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1、第2章 整式加减2.1 2.1 代数式代数式2.1 代数式代数式学习目标进一步理解字母表示数的意义，能结合具体情景给字母赋于实际意义；理解代数式和代数式的值的意义，能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，在具体情景中能求出代数式的值.（知识与技能）为了测试一种乒乓求的弹跳高度与下落高度之间的关系，通过试验，得到下列一组数据：（单位：厘米）下落高度 40 50 80 100 150弹跳高度 20 25 40 50 751.你能从表中发现每一对(上下两个)数之间的数量关系吗?2.在这个问题中,如果我们用b厘米表示下落高度,那么相对应的弹跳高度为_厘米。1.用字母表示数用字母表示数1.如果用a、b
2、表示任意两个有理数，那么加法交换律可以用字母表示为_，乘法交换律可以用字母表示为_.a+b=b+aab=ba2.图中由长方形和正方形拼成的大正方形的面积等于我们还可以这样想，图中大正方形的边长是，因此它的面积是a+2ab+ba+b(a+b)注意：注意：（1）在用字母表示数时，字母与字母之间的）在用字母表示数时，字母与字母之间的 乘号，一般省略不写，或者乘号用乘号，一般省略不写，或者乘号用“”表表示。示。（2）数字与字母相乘，数字一般放在字母的）数字与字母相乘，数字一般放在字母的前面。前面。做一做：做一做：填空：（1）某种瓜子的单价为16元/千克，则b千克需要 _元。（2）小刚上学步行速度为5千
3、米/小时若小刚到学校的路程为s千米，则他上学需走_小时。（3）钢笔每枝m元，铅笔每枝n元，买2支钢笔和3支铅笔共需_元。16bs/5（2m+3n）上面的这些问题中出现的如16n，s/5，2a+3b，以及上节课出现的 a，b，a+b，ab，a，（a+b），15，5050，5x，s/t等式子，我们称它为代数式代数式。即即代数式代数式是用运算符号把数和表示数的字母连接是用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子。而成的式子。问题：单独的一个数或一个字母也是代数式吗？我们的答案是肯定的。即:单独的一个数或一个字母也是代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。例1：填空：（1）圆的半径为r cm，它的面
4、积为_cm.（2）长方形的长与宽分别为a cm,b cm，则该长方形的周长_cm.（3）小强在小学六年中共攒了a元零花钱，上中学后买文具用去b元，剩下的钱全部存入银行，则小强可以存款_元。（4）某机关原有工作人员 m 人，现精简机构，减少20%的工作人员，则有_人被精简。r2（a+b）（ab）20%m例例2.结合你的生活经验对下列代数式作出结合你的生活经验对下列代数式作出具体解释：具体解释：（1）ab;(2)ab解解：（1 1）今年小明）今年小明b b岁、小明爸爸岁、小明爸爸a a岁，小明比岁，小明比他爸爸小（他爸爸小（abab）岁；）岁；（2 2）长方形的长为）长方形的长为a a厘米，宽为厘
5、米，宽为b b厘米，长厘米，长方形的面积是方形的面积是abab平方厘米。平方厘米。做一做：下列代数式哪些书写不规范，请改正过来1.3x+1 2.mn3 3.2y4.a(b+c)5.a1b书写代数式要注意什么？书写代数式要注意什么？（1）代数式中出现乘号，通常写作）代数式中出现乘号，通常写作“”或省略不或省略不写；写；（2）数字与字母相乘，数字写在字母前面；）数字与字母相乘，数字写在字母前面；（3）除法运算写成分数形式。）除法运算写成分数形式。例2.用代数式表示（1 1）a,ba,b两数的两数的平方和平方和减去他们乘积的减去他们乘积的2 2倍；倍；（2 2）a,ba,b两数的两数的和的平方和的平
6、方减去他们的差的平方；减去他们的差的平方；（3 3）a,ba,b两数的和与他们的差的乘积；两数的和与他们的差的乘积；（4 4）偶数、奇数偶数、奇数.（4）2n，2n+1(n为整数为整数)（3）(a+b)(ab)（2）(a+b)(ab)（1）a+b2ab 解：解：单项式单项式学习目标：学习目标：(1)(1)理解单项式、单项式的系数和次数的概念理解单项式、单项式的系数和次数的概念(2)(2)会用单项式表示简单的数量关系会用单项式表示简单的数量关系(3)(3)经历单项式概念的形成过程，从中体会抽象的经历单项式概念的形成过程，从中体会抽象的 数学思想，提高观察、分析、归纳、概括能力数学思想，提高观察、
7、分析、归纳、概括能力.字母表示数有什么意义？字母表示数有什么意义？用字母表示数，字母和数一样可以参与运用字母表示数，字母和数一样可以参与运用字母表示数，字母和数一样可以参与运用字母表示数，字母和数一样可以参与运算，可以用式子把数量关系简明地表示出来，算，可以用式子把数量关系简明地表示出来，算，可以用式子把数量关系简明地表示出来，算，可以用式子把数量关系简明地表示出来，更适合于一般规律的表达更适合于一般规律的表达更适合于一般规律的表达更适合于一般规律的表达.【问题问题问题问题1 1 1 1】,和和 这三个式子的运算这三个式子的运算含义是什么？含义是什么？【问题问题问题问题2 2 2 2】单项式定
8、义：表示数或字母的积的式子叫做单项式定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式单项式单项式单项式单独的单独的单独的单独的一个数或一个字母一个数或一个字母一个数或一个字母一个数或一个字母也是单项式也是单项式也是单项式也是单项式 观察式子观察式子 ，这些式子有什么特点？这些式子有什么特点？单项式单项式单项式单项式的系数：单项式中的的系数：单项式中的数字因数数字因数叫做这个叫做这个单项式的系数单项式的系数.如如单项式单项式单项式单项式 ，的系数分别是的系数分别是100100，1 1，-1-1 注意注意：（1 1）单项式表示数与字
9、母相乘时，通常数写在前面单项式表示数与字母相乘时，通常数写在前面（2 2）当系数为）当系数为1 1或或1 1时，这个时，这个“1”1”省略不写省略不写.（1 1）你能举出一个单项式的例子，并说出它）你能举出一个单项式的例子，并说出它 的系数和次数吗？的系数和次数吗？【问题问题问题问题3 3 3 3】（2 2）请你写出一个单项式，并使它的系数是）请你写出一个单项式，并使它的系数是2，次数是，次数是4，那么该单项式可以是，那么该单项式可以是 .练习练习1 1下列各式中哪些是单项式？下列各式中哪些是单项式？答案：答案：练习练习2 2填表：填表：单项式单项式系数系数次数次数221.211312233（
10、1 1）每包书有每包书有12册，册，n包书有包书有 册；册；（2 2）底边长为底边长为 a cm，高为，高为 h cm的三角形的面积的三角形的面积 是是 cm2；（3 3）棱长为棱长为 a cm的正方体的体积是的正方体的体积是 cm3；（4 4）一台电视机原价）一台电视机原价 a 元，现按原价的元，现按原价的9折出售，折出售，这台电视机现在的售价是这台电视机现在的售价是 元；元；（5 5）一个长方形的长是）一个长方形的长是0.9 m，宽是，宽是a m，这个长方，这个长方 形的面积是形的面积是 m2.例例 用单项式填空，并指出它们的系数和次数用单项式填空，并指出它们的系数和次数:（1），它的系数
11、是，它的系数是12，次数是，次数是1；解：解：（2 2），它的系数是，它的系数是 ，次数是，次数是2；（3 3），它的，它的系数是系数是1，次数是，次数是3；（4 4）0.9 ，它的系数是，它的系数是0.9，次数是；，次数是；（5 5）0.9 ，它的系数是它的系数是0.9，次数是，次数是【问题问题问题问题5 5 5 5】你能赋予你能赋予0.9a一个含义吗？一个含义吗？用字母表示数后，同一个式子可以用字母表示数后，同一个式子可以表示不同的含义表示不同的含义活动：活动：“人人来当老师人人来当老师”以小组为单位，每个小组学生说出一个单项以小组为单位，每个小组学生说出一个单项式，然后请另一个小组的学生
12、回答出所说单项式式，然后请另一个小组的学生回答出所说单项式的系数和次数，看哪一组题目出得正确，看哪一的系数和次数，看哪一组题目出得正确，看哪一组回答得快而准组回答得快而准.若若 是关于是关于 x，y 的一个的一个四次单项式，求四次单项式，求m，n应满足的条件？应满足的条件？答案：答案：拓展提高拓展提高拓展提高拓展提高（1 1）本节课学了哪些主要内容？）本节课学了哪些主要内容？（2 2）请你举例说明单项式的概念、单项式的）请你举例说明单项式的概念、单项式的 系数和次数的概念系数和次数的概念.【课堂小结课堂小结课堂小结课堂小结】多项式多项式学习目标：学习目标：(1)(1)理解多项式、多项式的项和次
13、数、整式的概念理解多项式、多项式的项和次数、整式的概念(2)(2)会用多项式表示简单的数量关系，并根据多项式会用多项式表示简单的数量关系，并根据多项式中字母的值求多项式的值中字母的值求多项式的值 （1 1）对于单项式，我们学习了哪些内容？）对于单项式，我们学习了哪些内容？（2 2）请举例说明单项式、单项式的系数）请举例说明单项式、单项式的系数 和次数的概念和次数的概念，（1 1）观察式子观察式子它们有什么共同特点？与单项式有什么联系？它们有什么共同特点？与单项式有什么联系？多项式多项式x2+2x+18的项是的项是x2，2x与与18，其中，其中18是是常数项常数项 归纳：归纳：多项式定义：几个单
14、项式的和叫做多项式多项式定义：几个单项式的和叫做多项式.每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项叫做常数项 多项式多项式v2.5的项是的项是v与与2.5，其中，其中2.5是常是常数项数项 归纳：归纳：多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数项式的次数如多项式如多项式 中次数最高项是一次项，中次数最高项是一次项，这个多项式的次数是这个多项式的次数是多项式多项式 中次数最高项是二次中次数最高项是二次项，这个多项式的次数是项，这个多项式的次数是，（2 2）的项分别是什么？次数分别是多少？的项分别是什么？次数分
15、别是多少？定义：单项式与多项式统称整式定义：单项式与多项式统称整式（1 1）你能举出一个多项式的例子，并说出它的）你能举出一个多项式的例子，并说出它的项和次数吗？项和次数吗？（2 2）请你写出一个二次三项式，并使它的二次）请你写出一个二次三项式，并使它的二次项系数是项系数是2，一次项系数是，一次项系数是3，常数项是，常数项是5，那，那么这个多项式可以是么这个多项式可以是 .例例例例4 4 如图所示，用式子表示圆环的面积如图所示，用式子表示圆环的面积当当 cm，cm时，求时，求圆环的面积圆环的面积（取取 ）解：外圆的面积减去内圆的面积就是圆环解：外圆的面积减去内圆的面积就是圆环的面积，所以圆环的
16、面积是的面积，所以圆环的面积是 这个圆环的面积是这个圆环的面积是cm2 当当cm，cm 时，圆环的面积时，圆环的面积（单位：（单位：cm2）是）是下列整式中哪些是单项式？哪些是多项式？下列整式中哪些是单项式？哪些是多项式？是单项式的指出系数和次数，是多项式的指出项是单项式的指出系数和次数，是多项式的指出项和次数：和次数：练习练习x32t313213063142填空：填空：（2 2），分别表示梯形的上底和下底，分别表示梯形的上底和下底，表示表示梯形的高，则梯形梯形的高，则梯形面积面积 ，当，当 2 cm，4 cm，5 cm时，时，cm 2（1 1），分别表示长方形的长和宽，则长方形的分别表示长方
17、形的长和宽，则长方形的 周长周长 ，面积，面积 ，当，当 2 cm，3 cm时，时，cm ，cm 2；3个球队进行单循环比赛（参加比赛的每一个队个球队进行单循环比赛（参加比赛的每一个队都与其他所有的队各赛一场），总的比赛场数是多都与其他所有的队各赛一场），总的比赛场数是多少？少？4个队呢？个队呢？5个队呢？个队呢？n个队呢？个队呢？练习练习答案：答案：3，6，10，（1）本节课学了哪些主要内容？）本节课学了哪些主要内容？（2）请你举例说明多项式的概念、多项式的）请你举例说明多项式的概念、多项式的 项和次数的概念项和次数的概念.（3）请你举例说明整式的概念）请你举例说明整式的概念.【归纳小结归纳
18、小结归纳小结归纳小结】第2章 整式加减2.2 整式的加减2.2 2.2 整式的加减整式的加减合并同类项合并同类项学习目标学习目标:(1)理解同类项的概念；理解同类项的概念；(2)掌握合并同类项的方法；掌握合并同类项的方法；(3)通过类比数的运算探究合并同类项的法则，从通过类比数的运算探究合并同类项的法则，从 中体会数式通性和类比的数学思想中体会数式通性和类比的数学思想引入 问题1 1在西宁到拉萨路段，列车在冻土地段的行驶速度是100 km/h，在非冻土地段的行驶速度是120 km/h，列车通过非冻土地段所需时间是通过冻土地段所需时间的2.1倍，如果通过冻土地段需要t h h，你能用含t 的式子
19、表示这段铁路的全长吗？100t1202.1t100t252t这个式子的结果是多少？你是怎样得到的?类比探究，学习新知（1）运用有理数的运算律计算.1002+2522=；100(-2)+252(-2)=.（1）运用有理数的运算律计算1002+2522 =(100+252)2=3522=704；100(-2)+252(-2)=(100+252)(-(-2)=352(-(-2)=-704.100t+252t=(100+252)t=352t（2）类比式子的运算，化简下列式子：问题3 观察多项式 ，（1）上述各多项式的项有什么共同特点？（2）上述多项式的运算有什么共同特点?你能从中得出什么规律?（1）上
20、述各多项式的项有什么共同特点？每个式子的项含有相同的字母；并且相同字母的指数也相同.（2）上述多项式的运算有什么共同特点?根据分配律把多项式各项的系数相加；字母部分保持不变.定义和法则：（1）所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.几个常数项也是同类项.（2）把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项（3）合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变.例题:找出多项式中的同类项并进行合并，思考下面问题：每一步运算的依据是什么？注意什么？解：(交换律)(结合律)(分配律)(按字母的指数从大到小顺序排列)归纳步骤：归纳步骤：（1）找出同类项并做标记；）找出同
21、类项并做标记；（2）运用交换律、结合律将多项式的同类项结合；）运用交换律、结合律将多项式的同类项结合；（3）合并同类项；）合并同类项；（4）按同一个字母的降幂（或升幂排列）按同一个字母的降幂（或升幂排列）合并下列各式的同类项合并下列各式的同类项:（1）（2）（3）（1）求多项式）求多项式 的值，其中的值，其中（2）求多项式）求多项式 的值，其中的值，其中（1）水库水位第一天连续下降了）水库水位第一天连续下降了a h，每小时平均下降，每小时平均下降2 cm；第二天连续上升了；第二天连续上升了a h，每小时平均上升，每小时平均上升0.5 cm，这两天水位总的变化情况如何？，这两天水位总的变化情况如
22、何？（2）某商店原有）某商店原有5袋大米，每袋大米为袋大米，每袋大米为x kg，上午卖出，上午卖出3袋，下午又购进同样包装的大米袋，下午又购进同样包装的大米4袋，进货后这个商店有袋，进货后这个商店有大米多少千克？大米多少千克？解：由题意得2a-0.5a=1.5a，所以这两天水位总的下降了1.5a解：由题意得：5x-3x+4x=6x，所以进货后这个商店有大米6x千克。归纳小结（1）本节课学了哪些主要内容？（2）你能举例说明同类项的概念吗？（3）举例说明合并同类项的方法.（4）本节课主要运用了什么思想方法研究问题？去括号、添括号去括号、添括号用分配律计算用分配律计算在格尔木到拉萨路段，如果列车通过
23、冻土地段需要u h，那么通过非冻土地段的时间是（u-0.5）h.于是，冻土地段的路程是100u km，非冻土地段的路程是120（u-0.5）km.因此，这段铁路的全长（单位：km）是100u+120(u-0.5)冻土地段与非冻土地段相差：冻土地段与非冻土地段相差：100u-120(u-0.5)上面的两个式子都带有括号，类比数的运算，上面的两个式子都带有括号，类比数的运算，它们应如何化简？它们应如何化简？利用分配律，可以去括号，再合并同类项，得利用分配律，可以去括号，再合并同类项，得100u+120(u-0.5)=100u+120u-60=220u-60100u-120(u-0.5)=100u-
24、120u+60=-20u+60即：即：+120(u-0.5)=+120u-60-120(u-0.5)=-120u+60比较上面两式，你能发现去括号时符号变化的规律嘛？比较上面两式，你能发现去括号时符号变化的规律嘛？如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同.如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.顺口溜：顺口溜：去括号，看符号：去括号，看符号：是是“+”+”号，不变号；号，不变号；是是“-”-”号，全变号号，全变号;原来的符号和括号都扔掉原来的符号和括号都扔掉.例：为下面的式子去括号例：为下面的式子去括号=+（3a-3b+3c）=3a-3b+
25、3c=-3a+3b-3c=-（3a-3b+3c）=+3（a-b+c）=-3（a-b+c）(1)+3（a-b+c）(2)-3（a-b+c）结论：结论：括号外面的因数不是括号外面的因数不是1或或-1时，把符号留在外面，时，把符号留在外面，把因数的绝对值按分配率乘进去，最后再去括号把因数的绝对值按分配率乘进去，最后再去括号.（1）去括号时应先判断括号前面是“+”还是“-”。（2）去括号后，括号内各项符号要么全变号，要么全不变。（3）括号前面是“”时，去掉括号后，括号内的各项符号都要变成相反，不能只改变第一项或前几项的符号。（4）括号内原有几项，去掉括号后仍有几项，不能丢项。（5）去括号法则的依据是分
26、配律，计算时不能出现有些项漏乘的情况。化简下列各式化简下列各式 两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是50 km/h，水流速度是a km/h.（1）2h后两船相距多远？（2）2h后甲船比乙船多航行多少千米？解（1）由题意得：甲船2h行驶了2(50+a)km，乙船2 h行驶了2(50-a)km，所以两船相距：2(50+a)+2(50-a)=200 km。（2）由（1）可知，2h后甲船比乙船多航行了 2(50+a)-2(50-a)=4a km。整式加减整式加减 归纳步骤：归纳步骤：（1）找出同类项并做标记；）找出同类项并做标记；（2）运用交换律、结合律将多项式的
27、同类项结合；）运用交换律、结合律将多项式的同类项结合；（3）合并同类项；）合并同类项；（4）按同一个字母的降幂（或升幂排列）按同一个字母的降幂（或升幂排列）如果括号外的因数是正数，去括号后原括号如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同内各项的符号与原来的符号相同.如果括号外的因数是负数，去括号后原括号如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反内各项的符号与原来的符号相反.合并同类项、去括号都是进行整式加减运算的基础。合并同类项、去括号都是进行整式加减运算的基础。例例6 计算计算分析：第（分析：第（1）题是计算多项式与多项式的和，第）题是计算多项
28、式与多项式的和，第（2）题是计算多项式与多项式的差。）题是计算多项式与多项式的差。解：笔记本的单价是笔记本的单价是x元，圆珠笔的单价是元，圆珠笔的单价是y元，小元，小红买红买3本笔记本，本笔记本，2支圆珠笔，小明买支圆珠笔，小明买4本笔记本笔记本，本，3支圆珠笔，买这些笔记本和圆珠笔，小支圆珠笔，买这些笔记本和圆珠笔，小红和小明一共花了多少钱？红和小明一共花了多少钱？解法1：小红买笔记本和圆珠笔共花费（3x+2y）元，小明买笔记本和圆柱笔共花费（4x+3y）元，小红和小明一共花费（单位：元）（3x+2y）+（4x+3y）=3x+2y+4x+3y=7x+5y解法2：小红和小明买笔记本共花费（3x
29、+4x）元，买圆珠笔共花费（2y+3y）元，小红和小明一共花费：（单位：元）（3x+4x）+（2y+3y）=7x+5y做大小两个长方体纸盒，尺寸如下：做大小两个长方体纸盒，尺寸如下：长长宽宽高高小纸盒abc大纸盒1.5a2b2c（1）做这两个纸盒共用料多少平方厘米？）做这两个纸盒共用料多少平方厘米？（2）做大纸盒比做小纸盒多用料多少平方厘米？）做大纸盒比做小纸盒多用料多少平方厘米？（单位：单位：cm）解：通过上面的学习，我们可以得到证实加减的运通过上面的学习，我们可以得到证实加减的运算法则：算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。先去括号，然后再合并同类项。解：解：注意：进行此类题的解答时，需先将式子化简，再代入数值进行计算，这样会使计算比较简便。