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1、第第2章章逻辑门与逻辑代数基础逻辑门与逻辑代数基础本章介绍逻辑描述、逻辑门、逻辑代数基本公式与逻辑本章介绍逻辑描述、逻辑门、逻辑代数基本公式与逻辑代数化简。代数化简。2.1逻辑描述逻辑描述1.逻辑函数逻辑函数逻辑函数与一般的数学函数一样，描述输入与输出变量之间的逻辑关系，逻辑函数与一般的数学函数一样，描述输入与输出变量之间的逻辑关系，函数中的逻辑变量常用大写或小写字母表示，但取值只能为函数中的逻辑变量常用大写或小写字母表示，但取值只能为0或或1。通常取值为。通常取值为1的变量称为原变量，取值为的变量称为原变量，取值为0的变量称为反变量。的变量称为反变量。2.真值表真值表真值表是将所有可能情况下
2、的输入取值与对应的输出值列成的表格，是逻真值表是将所有可能情况下的输入取值与对应的输出值列成的表格，是逻辑关系的表格表示。通常表格左侧为输入变量按照二进制数增序排列的所有取辑关系的表格表示。通常表格左侧为输入变量按照二进制数增序排列的所有取值，右侧为输出变量。值，右侧为输出变量。如果用数字如果用数字0、1表示输入与输出变量的取值，则真值表描述输入逻辑变量表示输入与输出变量的取值，则真值表描述输入逻辑变量与输出变量之间的关系。如果用高电平与输出变量之间的关系。如果用高电平H、低电平、低电平L表示输入信号与输出信号的表示输入信号与输出信号的取值，则真值表描述门电路输入与输出之间的电平关系，称为电平
3、真值表。取值，则真值表描述门电路输入与输出之间的电平关系，称为电平真值表。3.逻辑电路图逻辑电路图逻辑图是用图形的方式描述逻辑输入变量与输出变量之间的关系，逻辑门符逻辑图是用图形的方式描述逻辑输入变量与输出变量之间的关系，逻辑门符号是逻辑图的基本元素。号是逻辑图的基本元素。在逻辑电路图中，低电平或是逻辑在逻辑电路图中，低电平或是逻辑0有效的信号，常与逻辑非（小圆圈）引有效的信号，常与逻辑非（小圆圈）引脚连接，以表示该信号是低电平或是逻辑脚连接，以表示该信号是低电平或是逻辑0有效的信号。若是信号不与逻辑非符号有效的信号。若是信号不与逻辑非符号（小圆圈）引脚连接，则表示该信号是高电平或是逻辑（小圆
4、圈）引脚连接，则表示该信号是高电平或是逻辑1有效的信号。用圆圈表示有效的信号。用圆圈表示逻辑非的符号称为逻辑非符号。逻辑非的符号称为逻辑非符号。4.逻辑信号逻辑信号逻辑信号既可以用高电平逻辑信号既可以用高电平H或是逻辑或是逻辑1表示有效，也可以用低电平表示有效，也可以用低电平L或是逻辑或是逻辑0表示有效。在信号为高电平表示有效。在信号为高电平H或是或是1有效的逻辑中，低电平有效的逻辑中，低电平L或是或是0表示信号无效，表示信号无效，而在信号为低电平而在信号为低电平L或是或是0有效的逻辑中，高电平有效的逻辑中，高电平H或是或是1表示信号无效。有些逻辑表示信号无效。有些逻辑图中的信号既有高电平有效
5、的信号也有低电平有效的信号，这种逻辑称为混合逻图中的信号既有高电平有效的信号也有低电平有效的信号，这种逻辑称为混合逻辑。辑。若是用逻辑若是用逻辑1代表高电平代表高电平H，用逻辑，用逻辑0代表低电平代表低电平L，则称为正逻辑；若是用逻，则称为正逻辑；若是用逻辑辑1代表低电平代表低电平L，用逻辑，用逻辑0代表高电平代表高电平H，则称为负逻辑。，则称为负逻辑。2.2基本逻辑门功能概述1.非门非门又称为反相器，是实现逻辑非运算的逻辑电路。输 入输 出输 入输 出AYAYLH01HL102或门或门或门是实现或运算的门电路。或运算又称为或逻辑、逻辑加。或门是实现或运算的门电路。或运算又称为或逻辑、逻辑加。
6、输 入输 出ABY000011101111某某房房间间的的3个个窗窗户户上上安安装装有有磁磁控控开开关关，当当窗窗户户打打开开时时磁磁控控开开关关输输出出高高电电平平，现现在在要要求求设设计计一一个个电电路路，当当任任何何一一个个窗窗户户打打开开时时，该该电电路输出报警信号。路输出报警信号。3与门与门是实现与运算的门电路。与运算又称为与逻辑、逻辑乘。输 入输 出ABY000010100111利用与门控制计数器输入脉冲的脉冲频率测量电路汽车安全带绑紧检测装置4与非门与非门可实现与门和非门的复合运算，输 入输 出ABY001011101110【例例2-9】某某工工业业生生产产中中，需需要要监监视视
7、两两种种液液体体的的液液位位，当当液液位位高高于于液液罐罐高高度度的的10%时时，液液位位传传感感器器输输出出高高电电平平，否否则则输输出出低低电电平平。要要求求当当两两罐罐液液位位同同时时高高于于液液罐罐高高度度的的10%时时，绿绿色色发发光光二极管亮。二极管亮。5或非门或非门可实现或门和非门的复合门运算，输 入输 出ABY001010100110【例例2-11】汽汽车车门门关关闭闭检检测测系系统统，汽汽车车门门若若是是未未完完全全关关闭闭，门门检检测测开开关关输输出出高高电电平平；若若是是门门完完全全关关闭闭，门门开开关关输输出出低低电电平平。要要求求若若是是有有一一个个或或多多个个门门未
8、未完完全全关关闭闭，发光二极管亮，提示驾驶员关门。发光二极管亮，提示驾驶员关门。6异或门异或门实现异或逻辑输 入输 出ABY0000111011107同或门同或门实现同或逻辑，输 入输 出ABY001010100111【例例2-13】某某装装置置为为可可靠靠运运行行，采采用用两两套套控控制制装装置置，当当两两套套控控制制装装置置输输出出结结果果同同是是1或或0时时，一一致致性性检检测测装装置置的的发光二极管灭，否则发光二极管亮。发光二极管灭，否则发光二极管亮。应该有非号2.3逻辑代数基本定律与公式逻辑代数基本定律与公式2.3.1基本定律基本定律1交换律交换律或运算交换律或运算交换律A+B=B+
9、A与运算交换律与运算交换律 A B=B A2.结合律或结合律(A+B)+C=A+(B+C)与结合律(AB)C=A(BC)3分配律与对或的分配律A(B+C)=AB+AC或对与的分配律A+BC=(A+B)(A+C)2.3.2基本公式1使能公式（1）A+0=A（2）A1=A2禁止公式（1）A+1=1（2）A0=03冗余公式（1）A+A=A（2）AA=A4互补公式5双重否定公式6吸收公式A+AB=A7包含公式2.3.3基本定理1代入定理任何一个逻辑等式中，如果将等式两边所有出现的某一逻辑变量都用一个逻辑函数式来代替，则逻辑等式仍然成立。这个定理称为代入定理。等式左侧2对偶式和对偶定理所谓对偶式就是将一
10、个逻辑函数式Y中所有的“”换成“+”，“+”换成“”，“1”换成“0”，“0”换成“1”，则得到一个新的逻辑函数式Y。对偶定理：若是两逻辑函数式相等，则它们的对偶式也相等。3反演定理将一个逻辑函数式Y中所有的“”换成“+”，“+”换成“”，“1”换成“0”，“0”换成“1”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到的逻辑函数式为。将Y变为的规律称为反演定理。使用反演定理时，注意遵循如下约定：需要遵守“先括号，然后乘，最后加”的运算顺序。不属于单个变量上的非号应该保留不变。4摩根定理（1）摩根定理a）定理1：或函数的非等于非的与函数，即AB0011010010001100b）定理2：与函数的非
11、等于非的或函数，即AB0011011110111100【例2-14】（2）摩根定理用于门电路转换通常人们对高电平起作用的信号非常习惯，而对低电平起作用的信号感觉很难处理。例如，电动机运转表示为逻辑值“1”，用高电平信号表示；电动机停止表示为逻辑值“0”，用低电平表示，这就比较符合人们的思维习惯。而反过来，电动机运转表示为逻辑值“0”，用低电平表示；电动机停止运行表示为逻辑值“1”，用高电平表示，则容易引起思维困难。如果设计一个监测两台电动机M1、M2同时运行的电路，要求在两台电动机同时运行时输出Y为高电平，则按照高电平起作用的约定，可以直接使用与逻辑，表示为Y=M1M2。但是按照低电平起作用的
12、约定，就是说，电动机运行用低电平表示，这时人们首先想到的是将低电平起作用的信号，用非逻辑转换成高电平起作用的信号，然后再使用与逻辑实现，很难想到直接使用或非逻辑来实现，表示为。a）将或门转换成输入低电平有效的与非门。例如，某数字系统有信号和，当这两个信号同时有效时，输出有效b）将与门转换成输入低电平有效的或非门。由摩根定理可知，对于与逻辑函数式，用摩根定理有例如，监测两台电动机运转的信号M1、M2都是低电平有效，如果有一台电动机运转时其输出端Y就输出低电平c）将与非门转换成输入低电平有效的或门。对于与非逻辑函数式，对等式右侧采用摩根定理变换后，例如，监测两台电动机运转的信号M1、M2都是低电平
13、有效，如果在有一台电动机运转时其输出端Y就输出高电平，d）将或非门转换成输入为低电平有效的与门。对于或非逻辑函数式，对等式右侧采用摩根定理变换后，例如，监测两台电动机运转的信号M1、M2都是低电平有效，如果在两台电动机都运转时其输出端Y就输出高电平，2.4标准逻辑函数式1标准与-或函数式若与-或逻辑函数式中的与（乘积）项中包含所有输入变量，且每个变量以原变量或是反变量出现1次，则该与项称为最小项。与项采用最小项写法的与-或函数式称为标准与-或函数式。这里用m表示最小项，其下标是用十进制表示的最小项编号，如，与110相对应，而110表示十进制的6，所以该最小项为m6。对于任意一个最小项，只有一组
14、输入变量使其为1。在与-或函数式中，只要有一个最小项为1，则与-或函数式等于1。2标准或-与函数式若或-与函数式中的或（和）项包含所有变量，且每个变量以原变量或是反变量出现1次，则该或项称为最大项。或项采用最大项书写的或-与函数式称为标准或-与函数式。方法是在非标准或-与式中的或项中，和缺失变量的原变量、反变量相与后再相或，例如或项中缺失变量D，则增加，然后用或对与的分配律A+BC=(A+B)(A+C)，就可以将或项转换成最大项。【例2-15】对于任意一个最大项，只有一组变量，使最大项为0，2.5代数法化简函数式化简函数式的目的就是使逻辑函数式简单，实现函数式时不仅所用的门电路最少，而且门电路
15、的输入端个数最少。或者说在最简与或函数式中，与项最少，与项中的变量数最少，因此为最简与或函数式。逻辑代数法化简就是用逻辑代数的定律与公式进行化简，2.6卡诺图2.6.1画卡诺图卡诺图是二维表格，像真值表一样，卡诺图中的每一个格代表一个输入组合，因此三变量输入的卡诺图具有23=8个格。卡诺图每个格中填入的数字是对应输入变量组合的输出逻辑值。1卡诺图2从真值表到卡诺图真值表与卡诺图一样是输入变量的最小项与输出值之间关系的表格，因此只要将真值表中输出为1的最小项所对应的卡诺图格中填入1，就可以完成真值表到卡诺图之间的转换。例如，图2-50（a）所示的真值表，其输出Y（A、B、C）为1的最小项值是00
16、1、010、110和111，将这些最小项对应卡诺图格中填入1，有图2-50（b）所示的卡诺图。3将与-或函数式填入卡诺图（1）将标准与-或函数式填入卡诺图【例2-23】将四变量标准与-或函数式填入四变量卡诺图。（2）非标准与-或函数式填入卡诺图非标准与-或函数式中的与项常缺少一个或几个变量，缺哪个变量，就相当于哪个变量互补，最小项占据卡诺图中的一个格，缺一个变量，则占据2个格，缺两个变量占据4个格，缺3个变量，则占据8个格。2.6.2用卡诺图化简与-或函数式1画圈用卡诺图化简就是使与-或函数式中的与项最少，每个与项中的变量最少。与项少则与门的个数最少，与项中的变量少，则与门中的输入端个数少。由
17、于卡诺图中两个相邻格具有一个变量互补，可以消除一个变量；四个相邻格具有两个变量互补，可以消除两个变量，八个相邻格具有三个变量互补，可以消除三个变量。通常用画圈的方法将相邻的最小项圈在一起，圈越大说明变量消除得越多，门电路的输入端越少；但是不允许有重复圈，每个圈中至少有一个没有被圈过的最小项。【例2-24】试在图2-54所示的卡诺图上画圈，使圈最大，使圈的个数最少。【例2-26】化简函数式【例2-27】试化简最小项函数Y(A,B,C,D)(0,1,2,3,4,6,9,11,12,13,15)。【例2-28】真值表如表2-11所示，试用卡诺图化简并写出最简与-或式。ABCY000000100101
18、011110001011110111112.6.3具有无关项的逻辑函数化简如果在实现某些逻辑功能时，不允许输入变量的某些组合出现，因此这些输入变量组合对逻辑函数没有作用，则这些输入变量的组合称为约束项。如果在实现某些逻辑功能时，某些输入变量组合的取值不影响逻辑功能的实现，则这样的输入变量组合称为任意项。无论是约束项还是任意项，都不能使逻辑函数有确定的输出值，也不影响逻辑函数的功能，因此称为逻辑函数的无关项。若是所有输入变量的组合都产生确定的逻辑函数值，则该函数没有无关项。在卡诺图中，无关项常用x表示。在卡诺图中的无关项x，可以根据需要取1或是取0，因此也可以根据需要与输出为1的最小项圈在一起。
19、图2-59是具有无关项的卡诺图。【例2-29】试用卡诺图化简逻辑函数这里为无关项，表示这些输入变量组合的函数值是任意的。2.7逻辑电路图、函数式与真值表之间的转换1逻辑电路图转换到逻辑函数式用逻辑运算符号替代逻辑图中相应的门电路，就可以将逻辑图转换为逻辑函数式。通常从输入向输出逐级推导各个门的输出函数式。【例2-30】对于给定的输入波形A、B，试画出图2-62所示逻辑电路的输出波形。2逻辑函数式转换成逻辑电路图用门电路替代函数式中的逻辑运算符号，就可以将函数式画成逻辑图。3由逻辑函数式得到真值表得到了逻辑函数式后，若是将该函数式的n个输入变量的组合都输入逻辑函数式后，就可以得到2n个函数值，将
20、输入变量的所有组合与对应的输出值列成表格后，就是真值表。A(B+CD)ABCDA(B+CD)000000001000100001100100001010011000111010000100101010010111110011101111101111114由真值表得到逻辑函数式ABY000011101110有时与-或函数式又称为积之和（SOP，SumofProduct）函数式。从真值表获得与-或表达式的方法为：将真值表输出为1的组合中的0以字母变量的非表示，1用原字母变量表示后，以与逻辑关系写出；再将各个组合相或，则可以从真值表得到输出值为1的函数式。【例2-31】对于表2-14所示的真值表中，
21、只有组合A=0、B=0、C=1或组合A=1、B=0、C=1使输出Y=1。试写出函数式。ABCY00000011010001101000101111001110ABCY00010011010001111001101011011111该结果同样是输出值为1的函数式，是或-与函数式，又称为和之积（POS，ProductOfSum）函数式。【例2-32】真值表如表2-16所示，试写出该表的或-与函数式。ABY0000111001112.8与非门和或非门1与非门与非门可以实现非、与、或、或非逻辑运算，因此称为通用逻辑门将右侧第一级与非门变换为低电平有效输入的或门后，则可以直接写出没有非号的输出函数式。2或非门或非门同与非门一样，也是通用逻辑门或非门可以实现非门、或门、与门和与非门。本章内容主要为：（1）基本逻辑门功能与符号，包括与门、或门、非门、与非门、或非门和异或门。（2）逻辑代数基本定律、定理与公式，以及利用摩根定理实现逻辑门转换。（3）标准逻辑函数式，代数法化简与卡诺图化简。（4）逻辑电路图、函数式与真值表之间的转换，用与非门或或非门实现逻辑函数。