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1、1.4 条件概率及其应用条件概率及其应用一、条件概率一、条件概率二、二、乘法公式乘法公式三、三、全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式 在解决许多概率问题时，往往需要在有某在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息些附加信息(条件条件)下求事件的概率下求事件的概率.一、条件概率一、条件概率1.条件概率的概念条件概率的概念如在事件如在事件B发生的条件下求事件发生的条件下求事件A发生的概率，发生的概率，将此概率记作将此概率记作P(A|B).一般一般 P(A|B)P(A)P(A)=1/6，例例如，掷一颗均匀骰子，如，掷一颗均匀骰子，A=掷出掷出2点点，B=掷出偶数点掷出偶数点，P(A|B)
2、=？掷骰子掷骰子 已知事件已知事件B发生，此时试验所有可能发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是结果构成的集合就是B，于是于是P(A|B)=1/3.B中共有中共有3个元素，它们的出现是等可能的，个元素，它们的出现是等可能的，其中只有其中只有1个在集个在集A中，中，容易看到容易看到P(A|B)P(A)=3/10，又如，又如，10件产品中有件产品中有7件正品，件正品，3件次品，件次品，7件正件正品中有品中有3件一等品，件一等品，4件二等品件二等品.现从这现从这10件中任取件中任取一件，记一件，记 B=取到正品取到正品A=取到一等品取到一等品，P(A|B)设设A、B是两个事件，且是两个事件，且P(
3、B)0,则称则称 (1)2.条件概率的定义条件概率的定义为在为在事件事件B发生的条件下发生的条件下,事件事件A的条件概率的条件概率.含义：含义：A在在B中所占的比例中所占的比例3.条件概率的性质条件概率的性质设设B是一事件，且是一事件，且P(B)0,则则1.对任一事件对任一事件A，0P(A|B)1;2.P(S|B)=1；3.设设A1,An互不相容，则互不相容，则P(A1+An)|B=P(A1|B)+P(An|B)而且，前面对概率所证明的一些重要性质而且，前面对概率所证明的一些重要性质都适用于条件概率都适用于条件概率.条件概率符合概率定义中的条件概率符合概率定义中的三个条件：三个条件：2)从加入
4、条件后改变了的情况去算从加入条件后改变了的情况去算 4.条件概率的计算条件概率的计算1)用定义计算用定义计算:P(B)0 掷骰子掷骰子例：例：A=掷出掷出2点点，B=掷出偶数点掷出偶数点P(A|B）=B发生后的发生后的缩减样本空间缩减样本空间所含样本点总数所含样本点总数在缩减样本空间在缩减样本空间中中A所含样本点所含样本点个数个数例例1 袋中有袋中有6只球只球,其中其中4只白球只白球,2只红球只红球.六个人依六个人依次不放回的从袋中各取一球次不放回的从袋中各取一球.设设 A1=第一人取出的是白球第一人取出的是白球,A2=第二人取出的是白球第二人取出的是白球求求解法解法1:1:用定义用定义 解法
5、解法2:(从从A1发生后改变了的样本空间去计算发生后改变了的样本空间去计算)(P(P1616,例例2)2)例例2 一次掷两颗骰子一次掷两颗骰子,设设A=两颗骰子的点数和为两颗骰子的点数和为8,B=两颗骰子中至少有一两颗骰子中至少有一个个3点点求条件概率求条件概率 解解:B=(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5,(3,6),(1,3),(2,3),(4,3),(5,3),(6,3)解法解法1:用定义用定义 A=(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)(P(P1717,例例3)3)解法解法2:从从A发发生后改生后改变变了的了的样样本空本空间间去去计计算算同理同
6、理新的新的样样本空本空间为间为 A=(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)（含（含5个个样样本点），本点），在在A中中B包含两个包含两个样样本点，故本点，故例例3 设设M件产品中包含件产品中包含m件次品，今从中任取两件，件次品，今从中任取两件，求已知求已知2件产品中至少有一件是次品的条件下两件件产品中至少有一件是次品的条件下两件都是次品的概率。都是次品的概率。解解:设设A=两件中至少有一件是次品两件中至少有一件是次品 B=两件均为次品两件均为次品(P(P1717,例例4)4)由条件概率的定义：由条件概率的定义：即即 若若P(B)0,则则P(AB)=P(B)P(A|B)(2)
7、而而 P(AB)=P(BA)二、二、乘法公式乘法公式若已知若已知P(B),P(A|B)时时,可以反求可以反求P(AB).将将A、B的位置对调，有的位置对调，有故故 P(A)0,则则P(AB)=P(A)P(B|A)(3)若若 P(A)0,则则P(BA)=P(A)P(B|A)(2)和和(3)式都称为乘法公式式都称为乘法公式,利用利用它们可计算两个事件同时发生的概率它们可计算两个事件同时发生的概率P(AB)0时时,P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)推广到多个事件的乘法公式推广到多个事件的乘法公式:当当P(A1A2An-1)0时，有时，有P(A1A2An）=P(A1)P(A2|A1)P(
8、An|A1A2An-1)例例4.一盒中有一盒中有10只电子元件只电子元件,其中其中6只正品只正品4只次品只次品,从盒中任取从盒中任取3次次,每次取每次取1只只,不放回不放回.求求:(1)3次均取得正品的概率次均取得正品的概率;(2)第三次才取得正品的概率第三次才取得正品的概率解解:Ai=第第i次取出是正品次取出是正品，i=1,2,3(1)(2)(P(P1818,例例5)5)乘法公式应用举例乘法公式应用举例（波里亚罐子模型）（波里亚罐子模型）t个白球个白球,r个红球个红球(P(P1818,例例6)6)例例5 一个罐子中包含一个罐子中包含r只红球和只红球和t只白球只白球.随机地随机地抽取一个球，观
9、看颜色后放回袋中，并且再加抽取一个球，观看颜色后放回袋中，并且再加进进a只与所抽出的球具有相同颜色的球只与所抽出的球具有相同颜色的球.若在袋若在袋中连续取球四次，试求第一、二次取到红球且中连续取球四次，试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率第三、四次取到白球的概率.解解:设设 Ai=第第i次取出是红球次取出是红球，i=1,2,3,4 =第第i次取出是白球次取出是白球，i=1,2,3,4用乘法公式容易求出用乘法公式容易求出 全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较较复杂复杂事件的概率事件的概率,它们实质上是加法公式和它们实质上是加法公式和乘法公式的综合
10、运用乘法公式的综合运用.综合运用综合运用加法公式加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥互斥乘法公式乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)0三、三、全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式注：注：S 的一个划分一是要互斥，的一个划分一是要互斥，二是要充满整个空间二是要充满整个空间.1样本空间的划分样本空间的划分 设设S为试验为试验E的样本空间的样本空间,为为 E 的一组事件的一组事件,若：若：则称则称 是样本空间是样本空间S的的一个划分一个划分或称或称 是一个是一个完备事件组。完备事件组。nBBBL,21定义：定义：B1B2B3B4B5B6B7B8E的一组事件的一组事件
11、是是S的一个划分或的一个划分或 构成了构成了完备事件组完备事件组E的另一组事件的另一组事件就不是就不是S的一各划分，或的一各划分，或 构不构不成一个完备事件组。成一个完备事件组。对对“掷一颗骰子观察其点数掷一颗骰子观察其点数”这一试验，其：这一试验，其：比如：比如：2.全概率公式全概率公式 设设S为为随随机机试试验验的的样样本本空空间间，A1,A2,An是是S的的一个划分，且有一个划分，且有P(Ai)0，i=1,2,n,全概率公式全概率公式:则对任一事件则对任一事件B，有，有 如何寻找一个如何寻找一个完备事件组完备事件组是利用全概率公式是利用全概率公式解题的关键解题的关键,在实际应用中可以把它
12、理解为在实际应用中可以把它理解为导致事导致事件件B发生的一组原因发生的一组原因.注：注：全概率公式还可以用下面图形来表示全概率公式还可以用下面图形来表示BA1A2AnS导致导致B发生的原因发生的原因（完备事件组）（完备事件组）例例6 3个个人人用用抓抓阄阄的的方方法法抽抽取取两两张张足足球球赛赛的门票，求每人抽到门票的概率。的门票，求每人抽到门票的概率。后抽比先抽的吃亏吗？后抽比先抽的吃亏吗？门票门票门票门票(P(P2020,例例8)8)我们用我们用Ai表示表示“第第i个人抽到门票个人抽到门票”i1,2,3.显然，显然，P(A1)=2/3，P()1/3则则 表示表示“第第i个人未抽到门票个人未
13、抽到门票”请看演示：请看演示：例例7 市市场场上上有有甲甲、乙乙、丙丙三三家家工工厂厂生生产产的的同同一一品品牌牌产产品品，已已知知三三家家工工厂厂的的市市场场占占有有率率分分别别为为1/4、1/4、1/2，且且三三家家工工厂厂的的次次品品率率分分别别为为 2、1、3，试试求求市场上该品牌产品的次品率。市场上该品牌产品的次品率。解解则由已知则由已知P(A1)=1/4,P(A2)=1/4,P(A3)=1/2P(B/A1)=0.02,P(B/A2)=0.01,P(B/A3)=0.03BA1A2A3SP(B/A1)=0.02,P(B/A2)=0.01,P(B/A3)=0.03P(A1)=1/4,P(
14、A2)=1/4,P(A3)=1/2该该球球取取自自哪哪号号箱箱的的可可能能性性最大最大?实际中还有下面一类问题，是实际中还有下面一类问题，是“已知结果求原因已知结果求原因”这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小可能性大小.某人从任一箱中任意摸出某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球一球，发现是红球,求该球是求该球是取自取自1号箱的概率号箱的概率.1231红红4白白或者问或者问:接下来我们介绍为解决这类问题而引出的接下来我们介绍为解决这类问题而引出的贝叶斯公
15、式贝叶斯公式 含义：含义：已知已知B发生的条件下寻求导致发生的条件下寻求导致B发生的原因发生的原因Ai的概率的概率.贝叶斯公式贝叶斯公式：在全概率公式的条件下，有在全概率公式的条件下，有 贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果（事件人们确定某结果（事件 B）发生的最可能原因）发生的最可能原因.例例8 某厂产品，每某厂产品，每100个装一箱，用户抽检时只从每个装一箱，用户抽检时只从每箱中抽取箱中抽取10只产品来检查。若这只产品来检查。若这10只产品中发现有只产品中发现有次品，就认为该箱产品不合格，拒收，假定每箱中次品，就认为该箱产品不合格，拒收，假定每箱中的次品不超过的次品不超过4只，且有分布只，且有分布次品数次品数01234P0.10.20.40.20.1求求(1)任取一箱任取一箱,能通过检查的概率能通过检查的概率(2)任取一箱通过了检查任取一箱通过了检查,而该箱内却有而该箱内却有4只次品的概率只次品的概率.解解:令令 A=任取一箱通过了检查任取一箱通过了检查 Bi=任取一箱中有任取一箱中有i只次品只次品,i=0,1,2,3,4(P(P1919,例例7)7)(1)由全概率公式由全概率公式(2)由贝叶斯公式由贝叶斯公式