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1、第第4章章 导数的应用导数的应用 4.1 微分中值定理微分中值定理 4.2 洛必达法则洛必达法则 4.3 函数的单调性与极值函数的单调性与极值 4.4 曲线的凹凸性、拐点与渐近线曲线的凹凸性、拐点与渐近线 4.5 函数最值及其在经济中的应用函数最值及其在经济中的应用 4.6 泰勒中值定理泰勒中值定理1 导数是研究函数性质的重要工具导数是研究函数性质的重要工具.仅从导数概念无法体仅从导数概念无法体现这种工具的作用现这种工具的作用,需要微分中值定理作为桥梁需要微分中值定理作为桥梁.本章先介绍微分中值定理本章先介绍微分中值定理,然后以微分中值定理为理论然后以微分中值定理为理论基础基础,以导数为工具以
2、导数为工具,先给出求一类特殊极限先给出求一类特殊极限未定式极未定式极限的一种简便求法限的一种简便求法,其后讨论函数的单调性、极值、最值其后讨论函数的单调性、极值、最值在经济领域的一些应用和函数曲线凸性与拐点在经济领域的一些应用和函数曲线凸性与拐点.微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理中值定理,下面分别予以介绍下面分别予以介绍.24.1 微分中值定理微分中值定理一一.罗尔罗尔(Rolle)中值定理中值定理二二.拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理三三*.*.柯西柯西(Cauchy)中值定理中值定理3定理定理4.1
3、.1 (罗尔定理罗尔定理)设函数设函数 y=(x)满足下列条件满足下列条件:(1)在闭区间在闭区间 a,b上连续上连续;(2)在开区间在开区间(a,b)内可导内可导;(3)(a)=(b).一一.罗尔罗尔(Rolle)中值定中值定理理则至少存在一点则至少存在一点(a,b),使得使得boxABy=f(x)ay4 显然这些点在最高点或最低点显然这些点在最高点或最低点(局部范围内局部范围内)处取得处取得,由此由此启发了我们的证明思路启发了我们的证明思路.(x)在在 a,b上必有最大值上必有最大值 M 和最小值和最小值 m.下面分两种情形讨论下面分两种情形讨论:(1)若若M=m,则则(x)在在a,b上恒
4、为常数上恒为常数.证证 因为函数因为函数(x)在闭区间在闭区间a,b上连续上连续,故故故在故在(a,b)内的每一点都可取作内的每一点都可取作,定理显然成立定理显然成立.boxABy=f(x)ayC从而从而6(2)若若 Mm,而而则数则数 M 与与 m 中至少有一个不等于端点的数值中至少有一个不等于端点的数值,不妨设不妨设(a)=(b)从而在区间从而在区间(a,b)内至少存在一点内至少存在一点,使得使得 ()=M下面证明下面证明当当x 0时时,有有则不论则不论 x 0 或或 x 0,恒有恒有7故必有故必有从而从而而而(x)在在(a,b)内可导内可导,当当x 0时时,有有8注注2罗尔定理中的三个条
5、件是充分而不必要的罗尔定理中的三个条件是充分而不必要的,如如oxy=f(x)y10 注注3罗尔定理是定性的结果罗尔定理是定性的结果,它只肯定了至少存在一个它只肯定了至少存在一个,而不能肯定而不能肯定的个数的个数,也没有指出实际计算也没有指出实际计算 的值的的值的方法方法.但对某些简单情形但对某些简单情形,可从方程中解出可从方程中解出.此函数在其定义域内罗尔定理中的三个条件均不满足此函数在其定义域内罗尔定理中的三个条件均不满足,但是却存在但是却存在使得使得和和11 有三个不相等的根有三个不相等的根例例 求函数求函数(x)=(x1)(x2)(x3)x 的导数的导数,说明方程说明方程有几个实根有几个
6、实根?并指出它们所在区间并指出它们所在区间.13二二.拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理 罗尔中值定理中的第三个条件太强罗尔中值定理中的第三个条件太强,在许多问题的讨论中在许多问题的讨论中,是不满足的是不满足的.例如例如,单调函数单调函数.这使其应用受到了限制这使其应用受到了限制.现去现去掉此条件掉此条件,保留另外两个条件保留另外两个条件,就得到微分学中另一个十分就得到微分学中另一个十分重要的定理重要的定理拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理.定理定理4.1.2 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理设函数设函数 y=(x)满足下列条件满足下列条件:(1)在闭区间在
7、闭区间a,b上连续上连续;(2)在开区间在开区间(a,b)内内可导可导,oxyy=f(x)aAbBCD15则在则在(a,b)内至少存在一点内至少存在一点,使得使得此定理也称微分中值定理此定理也称微分中值定理.不垂直于不垂直于x轴的切线轴的切线.又因弦又因弦AB的斜率为的斜率为 则在弧则在弧 AB上至少能找到一点上至少能找到一点 C,使使曲线在点曲线在点 C 处的切线平行于弦处的切线平行于弦 AB.几何意义几何意义:如果在连续曲线弧如果在连续曲线弧AB上上,除端点外除端点外,处处具有处处具有oxy y=f(x)aAbBCD16证证 作辅助函数作辅助函数拉格朗日公式拉格朗日公式则在则在(a,b)内
8、至少存在内至少存在 注注4 (1)拉格朗日公式精确地表达了函数在一个区间上拉格朗日公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.一一点点,使得使得 F()=0.(2)拉格朗日中值公式的等价形式拉格朗日中值公式的等价形式：18由于当由于当 x 为有限时为有限时,上式是上式是 y 的准确表达式的准确表达式.特别地特别地,若若 x 与与 x+x 为区间为区间 (a,b)内的任意两点内的任意两点,则有则有理均成立理均成立.注注5 在在(a,b)内的任意闭区间内的任意闭区间 上上,拉格朗日中值定拉格朗日中值定19因而也把上式称为
9、有限增量公式因而也把上式称为有限增量公式.而函数的微分而函数的微分仅是仅是 y 的近似表达式的近似表达式,所以有限增量公式在理论上十分有用所以有限增量公式在理论上十分有用.分析分析 求求 在在 上满足上满足Lagrange定理中的定理中的 ，就是，就是求求 在在 内的根。内的根。例例4求函数求函数 在在 上满足上满足拉格朗拉格朗日中值日中值中值定理的中值定理的 值。值。20由由Lagrange中值定理可知中值定理可知所以所以 即为所求。即为所求。解解因为因为21推论的几何意义：推论的几何意义：推论推论4.1.1斜率处处为斜率处处为0的曲线的曲线,一定是平行于一定是平行于 x 轴的直线轴的直线.
10、推论推论4.1.222例例5 证明不等式证明不等式 即只须证即只须证 所以可以考虑用所以可以考虑用拉格朗日拉格朗日中值定理证明中值定理证明.因为因为分析分析:因因24证证 设设(x)=ln(1+x),因为因为(x)在在0,x上连续上连续,在在(0,x)内内可导可导.即即 (x)在在0,x上满足上满足拉格朗日拉格朗日中值定理中值定理.从而从而即即所以所以25显然显然,利用拉格朗日利用拉格朗日中值中值定理证明等式与定理证明等式与不等式不等式的关键是的关键是:(1)根据等式特点选取适当的函数根据等式特点选取适当的函数(x).先证先证再证再证 (2)根据不等式的特点选取适当的函数根据不等式的特点选取适当的函数(x)及对应区间及对应区间a,b,使其满足定理的条件使其满足定理的条件,便有便有再根据再根据a 0,试证试证:至至少存在一点少存在一点(a,b),使得使得证证 因待证结论因待证结论设设所以至少存在一点所以至少存在一点(a,b)，使得，使得在在a,b上满足柯西中值定理上满足柯西中值定理,而而31