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1、1材料力学材料力学课后习题讲解课后习题讲解2第五章第五章 弯曲应力弯曲应力3解：解：1.画弯矩图判断画弯矩图判断Mmax由平衡方程得由平衡方程得微分法画弯矩图微分法画弯矩图2.计算弯曲正应力计算弯曲正应力4解：解：1.画弯矩图画弯矩图由平衡方程得由平衡方程得利用弯矩方程画弯矩图利用弯矩方程画弯矩图2.计算最大弯曲正应力计算最大弯曲正应力5-5.图示简支梁，由图示简支梁，由 NO18 工字钢制成，在集度为工字钢制成，在集度为q的均匀载荷作用下测得横截的均匀载荷作用下测得横截面面C底边的纵向正应变底边的纵向正应变 ，试计算梁内的最大弯曲正应力，已知刚的弹，试计算梁内的最大弯曲正应力，已知刚的弹性模
2、量性模量E=200GPa，a=1m。5解：解：1.腹板上的弯曲切应力沿腹板高度呈抛物线分布，腹板上的弯曲切应力沿腹板高度呈抛物线分布，且且 在中性轴在中性轴y=0处最大：处最大：2.在腹板与翼缘的交接处在腹板与翼缘的交接处 最小：最小：5-8 梁截面如图所示，剪力梁截面如图所示，剪力Fs=300KN，试计算腹板上的最大，最小，试计算腹板上的最大，最小 弯曲弯曲切应力与平均切应力。切应力与平均切应力。63.计算平均切应力计算平均切应力由由7解解（1）1.画弯矩图画弯矩图由平衡方程，解得：由平衡方程，解得：微分法画弯矩图微分法画弯矩图2.根据强度要求确定根据强度要求确定 b8（2）校核安全校核安全
3、由于由于所以安全。所以安全。9解：解：1.计算截面形心及惯性矩计算截面形心及惯性矩 沿截面顶端建立坐标轴沿截面顶端建立坐标轴z，y轴不变。轴不变。2.画弯矩图画弯矩图由平衡方程得微分法画弯矩图弯矩图弯矩图103.3.判断危险点及校核强度判断危险点及校核强度由弯矩图知由弯矩图知B截面两端为危险截面截面两端为危险截面B-截面截面B+截面截面综上：综上：因此，梁的弯曲强度不符合要求因此，梁的弯曲强度不符合要求11解：解：1.计算计算yc，IZ2.确定确定F当当时时故故 时时12当当时时故故 时时弯矩图弯矩图综上：综上：13解：解：F直接作用时，弯矩图如下所示直接作用时，弯矩图如下所示F间接作用时，弯
4、矩图如下所示：间接作用时，弯矩图如下所示：联立解得：联立解得：所以辅助梁的最小长度所以辅助梁的最小长度a为为1.385m14解：由图分析知固定端截面解：由图分析知固定端截面A为危险截面为危险截面1.截面为矩形，确定截面为矩形，确定h，b由分析图及叠加原理可知：由分析图及叠加原理可知：d点有最大拉应力，点有最大拉应力，f点有最大压应力点有最大压应力其值均为：其值均为：由由解得解得故故152.截面为圆形，确定截面为圆形，确定d由分析图及叠加原理可知：由分析图及叠加原理可知：在在1,3区边缘某点分别有最大拉应力，最大压应力区边缘某点分别有最大拉应力，最大压应力其值均为：其值均为：由于由于得得所以所以
5、16解：解：1.绘制横截面上的正应力分布图绘制横截面上的正应力分布图 偏心拉伸问题，正应力沿截面高度线性分布偏心拉伸问题，正应力沿截面高度线性分布正应力分布图：正应力分布图：2.求求F和和e将将F平移至杆轴则平移至杆轴则FN=F，M=Fe解得：解得：F=18.38KN e=1.785mm5-29 图示矩形截面木榫头，承受拉力图示矩形截面木榫头，承受拉力F=50kN作用。在顺纹方向，木材的许作用。在顺纹方向，木材的许用挤压应力用挤压应力bsbs=10 MPa，许用切应力，许用切应力=1MPa，许用拉应力，许用拉应力t=6 MPa，许用压应力许用压应力c=10MPa，试确定接头尺寸，试确定接头尺寸
6、a，l与与c。解：解：1 1、根据剪切强度、根据剪切强度;解出解出:2、根据挤压强度、根据挤压强度;解出解出:3、根据偏心拉伸强度、根据偏心拉伸强度;175-29 图示矩形截面木榫头，承受拉力图示矩形截面木榫头，承受拉力F=50kN作用。在顺纹方向，木材的许作用。在顺纹方向，木材的许用挤压应力用挤压应力bsbs=10 MPa，许用切应力，许用切应力=1MPa，许用拉应力，许用拉应力t=6 MPa，许用压应力许用压应力c=10MPa，试确定接头尺寸，试确定接头尺寸a，l与与c。3、根据偏心拉伸强度、根据偏心拉伸强度(续续);得到得到:6c2-800c-12000=0 解出解出:c1=146.9,
7、c2=-13.6 结论结论:c=146.9mm1819第六章第六章 弯曲变形弯曲变形20附录附录E解：解：1.建立挠曲轴近似微分方程并积分建立挠曲轴近似微分方程并积分由对称条件可知由对称条件可知梁的弯曲方程为梁的弯曲方程为代入代入得得积分，依次得积分，依次得(1)212.确定积分常数，建立转角与挠度方程确定积分常数，建立转角与挠度方程A,B为铰支座，故梁的位移边界条件为为铰支座，故梁的位移边界条件为(2)联立联立(1),(2)解得解得因此因此（3）3.绘制挠曲轴略图并计算绘制挠曲轴略图并计算wmax，弯矩图弯矩图（+）挠曲轴略图挠曲轴略图（-）令令得得所以所以由式（由式（3）知）知22解：解：
8、1.建立挠曲轴近似微分方程并积分建立挠曲轴近似微分方程并积分根据梁的平衡方程解得根据梁的平衡方程解得梁的弯曲方程为梁的弯曲方程为代入代入得得积分，依次得积分，依次得(1)232.确定积分常数，建立转角与挠度方程确定积分常数，建立转角与挠度方程A,B为铰支座，故梁的位移边界条件为为铰支座，故梁的位移边界条件为(2)联立联立(1),(2)解得解得因此因此（3）3.绘制挠曲轴略图并计算绘制挠曲轴略图并计算wmax，弯矩图弯矩图（-）挠曲轴略图挠曲轴略图（-）令令得得所以所以由式（由式（3）知）知24解：解：1.建立挠曲轴近似微分方程并积分建立挠曲轴近似微分方程并积分根据梁的平衡方程解得根据梁的平衡方
9、程解得(1)10由于由于AC与与CB段弯矩方程不同，因此，挠曲轴近似微分方程段弯矩方程不同，因此，挠曲轴近似微分方程应分段建立，并分别积分应分段建立，并分别积分AC段段CB段段(2)252.确定积分常数，建立转角与挠度方程确定积分常数，建立转角与挠度方程A,B为铰支座，故梁的位移边界条件为为铰支座，故梁的位移边界条件为(3)联立（联立（1）（）（2）（）（3）（）（4）解得）解得因此因此位移连续条件：在位移连续条件：在x1=x2处处(4)(5)263.绘制挠曲轴略图并计算绘制挠曲轴略图并计算挠曲轴略图挠曲轴略图令令得得由式（由式（5）知）知弯矩图弯矩图（-）a令令得得2710解：解：1.建立挠
10、曲轴近似微分方程并积分建立挠曲轴近似微分方程并积分根据梁的平衡方程解得根据梁的平衡方程解得得到弯矩方程为：得到弯矩方程为：奇异函数法奇异函数法28又又A,B为铰支座，故梁的位移边界条件为为铰支座，故梁的位移边界条件为从而可以得到：从而可以得到：D=0;所以：所以：293.绘制挠曲轴略图并计算绘制挠曲轴略图并计算令令得得由式（由式（5）知）知令令得得30 积分常数积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续条由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。件确定。位移边界条件位移边界条件光滑连续条件光滑连续条件 弹簧变形弹簧变形知识点回顾知识点回顾31梁的弯曲方程为梁的弯曲方程为A,B为铰支座，则满足为铰
11、支座，则满足2.利用积分法计算梁的最大挠度与最大转角利用积分法计算梁的最大挠度与最大转角当当当当解：解：1.画挠曲轴的大致形状画挠曲轴的大致形状由对称条件可知：由对称条件可知：32解解（C）1.建立位移边界条件与连续条件建立位移边界条件与连续条件由图知：弯矩方程必须按梁段由图知：弯矩方程必须按梁段AB，BC分段建立。因此，挠曲轴近似微分方程也分段建立。分段建立。因此，挠曲轴近似微分方程也分段建立。位移边界条件：在位移边界条件：在x=0处，处，w=0；位移连续条件：位移连续条件：处：处：2.绘制挠曲轴的大致形状绘制挠曲轴的大致形状由弯矩图知由弯矩图知AB，AC段弯矩均为负，段弯矩均为负，则挠曲轴
12、为凸曲线。结合边界条件则挠曲轴为凸曲线。结合边界条件与连续条件。挠曲轴大致形状为：与连续条件。挠曲轴大致形状为：在在33（d）解解1.建立位移边界条件与连续条件建立位移边界条件与连续条件由图知：弯矩方程必须按梁段由图知：弯矩方程必须按梁段AC，CB分段建立。因此，挠曲轴近似微分方程也分段建立。分段建立。因此，挠曲轴近似微分方程也分段建立。位移边界条件：在位移边界条件：在x1=0处，处，wA=0；在；在x2=L 处，处，wB=0；位移连续条件：在位移连续条件：在处；处；2.绘制挠曲轴的大致形状绘制挠曲轴的大致形状梁梁AC与与CB经铰链连接而成，经铰链连接而成，AC，CB受力如图受力如图由由则则3
13、4微分法画弯矩图微分法画弯矩图由弯矩图知由弯矩图知:AC段弯矩为正，则相应挠曲轴为凹曲线段弯矩为正，则相应挠曲轴为凹曲线CB段弯矩为负，则相应挠曲轴为凸曲线段弯矩为负，则相应挠曲轴为凸曲线结合边界条件，挠曲轴的大致形状为：结合边界条件，挠曲轴的大致形状为：弯矩图弯矩图挠曲轴大致形状挠曲轴大致形状35分析分析：欲使载荷在移动时始终保持：欲使载荷在移动时始终保持相同高度则载荷产生的挠度与梁的相同高度则载荷产生的挠度与梁的弯曲大小相同、方向相反弯曲大小相同、方向相反解：设梁的形状函数为解：设梁的形状函数为，F对梁的对梁的F作用点产生的挠度为作用点产生的挠度为由图及附录由图及附录E-1 可知可知所以梁
14、的形状函数为所以梁的形状函数为又又F36解：梁解：梁AC，CB的受力分别如图所示的受力分别如图所示由由对对CB段段，由叠加法和附录，由叠加法和附录E（当只有（当只有Fcy作用作用时，为附录时，为附录E1；当只有均布载荷作用时，为；当只有均布载荷作用时，为附录附录E3，由叠加法可知在，由叠加法可知在C截面的挠度为两截面的挠度为两者之和）可知：者之和）可知：对对AC段段，只有，只有Fcy作用时，挠度曲线为直线，作用时，挠度曲线为直线，只有只有F作用时，与附录作用时，与附录E6相同，相同，由叠加法可知：由叠加法可知：371、分析、分析 整个钢架可看成是由悬臂梁整个钢架可看成是由悬臂梁AB与固与固 定
15、在截面定在截面B的悬臂梁的悬臂梁BC所组成。所组成。2、位移计算、位移计算悬臂梁悬臂梁CB的受力如图（的受力如图（a)所示，其变所示，其变形如图形如图(b)所示。则由附录所示。则由附录E4可知，截可知，截面面B的转角与水平位移分别为：的转角与水平位移分别为：（a)由于截面由于截面B的移动，悬臂的移动，悬臂BA的轴线也会的轴线也会发生位移至发生位移至 ，由此引起截面，由此引起截面A的的铅垂位移为：铅垂位移为：(b)Ax38F对对A截面使其变形至截面使其变形至 由附录由附录E1可知可知F对对A截面的挠度为：截面的挠度为：由上可知，由上可知，A截面的水平位移：截面的水平位移：A截面的竖直位移：截面的
16、竖直位移：Ax396-18.图示悬臂梁，承受均布载荷图示悬臂梁，承受均布载荷q与集中载荷与集中载荷ql作用，试计算梁端作用，试计算梁端的挠度及其方向，材料的弹性模量的挠度及其方向，材料的弹性模量E为已知。为已知。解：解：1.分挠度计算分挠度计算 均布载荷均布载荷q单独作用时（单独作用时（附录附录E3)：集中载荷集中载荷ql单独作用时（单独作用时（附录附录E1)：2.梁端的挠度及其方向梁端的挠度及其方向由图示截面知：由图示截面知：40解解:（以支座（以支座A为多余约束）为多余约束）1.求解静不定梁求解静不定梁该梁为一度静不定，如果以支座该梁为一度静不定，如果以支座A为多余约为多余约束，束，FAy
17、为多余支反力。则相当系统如图如为多余支反力。则相当系统如图如图所示，变形协调方程为图所示，变形协调方程为wA=0.仅有仅有FAy作用时：作用时：仅有均匀载荷仅有均匀载荷q作用时：作用时：由由由边界条件由边界条件B=0，C=0，可知，可知412.画剪力与弯矩图画剪力与弯矩图由平衡方程，解得：由平衡方程，解得：求剪力与弯矩方程：求剪力与弯矩方程：AB段段BC段段42解：解：1、根据支反力与有效平衡方程的数目，根据支反力与有效平衡方程的数目，判定断梁的静不定度：判定断梁的静不定度：2、解除多余约束，并以相应的支反力代替其作用，得原解除多余约束，并以相应的支反力代替其作用，得原静不定梁的相当系统：静不
18、定梁的相当系统：将将B作为多与约束，则用作为多与约束，则用Fby代替代替其作用，得图其作用，得图1为原静不定梁的为原静不定梁的相当系统相当系统qACBFBy图图1以支座以支座B为多余约束力为多余约束力两个平衡方程，三个未知力，所以静不定度为两个平衡方程，三个未知力，所以静不定度为1433、计算图计算图1中中B点的位移点的位移wB，并由变形协调方程，并由变形协调方程wB=0，可得到，可得到支反力支反力BACq/2ACq/2B图图3图图4求求B截面的挠度方程：截面的挠度方程：qACB图图2当只有均布载荷作用时当只有均布载荷作用时：将图：将图2分解为图分解为图3和图和图4两种形式的叠加两种形式的叠加
19、对图对图3，对称对称,转角为转角为0，且由附，且由附E8可知可知44ABq/2C图图4对图对图4，反对称反对称,挠度为挠度为0 (弯矩弯矩为为0,拐点拐点)Bq/2由由A得得BACFBy当只有当只有Fby作用时：作用时：由附录由附录E6可知：可知：结合结合、可知：可知：又变形协调方程又变形协调方程wB=0，即，即负号表示其方向与所设的方向相反负号表示其方向与所设的方向相反45由：平衡方程由：平衡方程及及可得：可得：所以可求得剪力与弯矩方程：所以可求得剪力与弯矩方程：AB段段BC段段46若以支座若以支座C为多余约束为多余约束同样由叠加法可得到各支反力，分解同样由叠加法可得到各支反力，分解之后为书
20、本之后为书本181页图页图6-12对应的例题及对应的例题及习题习题6-2（b）两题的叠加）两题的叠加比较可知，以支座比较可知，以支座A为多余约束力计算最简便为多余约束力计算最简便47解解:1.求解静不定梁求解静不定梁该梁为一度静不定，如果以铰链该梁为一度静不定，如果以铰链 B 为多余约束，为多余约束，FBy为多余支反力。为多余支反力。则相当系统如图如图所示，变形协调方程为则相当系统如图如图所示，变形协调方程为 wB-=wB+由于由于 wB-=wB+2.计算支反力计算支反力由平衡方程得：由平衡方程得：48解：解：1.强度要求强度要求梁的强度条件为梁的强度条件为2.刚度要求刚度要求当仅有当仅有M1作用时，由附录作用时，由附录E-10(a=0，b=l)则则当仅有当仅有M2作用时，由附录作用时，由附录E-9，则，则所以所以梁的最大弯矩梁的最大弯矩49当当时时梁的刚度条件为梁的刚度条件为3.工字钢选择工字钢选择有附表查得有附表查得工字钢工字钢可见，应选择可见，应选择 型号工字钢型号工字钢工字钢工字钢