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1、4-1 矩形单元与插值函数矩形单元与插值函数 4-2 高次单元与插值函数高次单元与插值函数(6结点三角形单元结点三角形单元)4-3 等参单元和单元坐标变换等参单元和单元坐标变换4-4 数值积分方案数值积分方案 4-5 有限元解的收敛性有限元解的收敛性4-6 轴对称问题有限元及空间问题有限元轴对称问题有限元及空间问题有限元4-1 矩形单元与插值函数矩形单元与插值函数 平面问题的有限元分析中，平面问题的有限元分析中，矩形单元矩形单元也是常用的单元之一。也是常用的单元之一。它采用了比常应变三角形单元它采用了比常应变三角形单元更高次的位移模式更高次的位移模式，故可更，故可更好地反映弹性体中的位移状态与
2、应力状态。好地反映弹性体中的位移状态与应力状态。单元节点位移向量和单元位移向量分别为：单元节点位移向量和单元位移向量分别为：，单元位移函数：单元位移函数：将将4个节点的坐标值个节点的坐标值 代入上式，可解出上式的代入上式，可解出上式的8个系数。个系数。于是，单元位移可通过单元节点位移表示。于是，单元位移可通过单元节点位移表示。矩阵形式为：矩阵形式为：其中其中-为为型函数。型函数。，其中其中它它们们的的几几何何意意义义为为全局全局坐坐标标局部局部坐坐标标因此有：因此有：，单元坐标变换单元坐标变换此单元位移模式是具有完全一次式的非完全二次式。因此单元位移模式是具有完全一次式的非完全二次式。因此单此
3、单元内元内位移位移位移位移沿沿x y方向都是线性变化方向都是线性变化的，但的，但沿其他方向则不是沿其他方向则不是线性的。线性的。单元每边界上有两个节点，按线性变化的位移形式，单元变单元每边界上有两个节点，按线性变化的位移形式，单元变形后此两节点确定了惟一的单元直线边界，因而此单元边界形后此两节点确定了惟一的单元直线边界，因而此单元边界间的位移是连续的，间的位移是连续的，所以矩形单元的这种位移模式又称为双线性位移模式。所以矩形单元的这种位移模式又称为双线性位移模式。正是由于在单元的边界上位移按线性变化，且相邻单元公共正是由于在单元的边界上位移按线性变化，且相邻单元公共结点上有共同的结点位移，因此
4、保证了两个相邻单元在其公结点上有共同的结点位移，因此保证了两个相邻单元在其公共边界上位移的连续性。共边界上位移的连续性。这种单元的位移模式是完备的和协调的，满足解的收敛条件，这种单元的位移模式是完备的和协调的，满足解的收敛条件，因此因此4结点矩形元是协调元。结点矩形元是协调元。矩形单元中的应力分量都不是常量。矩形单元中的应力分量都不是常量。正应力分量正应力分量x的主项的主项(即不与即不与相乘的项相乘的项)沿沿y方向按线性变方向按线性变化，而它的次要项化，而它的次要项(与与相乘的项相乘的项)沿沿x方向按线性变化。正方向按线性变化。正应力应力y与此相反。与此相反。剪应力分量则沿剪应力分量则沿x y
5、两个方向都呈线性变化。两个方向都呈线性变化。这种一个方向为常量，另一方向呈线性变化的情况通常并这种一个方向为常量，另一方向呈线性变化的情况通常并不能提高单元的精度。不能提高单元的精度。矩形单元给出某种线性应力场，解题时可能给出比常应力三角形单元更矩形单元给出某种线性应力场，解题时可能给出比常应力三角形单元更好的结果，其数据准备也更方便。好的结果，其数据准备也更方便。但是，三角形单元的网格划分比较灵活，适应性更强，疏密网格的变化较但是，三角形单元的网格划分比较灵活，适应性更强，疏密网格的变化较为方便。为方便。解决上述问题的方法之一是同时采用矩形单元和解决上述问题的方法之一是同时采用矩形单元和三角
6、形单元混合使用，如图所示的计算模型，在三角形单元混合使用，如图所示的计算模型，在直边区改用矩形单元直边区改用矩形单元,而在曲边附近采用三角形而在曲边附近采用三角形单元，以达到两者兼顾的效果。单元，以达到两者兼顾的效果。矩形单元明显的缺点是不能很好地符合曲线边界，包括与坐标轴不平行的矩形单元明显的缺点是不能很好地符合曲线边界，包括与坐标轴不平行的直线边界，因此直接应用受到限制。直线边界，因此直接应用受到限制。更为一般的方法是通过更为一般的方法是通过等参变换等参变换将局部将局部坐标内的矩形单元变换为总体坐标内的坐标内的矩形单元变换为总体坐标内的任意四边形任意四边形(包括曲边四边形包括曲边四边形)的
7、单元的单元4-2 6结点三角形单元结点三角形单元单元的单元的6个结点是三角形的个结点是三角形的3个角点及个角点及3个边的中点。个边的中点。六六个个节节点点，1212个个节节点点位位移移能能确确定定1212个多项式的系数。个多项式的系数。4-2 6结点三角形单元结点三角形单元位移函数取完全的二次多项式。位移函数取完全的二次多项式。它采用了比常应变三角形单元它采用了比常应变三角形单元更高次的位移模式更高次的位移模式，故可更，故可更好地反映弹性体中的位移状态与应力状态：好地反映弹性体中的位移状态与应力状态：单元边界上单元边界上位移按二次抛物线分布位移按二次抛物线分布。这种单元的这种单元的应变在两个坐
8、标方向上都呈线性变化应变在两个坐标方向上都呈线性变化。应力也呈线性变化应力也呈线性变化。因此，单元精度较因此，单元精度较3结点三角形单元要高。结点三角形单元要高。位移函数中的常数项和完整的一次式满足收敛条件中对完位移函数中的常数项和完整的一次式满足收敛条件中对完备性的要求。备性的要求。六个节点，六个节点，1212个节点位移能确定个节点位移能确定1212个多项式的系数。个多项式的系数。如如角点角点1，可利用，可利用2-32-3边的边方程边的边方程边的边方程边的边方程以及以及过边中点过边中点过边中点过边中点4-64-6的直线方的直线方的直线方的直线方程程程程，并使在结点，并使在结点1上上N1=1,
9、即即用面积坐标给出的用面积坐标给出的6节点三角形单元的插值函数：节点三角形单元的插值函数：对于每个结点对于每个结点i，可以选择二条直线，这二条直线通过除结点，可以选择二条直线，这二条直线通过除结点i以外的所有以外的所有结点，利用直线方程的左部作为线性函数来构造插值函数。结点，利用直线方程的左部作为线性函数来构造插值函数。N1=L1(2L11)N2=L2(2L21)N3=L3(2L31)同理：同理：三个角点三个角点的插值函数可统一写作的插值函数可统一写作Ni=Li(2Li1)三个边中点三个边中点，可选择非此边中点所在的其他，可选择非此边中点所在的其他二条边作为直线方程，则可得二条边作为直线方程，
10、则可得N4=4L1 L2N5=4L2 L3N6=4L1 L34-3 等参单元等参单元对于一个给定问题的求解域，预期用较少的单元即可获得对于一个给定问题的求解域，预期用较少的单元即可获得需要精度的解答。需要精度的解答。但是用较少的但是用较少的形状规则的单元形状规则的单元离散离散几何形状复杂的求解域几何形状复杂的求解域常会遇到困难，因此需要寻找常会遇到困难，因此需要寻找适当的方法将规则形状的单元适当的方法将规则形状的单元转化为能够适应边界的单元转化为能够适应边界的单元。4.3.1 等参变换的概念等参变换的概念4-3 等参单元等参单元在有限单元法中最普遍采用的变换方法是等参变换，在有限单元法中最普遍
11、采用的变换方法是等参变换，即即单元单元单元单元几何形状的变换几何形状的变换几何形状的变换几何形状的变换和和单元内的场单元内的场单元内的场单元内的场(位移位移位移位移)函数的变换函数的变换函数的变换函数的变换采用相同数采用相同数目的结点参数及相同的插值函数进行。目的结点参数及相同的插值函数进行。借助于等参单元可以对于一般的任意几何形状的工程问题借助于等参单元可以对于一般的任意几何形状的工程问题方便地进行有限元离散，方便地进行有限元离散，等参单元的提出为有限单元法成为现代工程实际领域最有等参单元的提出为有限单元法成为现代工程实际领域最有效的数值分析方法迈出了极为重要的一步。效的数值分析方法迈出了极
12、为重要的一步。采用等参变换的单元称之为等参单元。采用等参变换的单元称之为等参单元。4.3.1 等参变换的概念等参变换的概念 为将局部坐标中几何形状规则的单元转换成总体为将局部坐标中几何形状规则的单元转换成总体(笛卡尔笛卡尔)坐坐标中几何形状扭曲的单元，以满足对一般形状求解域进行离标中几何形状扭曲的单元，以满足对一般形状求解域进行离散化的需要，要建立一个坐标变换：散化的需要，要建立一个坐标变换：为建立上述的变换最方便的方法是将上式也表示成插值函数为建立上述的变换最方便的方法是将上式也表示成插值函数的形式：的形式：可以看到可以看到坐标变换关系式坐标变换关系式和和场场(位移位移)函数的插值函数的插值
13、表示式表示式在形式上是相同的。在形式上是相同的。如果坐标变换和函数插值采用相同的结点如果坐标变换和函数插值采用相同的结点m=n，并且采用相，并且采用相同的插值函数同的插值函数 Ni=Ni ，则称这种变换为，则称这种变换为等参变换等参变换等参变换等参变换。如果坐标变换结点数多于函数插值的结点数如果坐标变换结点数多于函数插值的结点数则称为则称为超参变换超参变换超参变换超参变换。m大于大于n反之，反之，如果坐标变换结点数多于函数插值的结点数，如果坐标变换结点数多于函数插值的结点数，则称为则称为次次次次(亚亚亚亚)参变换参变换参变换参变换。m小于小于n场函数是用局部坐标场函数是用局部坐标(,)表述表述
14、坐标变换：将局部坐标中几何形状规则坐标变换：将局部坐标中几何形状规则的单元转换成总体的单元转换成总体(笛卡尔笛卡尔)坐标中几何坐标中几何形状扭曲的单元形状扭曲的单元局部坐标中几何形状规则的单元局部坐标中几何形状规则的单元总体总体(笛卡尔笛卡尔)坐标中几何形状扭曲的单元坐标中几何形状扭曲的单元n=44.3.2 两个坐标系内导数、面积微元间的变换关系两个坐标系内导数、面积微元间的变换关系4.3.2 两个坐标系内两个坐标系内导数导数、面积微元面积微元间的变换关系间的变换关系 为此为此需要建立两个坐标系内需要建立两个坐标系内导数导数、体积微元体积微元、面积微元面积微元之间的之间的变换关系，变换关系，在
15、局部坐标内的积分限在局部坐标内的积分限(-1,1)是是规格化的，规格化的，因此我们希望能在局部坐标内并按标准化、规格化的数值积因此我们希望能在局部坐标内并按标准化、规格化的数值积分方法对单元单刚进行积分。分方法对单元单刚进行积分。局部局部坐坐标标4.3.2 两个坐标系内两个坐标系内导数导数、面积微元面积微元间的变换关系间的变换关系1.导数之间的变换导数之间的变换J J 称为称为Jacobi矩阵，矩阵，这样一来，这样一来，Ni对于对于x，y的的偏导数可用节点偏导数可用节点坐标显式坐标显式地表示为地表示为J J可以显式地表示为节点坐标的函数可以显式地表示为节点坐标的函数Ni对于对于x，y的偏导数？
16、的偏导数？2.面积微元的变换面积微元的变换3.线段微元的变换线段微元的变换4.3.2 两个坐标系内两个坐标系内导数导数、面积微元面积微元间的变换关系间的变换关系4.单元刚度矩阵的积分变换单元刚度矩阵的积分变换4.3.2 两个坐标系内两个坐标系内导数导数、面积微元面积微元间的变换关系间的变换关系4.3.3 等参变换的条件等参变换的条件 从微积分学知识已知，两个坐标之间一对一变换的条件是从微积分学知识已知，两个坐标之间一对一变换的条件是Jacobi行列式行列式|J|不得为不得为0,等参变换作为一种坐标变换也必须服从此等参变换作为一种坐标变换也必须服从此条件。条件。如如|J|=0,|J|-1将不成立
17、，所以两个坐标之间偏导数的变换就不可将不成立，所以两个坐标之间偏导数的变换就不可能实现。能实现。如如|J|=0，则表明笛卡儿坐标中体积微元，则表明笛卡儿坐标中体积微元(或面积微元或面积微元)为为0,即即在自然坐标中的体积微元或面积微元对应笛卡儿坐标中的一个点，在自然坐标中的体积微元或面积微元对应笛卡儿坐标中的一个点，这种变换显然不是一一对应的。这种变换显然不是一一对应的。4.4 数值积分方法数值积分方法一维高斯积分：一维高斯积分：二维高斯积分：二维高斯积分：4.5 有限元的收敛性有限元的收敛性准则准则 在有限单元法中，场在有限单元法中，场(位移位移)函数的总体泛函是由单元泛函数的总体泛函是由单
18、元泛函集成的。如果采用函集成的。如果采用完全多项式完全多项式作为单元的插值函数作为单元的插值函数(即试即试探函数探函数)，则有限元解在一个有限尺寸的单元内可以精确地，则有限元解在一个有限尺寸的单元内可以精确地和真正解一致。和真正解一致。但是实际上有限元的试探函数只能取但是实际上有限元的试探函数只能取有限项多项式有限项多项式，因，因此有限元解只能是真正解的一个近似解答。此有限元解只能是真正解的一个近似解答。我们需要研究我们需要研究在什么条件下，当单元尺寸趋于零时，有在什么条件下，当单元尺寸趋于零时，有限元解趋于真正解。限元解趋于真正解。4.5 有限元的收敛性有限元的收敛性准则准则 如果出现在泛函
19、中场函数的最高阶导数是如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶，则有限阶，则有限元解收敛的条件之一是单元内场函数的试探函数至少是元解收敛的条件之一是单元内场函数的试探函数至少是m次次完全多项式。或者说试探函数中必须包括本身和直至完全多项式。或者说试探函数中必须包括本身和直至m阶导阶导数为常数的项。数为常数的项。收敛准则收敛准则1：完备性要求完备性要求完备性要求完备性要求。单元的插值函数满足上述要求时，我们称单元是完备的。单元的插值函数满足上述要求时，我们称单元是完备的。或者说试探函数中必须包括本身和直至或者说试探函数中必须包括本身和直至m阶导数为常数阶导数为常数的项。的项。4.5 有限元的收敛
20、性有限元的收敛性准则准则收敛准则收敛准则2：协调性要求协调性要求协调性要求协调性要求。当单元的插值函数满足上述要求时，我们称单元是协调当单元的插值函数满足上述要求时，我们称单元是协调的。的。简单地说，简单地说，当选取的单元当选取的单元当选取的单元当选取的单元既完备又协调既完备又协调既完备又协调既完备又协调时，有限时，有限时，有限时，有限元解是收敛的，即当单元尺寸趋于零时，有限元解元解是收敛的，即当单元尺寸趋于零时，有限元解元解是收敛的，即当单元尺寸趋于零时，有限元解元解是收敛的，即当单元尺寸趋于零时，有限元解趋于真正解。趋于真正解。趋于真正解。趋于真正解。我们称这种单元为协调单元。我们称这种单
21、元为协调单元。如果出现在泛函中的最高阶导数是如果出现在泛函中的最高阶导数是m阶，则试探函数在阶，则试探函数在单元交界面上必须具有单元交界面上必须具有Cm-1连续性，即在相邻单元的交界面连续性，即在相邻单元的交界面上应有函数直至上应有函数直至m-1阶的连续导数。阶的连续导数。为了从物理意义上加深对收敛准则的理解，我们以平面问为了从物理意义上加深对收敛准则的理解，我们以平面问题为例加以说明。题为例加以说明。收敛准则的物理意义收敛准则的物理意义 在平面问题中，泛函中出现的是位移在平面问题中，泛函中出现的是位移u和和v的一次导数，因的一次导数，因此此m=l。收敛准则。收敛准则I要求插值函数或位移函数至
22、少是要求插值函数或位移函数至少是x、y的一的一次完全多项式。次完全多项式。所以所以完备性完备性准则准则要求要求由插值函数所构成的有限元解必须能反由插值函数所构成的有限元解必须能反映单元的刚体位移和常应变状态。映单元的刚体位移和常应变状态。若不能满足上述要求，那么赋予结点以单元刚体位移若不能满足上述要求，那么赋予结点以单元刚体位移(零零应变应变)或常应变的位移值时，在单元内部将产生非零或非常值或常应变的位移值时，在单元内部将产生非零或非常值的应变，这样有限元解将不可能收敛于真正解。的应变，这样有限元解将不可能收敛于真正解。我们知道位移及其一阶导数为常数的项是代表与单元的刚体我们知道位移及其一阶导
23、数为常数的项是代表与单元的刚体位移和常应变状态相应的位移模式。位移和常应变状态相应的位移模式。对于平面问题，协调性要求是对于平面问题，协调性要求是C0连续性，即要求位移函连续性，即要求位移函数数x、y的零阶导数，也就是位移函数自身在单元交界面上的零阶导数，也就是位移函数自身在单元交界面上是连续的。是连续的。如果在单元交界面上位移不连续，将在交界面上引起无限如果在单元交界面上位移不连续，将在交界面上引起无限大的应变，大的应变，这时必须有发生于交界面上的附加应变能补充到系统的应这时必须有发生于交界面上的附加应变能补充到系统的应变能中去，而我们在建立泛函时，没有考虑这种情况，而变能中去，而我们在建立
24、泛函时，没有考虑这种情况，而只考虑了产生于各个单元内部的应变能。只考虑了产生于各个单元内部的应变能。因此，倘若边界上位移不连续，有限元解就不可能收敛于因此，倘若边界上位移不连续，有限元解就不可能收敛于真正解。真正解。思考题：请说明平面4节点等参单元的收敛性？4.6 轴对称问题及空间问题有限元轴对称问题及空间问题有限元4.6.1 轴对称问题有限元：轴对称问题有限元：4.6 轴对称问题及空间问题有限元轴对称问题及空间问题有限元4.6.1 轴对称问题有限元：轴对称问题有限元：请同学们自己证明请同学们自己证明i节点的节点的位移：位移：单元节点单元节点位移向量：位移向量：单元内部单元内部某点位移：某点位
25、移：i节点的节点的型函数：型函数：4.6.1 轴对称问题有限元：轴对称问题有限元：单元内部单元内部某点应变：某点应变：应变矩阵：应变矩阵：4.6.1 轴对称问题有限元：轴对称问题有限元：节点外力：节点外力：1、如果、如果 表示作用在圆周上的单位长度的表示作用在圆周上的单位长度的线载荷线载荷的径向分量，的径向分量，则相应的径向节点力则相应的径向节点力(此时，一个点代表一个圆周此时，一个点代表一个圆周)为：为：如果如果 表示作用在圆周上的单位长度的表示作用在圆周上的单位长度的线载荷线载荷的轴向分量，的轴向分量，则相应的轴向节点力则相应的轴向节点力(此时，一个点代表一个圆周此时，一个点代表一个圆周)
26、为：为：2、如果、如果 表示作用在圆周上的单位长度的表示作用在圆周上的单位长度的面载荷面载荷，(此时，一条线代表一个圆柱面此时，一条线代表一个圆柱面)则相应的节点力为：则相应的节点力为：3、如果、如果 表示作用在圆周上的单位长度的表示作用在圆周上的单位长度的体载荷体载荷，(此时，一个面代表一个圆环体此时，一个面代表一个圆环体)则相应的节点力为：则相应的节点力为：请同学们自己证明请同学们自己证明4.6.2 空间问题有限元：空间问题有限元：4.6 轴对称问题及空间问题有限元轴对称问题及空间问题有限元4.6.2 空间问题有限元：空间问题有限元：4.6 轴对称问题及空间问题有限元轴对称问题及空间问题有限元4.6.2 空间问题有限元：空间问题有限元：4.6 轴对称问题及空间问题有限元轴对称问题及空间问题有限元