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1、空气动力学基础空气动力学基础沈阳航空航天大学航空航天工程学院飞机设计教研室2014年3月第第3 3章章 低速平面位流低速平面位流3.1 3.1 理想不可压缩流体平面位流的基本方程理想不可压缩流体平面位流的基本方程3.2 3.2 几种简单的二维位流几种简单的二维位流3.23.2.1 1 直匀流直匀流3.2.2 3.2.2 点源点源3.2.3 3.2.3 偶极子偶极子3.2.4 3.2.4 点涡点涡3.3 3.3 一些简单的流动迭加举例一些简单的流动迭加举例3.3.1 3.3.1 直匀流加点源直匀流加点源3.3.2 3.3.2 直匀流加偶极子直匀流加偶极子3.3.3 3.3.3 直匀流加偶极子加点
2、涡直匀流加偶极子加点涡3.4 3.4 二维对称物体绕流的数值解二维对称物体绕流的数值解 本章讨论怎样求解不可压理想流体无旋运动的规律。l在理想不可压条件下欧拉方程和连续方程包括四个在理想不可压条件下欧拉方程和连续方程包括四个方程和四个未知函数（方程和四个未知函数（u,v,w,pu,v,w,p），理论上是可解的），理论上是可解的l由于飞行器的外形都比较复杂，要在满足如此复杂由于飞行器的外形都比较复杂，要在满足如此复杂的边界条件下求该偏微分方程组的解析解是非常困的边界条件下求该偏微分方程组的解析解是非常困难的，原因在于方程包含非线性项，而且方程中速难的，原因在于方程包含非线性项，而且方程中速度与压
3、强相互耦合，需要一并求出度与压强相互耦合，需要一并求出人们发现在人们发现在无旋条件无旋条件下问题可以得到大大简化，下问题可以得到大大简化，尤其是可以将尤其是可以将速度和压强速度和压强分开求解，这是因为分开求解，这是因为无旋条件可使关于速度位的方程化为线性方程，无旋条件可使关于速度位的方程化为线性方程，从而便于单独求得速度位即求出速度，而压强从而便于单独求得速度位即求出速度，而压强可利用伯努利方程求解可利用伯努利方程求解本章的思路是，先针对本章的思路是，先针对理想不可压无旋流理想不可压无旋流求得求得一些典型的速度位基本解，将这些基本解进行一些典型的速度位基本解，将这些基本解进行叠加得到满足非常简
4、单边界条件的流动。对复叠加得到满足非常简单边界条件的流动。对复杂外形的绕流，介绍用基本解进行叠加的数值杂外形的绕流，介绍用基本解进行叠加的数值解法大意解法大意有无旋条件，就有位函数 存在，并且位函数与速度分量之间满足：平面流动的连续方程是：结合两式，得平面不可压位流必须满足的方程：该方程称为拉普拉斯方程，是个只与速度有关的线性方程，给定适当边界条件方程是容易求解的。1.位函数位函数 及流函数及流函数 所满足的方程所满足的方程对于二维不可压缩流动，微分形式的质量方程可以写为：对于二维不可压缩流动，微分形式的质量方程可以写为：数学上这是使数学上这是使 成为某个函数成为某个函数 的全微分的的全微分的
5、充要条件充要条件 ，即，即 或：或：代入无旋条件：也满足拉普拉斯方程：这也是只与速度有关的线性方程，给定边条容易求解。位函数与流函数的关系称为柯西黎曼条件：拉普拉斯方程可用算子拉普拉斯方程可用算子 2 2 表为表为 2 20 0。它是。它是个线性方程，可以用叠加原理求复合的解。个线性方程，可以用叠加原理求复合的解。叠加原理叠加原理:如果有如果有 分别满足拉普拉斯方分别满足拉普拉斯方程，则这些函数的线性组合也必满足拉普拉斯方程，则这些函数的线性组合也必满足拉普拉斯方程：程：由于速度分量与位函数之间的关系是线性的因此由于速度分量与位函数之间的关系是线性的因此也满足叠加原理：也满足叠加原理：压强与速
6、度间关系为非线性故不满足叠加原理压强与速度间关系为非线性故不满足叠加原理2.叠加原理叠加原理数学上满足拉氏方程的函数称为数学上满足拉氏方程的函数称为调和函数调和函数。故要找。故要找一代表具体的定常不可压理想位流运动，就是要找一代表具体的定常不可压理想位流运动，就是要找一个能一个能符合具体流动边界条件的调和函数符合具体流动边界条件的调和函数，求出位，求出位函数或流函数之后，即可求出速度分布，然后用伯函数或流函数之后，即可求出速度分布，然后用伯努利方程求解压强分布。努利方程求解压强分布。1 1速度位函数由速度位函数由无旋条件无旋条件定义，位函数值可以差任定义，位函数值可以差任意常数而不影响流动。意
7、常数而不影响流动。2 2速度位函数沿着某一方向的偏导数等于该方向的速度位函数沿着某一方向的偏导数等于该方向的速度分量，速度位函数沿着流线方向增加。速度分量，速度位函数沿着流线方向增加。3 3对于对于理想不可压缩无旋理想不可压缩无旋流动，速度位函数满足流动，速度位函数满足拉拉普拉斯方程普拉斯方程，是调和函数，满足解的线性迭加原，是调和函数，满足解的线性迭加原理。理。4 4速度位函数相等的点连成的线称为速度位函数相等的点连成的线称为等位线等位线，速度，速度方向垂直于等位线。方向垂直于等位线。5 5连接任意两点的速度线积分等于该两点的速度位连接任意两点的速度线积分等于该两点的速度位函数之差。函数之差
8、。速度线积分与路径无关速度线积分与路径无关，仅决定于两，仅决定于两点的位置。对封闭曲线，速度环量为零。点的位置。对封闭曲线，速度环量为零。1.1.流函数由平面流函数由平面不可压缩连续条件不可压缩连续条件定义，流函数定义，流函数值可以差任意常数而不影响流动。值可以差任意常数而不影响流动。2.2.等流函数线是流线。即等流函数线的切线方向等流函数线是流线。即等流函数线的切线方向与速度矢量方向重合。与速度矢量方向重合。3.3.对于理想不可压缩无旋流动，流函数满足拉普对于理想不可压缩无旋流动，流函数满足拉普拉斯方程，是调和函数，解也满足叠加原理。拉斯方程，是调和函数，解也满足叠加原理。4.4.等流函数线
9、与等位线正交。等流函数线与等位线正交。5.5.平面内任两点流函数的差等于通过此两点连线平面内任两点流函数的差等于通过此两点连线的流量。的流量。平面内任两点流函数的差等于通过此两点连线的流量平面内任两点流函数的差等于通过此两点连线的流量等流函数线与等位线正交。等流函数线与等位线正交。xyABdso 位函数位函数 和流函数和流函数 之间满足柯西之间满足柯西-黎曼条件：黎曼条件：速度分量与位函数和流函数之间的关系是：速度分量与位函数和流函数之间的关系是：3.2 几种简单的二维位流几种简单的二维位流3.2.1 直匀流直匀流直匀流是一种速度不变的最简单的平行流动。其流速为流动是无旋的，由速度位全微分积分
10、可得位函数：又可求出流函数：流线与等位线是正交的如图 常用的是这样的直匀流，它与 x 轴平行，从左面远方流来，流速为 此时3 3.2 2.2 2 点源点源u点源是从流场上某一点有一定的流量向四面八方流开去的一种流动。源可以有正负。负源（又名汇）是一种与正源流向相反的向心流动。如果把源放在坐标原点上，那末这流动便只有 Vr，而没有 V。设半径为设半径为 r 处的流速是处的流速是 Vr，那末这个源的总流量是，那末这个源的总流量是流量是常数，故流速流量是常数，故流速 Vr 与半径成反比与半径成反比 x、y 向的速度可分别写为向的速度可分别写为代入速度与位函数关系代入速度与位函数关系 可积分求位函数。
11、可积分求位函数。比较简便的是利用极座标下位函数与速度的关系：比较简便的是利用极座标下位函数与速度的关系：由由 位函数由上式积分得：位函数由上式积分得：（注：等位线（注：等位线C 是一系列同心圆）是一系列同心圆）流函数由流函数由积分得：积分得：（注：流线（注：流线c1 即即c2 是一系列射线）是一系列射线）此外注意上式中此外注意上式中的值域为的值域为-2-2,2,2,但反但反正切函数的值域为正切函数的值域为-/2,/2,/2/2，故两种表达，故两种表达有一定区别。有一定区别。xy如果源的位置不在坐标原点，而在 A（,）处，则相应的速度分量为：相应的速度分量为：除奇点处速度无定义之外，流除奇点处速
12、度无定义之外，流场其他区域都是无旋的。场其他区域都是无旋的。.p3.2.3 偶极子偶极子 等强度的一个源和一个汇，放在x轴线上，源放在（-h，0）处，汇放在（0，0）处。从源出来的流量都进入汇，流动情况如图:其中其中1 1,2 2 分别是点分别是点P P与源和汇的连线与正与源和汇的连线与正x x的夹角的夹角 应用叠加原理，位函数和流函数如下应用叠加原理，位函数和流函数如下现在我们考虑一种极限情况，当 h0 但同时 Q 增大，使 保持不变的极限情况。这时位函数变成显然等位线=C是一系列圆心在 x 轴上的圆，且都过原点。除奇点处速度无定义之外，流除奇点处速度无定义之外，流场其他区域都是是无旋的。场
13、其他区域都是是无旋的。求流函数：上述位函数可写为:利用极座标下流函数与位函数的关系：利用极座标下流函数与位函数的关系：对对积分得：积分得：即：即：显然流线显然流线=C=C是一些圆心在是一些圆心在 y 轴上轴上的圆，且均过原点。的圆，且均过原点。两个分速的表达式是合速要注意偶极子有轴线方向，上述布于 x 轴上的正负源形成的偶极子其轴线在x方向，对于指向正 x 方向的偶极子，上述位函数、流函数和速度分布都要改变符号。如果偶极子轴线和 x 轴成角，正向指向第三象限如图所示，在 xy 坐标系中的位函数及流函数可写为：yxxy根据二坐标系的旋转变换关系：根据二坐标系的旋转变换关系：代入上述位函数和流函数
14、表达，并注意到坐标旋转时向径不代入上述位函数和流函数表达，并注意到坐标旋转时向径不变：变：x2+y2=x2+y2 ，得到在，得到在 (x,y)坐标系中的偶极子：坐标系中的偶极子：如果偶极子位于（，），轴线和 x轴成角，正向指向第三象限，则 yxxy3.2.4 点涡点涡p点涡：涡所在一点外，整个平面流场是无旋的，流体被点涡诱导绕点涡作圆周运动，流线是一些同心圆，流速只有周向速度 ，而没有径向速度 。绕点涡的环量是个确定的常数，例如绕半径为 r 的圆环作环量计算，有：式中的 是个常数称为点涡的强度，逆时针方向为正。从而周向速度与离开中心点的距离 r 成反比：rV这与无限长涡线产生的诱导速度一致。这
15、与无限长涡线产生的诱导速度一致。由几何条件可立刻写出由几何条件可立刻写出 u、v 分量：分量：xyuvV位函数可由上式代入位函数可由上式代入 等后积分求出，但方便等后积分求出，但方便的还是利用极座标关系：的还是利用极座标关系：积分后得：积分后得：显然等位线显然等位线=C=C是是一系列射线一系列射线求流函数可由极座标下流函数与位函数的柯西黎曼关系：求流函数可由极座标下流函数与位函数的柯西黎曼关系：积分得：积分得：显然流线显然流线 =C=C 是一系列同心圆，可见点涡与点源的位函是一系列同心圆，可见点涡与点源的位函数与流函数只是对调了一下（上述负号只是代表涡转向）。数与流函数只是对调了一下（上述负号
16、只是代表涡转向）。如果点涡的位置不在原点，而在（如果点涡的位置不在原点，而在（，），则点涡的位函数），则点涡的位函数和流函数的式子分别是：和流函数的式子分别是：p事实上沿任意形状的围线计算环量，值都是事实上沿任意形状的围线计算环量，值都是 ，只要这，只要这个围线把点涡包围在内。但不包含点涡在内的围线，其个围线把点涡包围在内。但不包含点涡在内的围线，其环量却是等于零的。环量却是等于零的。点涡是实际旋涡的一种数学近似。点涡的速度在半径点涡是实际旋涡的一种数学近似。点涡的速度在半径 r0 时时将使将使 V 势势必使必使压压强强 p ，这这是不是不现实现实的，的，这时这时粘性必然要起作用，粘性必然要起
17、作用，因此因此实际实际的旋的旋涡涡存在一个存在一个涡涡核，核内流体核，核内流体 V与半径成正比与半径成正比为为有旋流，有旋流，核外核外为为无旋流。无旋流。实际涡实际涡核尺寸与粘性和核尺寸与粘性和涡涡强强弱有关，一般不大，故数弱有关，一般不大，故数学上抽象学上抽象为为一个点，形成点一个点，形成点涡涡模型。模型。直匀流：直匀流：xy基本解位函数、流函数小结：基本解位函数、流函数小结：ab （1 1）直匀流）直匀流+点源点源（2 2）直匀流）直匀流+偶极子偶极子（3 3）直匀流）直匀流+偶极子偶极子+点涡点涡在一个平行于在一个平行于 x 轴由左向右流去的直匀流里，加一个强轴由左向右流去的直匀流里，加
18、一个强度为度为Q的源会产生如图的流动的源会产生如图的流动把坐标原点放在源所在的地方，迭加得到的位函数是：把坐标原点放在源所在的地方，迭加得到的位函数是：33.3 3.1 1 直匀流加点源直匀流加点源直匀流加点源直匀流加点源在 x 轴上有一个合速度为零的点称为驻点A，令 即得驻点 xA 坐标为：两个分速是两个分速是此处速度为零是因为点源速度恰好与直匀流速度相互抵消。此处速度为零是因为点源速度恰好与直匀流速度相互抵消。该速度分布的特点之一是该速度分布的特点之一是 x时时，uV，v0。p我们可以把外部流动看作是在直匀流中放了一个我们可以把外部流动看作是在直匀流中放了一个BABBAB那样形那样形状的物
19、体所造成的流动，反过来也可认为绕该物体的流动可状的物体所造成的流动，反过来也可认为绕该物体的流动可以用直匀流加点源来构造。以用直匀流加点源来构造。p该半无限体在该半无限体在+x+x无限远处，其宽度（无限远处，其宽度（y y向尺寸）趋向一个渐近向尺寸）趋向一个渐近值值D D。过驻点过驻点A的流线的流线BAB是一条特殊是一条特殊的流线，把流场划分成为两部分。的流线，把流场划分成为两部分。外面的是直匀流绕此围墙的流动，外面的是直匀流绕此围墙的流动，里面的是源流在此围墙限制之内里面的是源流在此围墙限制之内的流动。的流动。流线流线BABBAB的形状可以根据流函数的形状可以根据流函数=c=c 画出来，也可
20、以从流量关系推画出来，也可以从流量关系推算出来。由流函数表达：算出来。由流函数表达：由驻点坐标（由驻点坐标（y=0,=)定常数定常数c，得，得 cQ/2，从而得流线，从而得流线BAB的方程为：的方程为：用直角坐标表达，注意到反正切的值域为用直角坐标表达，注意到反正切的值域为-/2,/2,/2/2：该流线与该流线与 y 轴交于轴交于 处，当处，当即流线在无穷远处趋于宽度为即流线在无穷远处趋于宽度为 的直线。的直线。从物理上这个结果很好理解，从源流出的流量只能限制在从物理上这个结果很好理解，从源流出的流量只能限制在围线中，由速度分布知：围线中，由速度分布知：而源的流量为而源的流量为Q，以速度，以速
21、度 V 流过时将占据宽度流过时将占据宽度 D=Q/V 另一方面，流线另一方面，流线BAB的方程：的方程：可写为：可写为：左边是直匀流左边是直匀流 V 流流过过高高 y=rsin的的宽宽度的流量，右度的流量，右边则边则是是从中心角从中心角为为（）中流出的流量，二者相抵消，从而）中流出的流量，二者相抵消，从而得流得流线线方程的极座方程的极座标标表达表达为为：通常将压强表为无量纲的压强系数，其定义是当地静压通常将压强表为无量纲的压强系数，其定义是当地静压减去来流静压再除以来流的动压头（这样得到的结果与减去来流静压再除以来流的动压头（这样得到的结果与来流参数具体值来流参数具体值 p p 、V V 无关
22、，具有通用性）：无关，具有通用性）：流场上的压强可以用伯努利公式表达出来：流场上的压强可以用伯努利公式表达出来：得到表面压强系数的表达为得到表面压强系数的表达为：将速度分布和表面流线几何关系代入上式得到表面压强系数将速度分布和表面流线几何关系代入上式得到表面压强系数的结果为的结果为：Cp 沿沿 x 轴分布的曲线特点如图轴分布的曲线特点如图：3.3.2 直匀流加偶极子直匀流加偶极子封闭的物形封闭的物形l设直匀流设直匀流 平行于平行于 x x 轴，由左向右流。再把一个轴线轴，由左向右流。再把一个轴线指向负指向负 x x 的偶极子放在坐标原点处。这时，将产生如图的偶极子放在坐标原点处。这时，将产生如
23、图绕圆的流动：绕圆的流动：流函数是：流函数是：流动的位函数是：流动的位函数是：圆的半径可从驻点圆的半径可从驻点A A的坐标定出，令：的坐标定出，令：解得：解得：从而位函数和流函数分别写为：从而位函数和流函数分别写为：=0 是一条特殊的流线，这时是一条特殊的流线，这时 sin=0，即，即 或或 ，这就是这就是 x 轴线，还有圆表面：轴线，还有圆表面：r=a。两个分速的式子是：两个分速的式子是：用在用在 的圆上时，有：的圆上时，有：将上述速度分布代入压强系数可得：将上述速度分布代入压强系数可得：该压强系数的分布特点如图：该压强系数的分布特点如图：绕圆流动在表面上只有周向速度，没有径向速度：绕圆流动
24、在表面上只有周向速度，没有径向速度：可见在可见在/2/2 处处速度达到最大为速度达到最大为 2V。xy3.3.3 直匀流加偶极子加点涡直匀流加偶极子加点涡在直匀流加偶极子的流动之上再在圆心处加一个强度为在直匀流加偶极子的流动之上再在圆心处加一个强度为（）的点涡（顺时针转为负），将形成如下图的流）的点涡（顺时针转为负），将形成如下图的流动动 这时位函数和流函数分别是：这时位函数和流函数分别是：在极坐标下，两个分速是：仍是一条流线。在这个圆上：仍是一条流线。在这个圆上：可见由于引入环量可见由于引入环量，在，在/2 2 处的最大处的最大速度将大于速度将大于 2V。或写出驻点的直角坐标表达：或写出驻点
25、的直角坐标表达：驻点的位置现在不在驻点的位置现在不在=和和=0=0处了，其位置处了，其位置可从可从 定出来：定出来：xy s在第三和第四象限内，前后驻点对在第三和第四象限内，前后驻点对 y 轴是对称的。这轴是对称的。这个角度离开个角度离开和和0 的多少决定于环量的多少决定于环量 对对 4aV 之比值；之比值；越大，驻点越往下移。越大，驻点越往下移。当点涡强度变大到当点涡强度变大到=4=4aV V 时，时，s=/2/2，二，二个个驻点在驻点在/2/2处重合。处重合。当点涡强度进一步增大使当点涡强度进一步增大使 4 4aV V 时，驻点将离时，驻点将离开圆柱表面，且位于圆柱之下。开圆柱表面，且位于
26、圆柱之下。xy下图给出几种不同点涡强度下驻点位置图画：下图给出几种不同点涡强度下驻点位置图画：显然，有环量的绕圆流动其左右仍是对称的，但上下已不显然，有环量的绕圆流动其左右仍是对称的，但上下已不对称了，因此在垂直于来流的对称了，因此在垂直于来流的 y 方向合力就不会为零。方向合力就不会为零。垂直于来流方向的空气动力分力称为升力，可以通过沿圆垂直于来流方向的空气动力分力称为升力，可以通过沿圆柱表面压强积分（利用伯努利方程将压强表为速度分布后柱表面压强积分（利用伯努利方程将压强表为速度分布后积分求得），或者利用动量方程求出合力。积分求得），或者利用动量方程求出合力。3.3.4 库塔库塔-儒可夫斯基
27、定理儒可夫斯基定理注意这两条割线上的压力和动量注意这两条割线上的压力和动量进出都对消了。进出都对消了。S1 上的压力积分是物体所受的合上的压力积分是物体所受的合力。受力情况左右对称，不会有力。受力情况左右对称，不会有X 方方向合力。仅计算向合力。仅计算 Y 方向合力方向合力 L 即可。即可。设彻体力略去不计、流动定常，根据动量方程圆柱所受到设彻体力略去不计、流动定常，根据动量方程圆柱所受到的升力的升力 L 可表为：可表为：下面从动量定理出发计算绕圆柱的有环量流动的升力。以下面从动量定理出发计算绕圆柱的有环量流动的升力。以原点为中心，画一个半径为原点为中心，画一个半径为 r r1 1 很大的控制
28、面很大的控制面 S S，整个控制面还，整个控制面还包括圆的表面包括圆的表面 S S1 1 以及连接以及连接 S S 和和 S S1 1 的两条割线。的两条割线。第一个积分中的 p 按伯努利公式用速度来表达，结果得：在在 r1 大圆上，大圆上，第二个积分得：第二个积分得：结果与 r1大小无关，总之合力 L 等于来流的密度乘速度 V 再乘以环量。方向等于把直匀流的指向逆着环流转/2，称为升力，该结果称为库塔-儒可夫斯基升力定理。所以所以:考虑到速度、环量和升力之间的向量关考虑到速度、环量和升力之间的向量关系，升力定理可写为：系，升力定理可写为：只要是封闭物体，代表其作用的正负源强度总和必须等只要是
29、封闭物体，代表其作用的正负源强度总和必须等于零，在远离物体的地方其作用和一个偶极子没有什么区别于零，在远离物体的地方其作用和一个偶极子没有什么区别,说明物形对升力没有直接的关系，关键在于必须有绕物体的说明物形对升力没有直接的关系，关键在于必须有绕物体的环量存在。有了环量又有一个直匀流，便有了升力。环量存在。有了环量又有一个直匀流，便有了升力。环量之所以能产生一个 Y 向的合力，也可以从圆柱体上的压力分布直接看到。其中有环量和无环量绕流情况作了对比。无环量时，上半圆（由至0）上的压力分布和下半圆（由至2）上的压力分布对称，结果是合力为零。有环量时，上半圆上的负压远有环量时，上半圆上的负压远远超过
30、下半圆上的负压，所以远超过下半圆上的负压，所以有一个向上的合力，即升力。有一个向上的合力，即升力。这个力的来源主要靠上半圆上这个力的来源主要靠上半圆上的吸力。的吸力。u机翼的特殊形状使它不用旋转就能产生环量，上部机翼的特殊形状使它不用旋转就能产生环量，上部流速加快形成吸力，下部流速减慢形成压力。流速加快形成吸力，下部流速减慢形成压力。u足球中的弧线球现象就是环量产生升力的例子之一足球中的弧线球现象就是环量产生升力的例子之一3.4 二维对称物体绕流的数值解二维对称物体绕流的数值解l下面用解二维对称物体绕流的例子来说明奇点叠加数值解法的应用。无迎角的对称物体没有升力，根据上述分析和演示，提示我们把
31、直匀流和分布的偶极子（或总强度为零的分布的点源和点汇，无环量）叠加起来，得到组合流动对称封闭物体绕流。l设直匀流速度为 V，在 x 轴上(a,b)范围内，连续分布单位长度内强度设为 m（x）的偶极子。称为偶极子密度。l该组合流动对任一空间点 p(x,y)处的流函数为：u对这种无升力物体的外形可以用零流线来表示，改变不同的偶极子密度分布，可以获得不同形状的封闭物体。u由流函数与速度的关系确定速度分布，由速度与压强的关系即伯努利方程确定压强分布。对于实际问题，往往是给定物体的外形来确定其流动的对于实际问题，往往是给定物体的外形来确定其流动的特性。特性。待求方程是一个积分方程，求它的解是比较困难的，
32、但待求方程是一个积分方程，求它的解是比较困难的，但是随着计算机技术的发展，可以用数值方法比较迅速地是随着计算机技术的发展，可以用数值方法比较迅速地获得这种方程的有一定准确度的数值解。获得这种方程的有一定准确度的数值解。1.首先，我们把偶极子分布区域分成等宽度的 n 段，设每段的宽度为，段数 n 可根据计算机容量及结果的准确度要求而确定。2.某一定点 P(x,y)处流函数为：式中 为第 j 段的中点离原点的距离；为第 j段内偶极子密度的平均值；表示第 j 段内偶极子的强度。二维对称物体绕流数值解法步骤二维对称物体绕流数值解法步骤3.用物面边界条件来确定待求的偶极子密度（现在即物面为零流线，满足0
33、），对于给定物体外形上的 n 个已知点（xi，yi），就可以得到一个对未知函数的 n 元一次联立代数方程组：其中 Cij 为影响系数，表示 处的单位偶极子密度对物体表面某点 Pi(xi，yi)处的流函数的贡献。4.展开上式，即 利用解一次方程组的各种计算方法，求解上面方程组，确定偶极子密度 mj。5.一旦解得所给定物体外形的偶极子密度分布，则可确定一旦解得所给定物体外形的偶极子密度分布，则可确定流场内任意点处的流函数，此后可由流函数与速度的关流场内任意点处的流函数，此后可由流函数与速度的关系及伯努利方程，确定流场内各点处的速度及压强值。系及伯努利方程，确定流场内各点处的速度及压强值。在上述过程
34、中，我们实际上是把第在上述过程中，我们实际上是把第 j 段中分布的偶极子用段中分布的偶极子用集中在该段中点处的等强度的偶极子来代替了。显然，集中在该段中点处的等强度的偶极子来代替了。显然，如果分段数量较多，这种近似表示才有一定的准确性。如果分段数量较多，这种近似表示才有一定的准确性。理论上，当段数理论上，当段数 n 趋于无限大时，偶极子密度分布的数趋于无限大时，偶极子密度分布的数值结果趋近于精确解。值结果趋近于精确解。在实际应用时，由于计算机容量和计算机机时的限制，以在实际应用时，由于计算机容量和计算机机时的限制，以及多元一次联立方程组的解的不稳定性。分段的数目不及多元一次联立方程组的解的不稳
35、定性。分段的数目不宜太多。宜太多。位函数数值求解位函数数值求解a也可以由位函数出发，用位函数对应的物面条件来解决实际流动问题。这两种方法是等价的。在实际应用中，用位函数叠加法比用流函数法更广泛。本章基本要求本章基本要求掌握平面不可压位流中位函数与流函数的性质与关系。掌握平面不可压位流中位函数与流函数的性质与关系。掌握平面不可压位流的基本方程即拉普拉斯方程的特点、掌握平面不可压位流的基本方程即拉普拉斯方程的特点、叠加原理和边界条件；叠加原理和边界条件；掌握四种基本而重要的位流流动即：直匀流，点源（点掌握四种基本而重要的位流流动即：直匀流，点源（点汇）、偶极子和点涡的表达；汇）、偶极子和点涡的表达
36、；重点掌握直匀流与偶极子和点涡的叠加；重点掌握直匀流与偶极子和点涡的叠加；掌握儒可夫斯基升力定律；掌握儒可夫斯基升力定律；了解二维对称物体绕流数值解法步骤了解二维对称物体绕流数值解法步骤PRACTICE1.a.试写出从 y 流向+y，速度值为 V 的直匀流的位函数。b.试写出位于原点的点汇的位函数。c.试写出位于原点，顺时针旋转的点涡的位函数。d.试写出位于原点，轴线指向y轴的偶极子的位函数。提示：坐标旋转变换关系为：2.在 x 轴上距原点为b处放置点源（源强度为Q），y 轴为壁面，试求x=b/2 处的速度表达。在 x 轴上距原点为b处放置强度为顺时针旋转的点涡，求该点涡此时的速度大小与方向。
37、xyyxxyo.b1.d 图2题.3题图解解1a.V Vy y b.c.d.xyyx解2.在 x 轴上距原点为b处放置点源（源强度为Q），y 轴为壁面，试求x=b/2 处的速度表达。相当于将壁面去掉在b处放置强度同样为Q的点源：xyo.b2题.3题图.解解2：题目相当于在：题目相当于在b处叠加一个环量相等方向相反的点处叠加一个环量相等方向相反的点涡，求该点涡速度相当于求涡，求该点涡速度相当于求b点速度。由于点涡对自身没点速度。由于点涡对自身没有诱导速度，因此有诱导速度，因此b处速度只是由镜像涡产生，镜像涡的处速度只是由镜像涡产生，镜像涡的流函数（方便求导）：流函数（方便求导）：xyo.b2题.3题图.如果求如果求b/2处速度，则需写出全部流函数：处速度，则需写出全部流函数：