第1 1章章 几何空间中的向量几何空间中的向量第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算1.定义（向量）既有数值大小（非负），又有方向的量。2.定义（范数/模）向量 的数值大小一、向量的概念一、向量的概念第2页，本讲稿共52页4.定义位于同一直线上，或位于相互平行的直线上思考：两个向量 三个向量 线性相关 平行？共面？3.定义且方向相同；且方向相反。第3页，本讲稿共52页引例引例:力的合成-平行四边形法 三角形法注1：和与起点A的选取无关1.1.加法运算：加法运算：3：加法法则（四条）4：向量可以相加，但不可以比较大小5：范数可比较大小二、向量的线性
2、运算及其性质二、向量的线性运算及其性质D运算法则：运算法则：2：减法第4页，本讲稿共52页2.2.数乘运算：数乘运算：注1：数乘向量性质（四条）注2：线性运算、单位向量、向量空间（线性空间）运算法则：运算法则：3 3.模的性质：模的性质：第5页，本讲稿共52页三、向量的共线与共面三、向量的共线与共面1.共线共线：方向相同或相反 约定：零向量共线于任何向量定理定理1.61.6：特别地，推论推论：第6页，本讲稿共52页2.2.共面共面：将向量的支点放在同一点时，它们在同一平面上。（或，平行于同一平面的向量）推论1：平行六面体第7页，本讲稿共52页空间解析几何：用数量来研究向量的问题，空间解析几何：
3、用数量来研究向量的问题，类似于平面解析几何需引入空间坐标系的概念。类似于平面解析几何需引入空间坐标系的概念。回顾：回顾：OGNPxzyM第二节第二节 空间坐标系空间坐标系第8页，本讲稿共52页一、仿射坐标系一、仿射坐标系 定义（仿射坐标系）定义（仿射坐标系）：空间中一点O以及三个有次序的不共面向量e1,e2,e3,构成空间中一仿射坐标系，记为O;e1,e2,e3 第9页，本讲稿共52页1.1.定义（直角坐标系）：定义（直角坐标系）：e1,e2,e3为单位向量且两两垂直 此时坐标向量记为i,j,k注1：三坐标轴，三坐标平面两两垂直注2：规定x,y,z轴的正方向，使之成右手系定理定理：向量在坐标系
4、o;i,j,k上的坐标x,y,z分别是 在相应坐标轴上的投影。即()i=x,()j=y,()k=zzxyABOMC二、直角坐标系二、直角坐标系第10页，本讲稿共52页2.2.定义（方向余弦）定义（方向余弦）例例：已知=（-3，6，2）,求的方向余弦和与平行的单位向量 注2：单位向量的表示法（两个）注1：|=？（勾股定理）在空间直角坐标系中，向量 与三个坐标向量 的夹角 称为向量的方向角；方向角的余弦 称为向量 的方向余弦。第11页，本讲稿共52页第三节第三节 向量的内积、外积和混合积向量的内积、外积和混合积1.引例（做功引例（做功）2.2.定义两向量间的夹角：定义两向量间的夹角：(I)已知两个
5、非零向量，经平行移动后使它们有共同的始点(II)夹角的范围无向角(III)几种类型AA一、两个向量的内积一、两个向量的内积第12页，本讲稿共52页3.3.内积定义内积定义注1:内积是数，非向量。规定:零向量和任何向量正交（垂直）定理：定理：内积的运算法则内积的运算法则 正定性交换律线性性（k的符号）分配律（重要）注4:注3:注2:第13页，本讲稿共52页4.4.向量投影定义：向量投影定义：注：投影是一数 正交投影向量：oBAoBA第14页，本讲稿共52页例例1 1：证明分配律：证明分配律例例2 2：试证：试证 的三条高交于一点。的三条高交于一点。AFBCDS第15页，本讲稿共52页1.11 外
6、积定义外积定义：注1：注2：性质性质：反交换律 结合律 分配律例例：二、两个向量的外积二、两个向量的外积第16页，本讲稿共52页重点回顾 内积 外积 交角 cos sin 垂直 平行 应用 平行四边形第17页，本讲稿共52页有了坐标，便将 几何运算代数运算1.1.线性运算线性运算加法 数乘 距离2.2.内积内积 三、向量运算的坐标表示三、向量运算的坐标表示第18页，本讲稿共52页3.3.外积外积引进二阶行列式，规定太繁！再次书写外积的结果！注意：的顺序注：如何记忆？两两组合！第19页，本讲稿共52页4.4.体积与行列式体积与行列式PO注1：为何加|？第20页，本讲稿共52页定义（混合积）：定义
7、（混合积）：推论：推论：用行列式表示混合积用行列式表示混合积四、三个向量的混合积四、三个向量的混合积第21页，本讲稿共52页ACBD（30）第22页，本讲稿共52页一、平面的参数方程与一般式方程一、平面的参数方程与一般式方程理论根据：第四节第四节 平面及其方程平面及其方程1、平面的参数方程、平面的参数方程：第23页，本讲稿共52页引：引：化简，并注意到和不平行,即(a1,b1,c1)k(a2,b2,c2)结论：结论：ax+by+cz+d=0 (a2+b2+c20)2、平面的一般方程、平面的一般方程：第24页，本讲稿共52页定理定理1.41.4：每一个平面可用ax+by+cz+d=0表出，其中a
8、2+b2+c20定理定理1.41.4：任给ax+by+cz+d=0，其中a2+b2+c20，则它恒代表 一个平面。第25页，本讲稿共52页定义（法向量）：定义（法向量）：平面通过一点M0(x0,y0,z0)且垂直于一条直线l 设向量n/l,则称n为平面的法向量，坐标(a,b,c)根据：根据：平面方程：二、平面的点法式方程二、平面的点法式方程1、点法式方程、点法式方程第26页，本讲稿共52页确定平面的条件：确定平面的条件：三个不共线的点三个不共线的点2、三点式方程、三点式方程第27页，本讲稿共52页实质：三点式方程 M1（a，0，0），M2（0，b，0），M3（0，0，c），且 abc 0平面方
9、程：平面方程：3、截距式方程、截距式方程第28页，本讲稿共52页总 结平面：（一）一点一点 +两个不平行的向量两个不平行的向量 （二）一点一点 +法向量法向量例：例：求通过x轴和点(4,-3,-1)的平面方程用两种方法（过原点）第29页，本讲稿共52页特殊平面1.a=02.d=0平面过原点3.d=a=0平面过x轴4.a=b=0平面/xoy平面第30页，本讲稿共52页注意要加绝对值！三、两个平面的位置关系三、两个平面的位置关系第31页，本讲稿共52页!如何找出交线上的点解：解：为什么?第32页，本讲稿共52页点到平面的距离：点到平面的距离：d=?第33页，本讲稿共52页直线：一个点 +一个方向（
10、直线的方向）1.1.参数方程参数方程第五节第五节 空间直线及其方程空间直线及其方程一、空间直线的参数方程与对称式方程一、空间直线的参数方程与对称式方程第34页，本讲稿共52页2.2.对称式方程（标准方程、点向式方程）对称式方程（标准方程、点向式方程）直线L的方向向量的坐标m，n，p称为直线L的方向数。第35页，本讲稿共52页注：中点的表示（参数方程）3.3.两点式方程两点式方程第36页，本讲稿共52页1.1.一般式方程一般式方程（两平面的交线）二、空间直线的一般式方程二、空间直线的一般式方程第37页，本讲稿共52页2.2.一般式与对称式间的互换一般式与对称式间的互换解：解：（1）（2）第38页
11、，本讲稿共52页3.3.平面束平面束原因：原因：过直线l的平面有无穷多个问题：问题：如何表示这些过l的平面（平面束）？第39页，本讲稿共52页例例.求点求点M0(6,7,0)关于平面关于平面:4x-2y-z-4=0:4x-2y-z-4=0的对称点的对称点M M1 1的坐标。的坐标。例例.求过直线求过直线L:x+3y-5=0L:x+3y-5=0 x-y-2z+4=0 x-y-2z+4=0 且在且在x x轴和轴和y y轴上截距相等的平面方程。轴上截距相等的平面方程。第40页，本讲稿共52页三、直线与平面、二直线之间的位置关系三、直线与平面、二直线之间的位置关系1 1、两直线间的相互位置、两直线间的
12、相互位置给定两条直线（1）若共面，则平行相交重合（2）异面第41页，本讲稿共52页已知：2、直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系第42页，本讲稿共52页四、直线与平面的夹角四、直线与平面的夹角第43页，本讲稿共52页M0M0M1注：d与M0的选择无关四、点到直线的距离四、点到直线的距离设直线l方程为：第44页，本讲稿共52页olP0P1第45页，本讲稿共52页第46页，本讲稿共52页行向量 列向量o第六节第六节 R Rn n中的几何向量简介中的几何向量简介一、一、R Rn n中的向量代数中的向量代数定义定义1 1（n n维向量）维向量）n个有顺序的数 所在组成的 数组称为一个n维向量。第47页，本讲稿共52页第48页，本讲稿共52页二、二、R Rn n中的内积中的内积第49页，本讲稿共52页*外积的概念只在三维空间中才有意义！内积性质：内积性质：对称性 线性 非负性第50页，本讲稿共52页可化为一般式：另外，直线直线可看成m个超平面超平面的交，即三、三、R Rn n中的直线和超平面中的直线和超平面直线：直线：点 和方向向量为 ，直线L的参数方程平面：平面：点 和法向量为 ，超平面点法式方程第51页，本讲稿共52页问题:如何求解线性方程组/齐次线性方程组？第52页，本讲稿共52页