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1、 一个人若怀疑数学的极端可靠性，他就一个人若怀疑数学的极端可靠性，他就会陷入混乱之中，会陷入混乱之中，人类的一切探讨活动人类的一切探讨活动如果缺少数学上的说明和论证，那就不能称如果缺少数学上的说明和论证，那就不能称之为科学。之为科学。达达芬奇芬奇 宇宙这本书是用数学语言写成的。宇宙这本书是用数学语言写成的。伽利略伽利略第八讲第八讲 新数学的诞生新数学的诞生一、代数学的新生一、代数学的新生二、几何学的变革二、几何学的变革三、微积分的创立三、微积分的创立一、代数学的新生一、代数学的新生1、近代代数学的进展、近代代数学的进展2、代数方程的可解性、代数方程的可解性3、群的发现、群的发现1、近代代数学的
2、进展、近代代数学的进展一、代数学的新生一、代数学的新生al-Kitab al-mukhta sar fi hisab al-jabr wal-muqabala 还原与对消计算概要还原与对消计算概要（约约 820）Mohammed ibn Musa al-Khowarizmi,783-850al-jabralgebra探讨了算术问题的探讨了算术问题的一般性解法一般性解法1、近代代数学的进展、近代代数学的进展一、代数学的新生一、代数学的新生F.Vieta,1540-1603韦韦达达把把符符号号性性代代数数称称作作“类类的的算算术术”，同同时时规规定定了了算算术术与与代代数数的的分分界界，认认为为代
3、代数数运运算算施施行行于于事事物物的的类类或或形形式式，算算术术运运算算仅仅施施行行于于具具体体的的数数。这这就就使使代代数数成成为为研研究究一一般般类类型型的的形形式式和和方方程程的的学学问问，因因其其抽抽象象而应用更为广泛。而应用更为广泛。缺点：齐性原则缺点：齐性原则1、近代代数学的进展、近代代数学的进展一、代数学的新生一、代数学的新生基本问题基本问题：如何求解三次和四次代数方程的根：如何求解三次和四次代数方程的根(1515,S.Ferro)x3+px=q (p,q 0)Tartaglia,1499-1557Niccolo Fontanax3+px2=q (p,q 0)A.M.Fior15
4、351、近代代数学的进展、近代代数学的进展一、代数学的新生一、代数学的新生G.Cardano,1501-1576Ars Magna 大法大法1545年年包含三次方程包含三次方程和四次方程的和四次方程的代数解法代数解法根的个数根的个数一、代数学的新生一、代数学的新生1、近代代数学的进展、近代代数学的进展2、代数方程的可解性、代数方程的可解性3、群的发现、群的发现2、代数方程的可解性、代数方程的可解性一、代数学的新生一、代数学的新生 18 18世纪后半叶，数学内部悄悄积累的矛盾世纪后半叶，数学内部悄悄积累的矛盾已经开始酝酿新的变革。当时数学家们面临一已经开始酝酿新的变革。当时数学家们面临一系列数学
5、发展里程中自身提出的、长期悬而未系列数学发展里程中自身提出的、长期悬而未决的问题，其中最突出的是：决的问题，其中最突出的是：高于四次的代数方程的根式求解问题；高于四次的代数方程的根式求解问题；欧几里得几何中平行公理的证明问题；欧几里得几何中平行公理的证明问题；微积分算法的逻辑基础问题。微积分算法的逻辑基础问题。2、代数方程的可解性、代数方程的可解性一、代数学的新生一、代数学的新生 中中世世纪纪的的阿阿拉拉伯伯数数学学家家把把代代数数学学看看成成是是解解代代数数方方程程的的学学问问，他他们们系系统统地地解解决决了了二二次次方方程程的的求求根根问问题题；文文艺艺复复兴兴时时期期的的欧欧洲洲数数学学
6、家家们们继继承承了了这这一一传传统统，但但又又有有所所突突破破。他他们们成成功功地地解解决决了了三三次次和和四四次次代代数数方方程程的的求求根根问问题题，并并将将符符号与数字的运算统一起来，创立了类的算术。号与数字的运算统一起来，创立了类的算术。基本问题：基本问题：五次或更高次的代数方程的根式解。五次或更高次的代数方程的根式解。即在即在n 5时，对于形如时，对于形如xn+a1xn1+a n1x+an=0的代数方程，它的解能否通过只对方程的系数的代数方程，它的解能否通过只对方程的系数作加、减、乘、除和求正整数次方根等运算的作加、减、乘、除和求正整数次方根等运算的公式得到。公式得到。2、代数方程的
7、可解性、代数方程的可解性一、代数学的新生一、代数学的新生J.L.Lagrange1736-1813 1770年：年：关于代数方程解的思考关于代数方程解的思考不可能用根式解不可能用根式解四次以上的方程四次以上的方程2、代数方程的可解性、代数方程的可解性一、代数学的新生一、代数学的新生N.H.Abel,1802-1829 1824年年:论代数方程，论代数方程，证明一般五次方程的证明一般五次方程的 不可解性不可解性 方程次数大于方程次数大于等于五时，任何以等于五时，任何以其系数符号组成的其系数符号组成的根式都不可能表示根式都不可能表示方程的一般解。方程的一般解。阿贝尔方程阿贝尔方程一、代数学的新生一
8、、代数学的新生1、近代代数学的进展、近代代数学的进展2、代数方程的可解性、代数方程的可解性3、群的发现、群的发现3、群的发现、群的发现一、代数学的新生一、代数学的新生基本问题：基本问题：什么样的特殊方程能够用根式来求解？什么样的特殊方程能够用根式来求解？E.Galois,1811-1832 置换群置换群伽罗瓦群伽罗瓦群伽罗瓦证明了：伽罗瓦证明了：当且仅当方程的群满当且仅当方程的群满足一定条件（即它是足一定条件（即它是可解群）时，方程才可解群）时，方程才是根式可解的。是根式可解的。也就是说，他找到了也就是说，他找到了方程根式可解的充分方程根式可解的充分必要条件。必要条件。3、群的发现、群的发现一
9、、代数学的新生一、代数学的新生伽伽罗罗瓦瓦关关于于群群的的发发现现工工作作，可可以以看看成成是是近近世世代代数数的的发发端端。这这不不只只是是因因为为它它解解决决了了方方程程根根式式可可解解性性这这样样一一个个难难题题，更更重重要要的的是是群群的的概概念念的的引引进进导导致致了了代代数数学学在在对对象象、内内容容和方法上的深刻变革。和方法上的深刻变革。群群可可以以理理解解为为一一类类对对象象的的集集合合，这这些些对对象象之之间间存存在在着着类类似似于于加加法法或或乘乘法法那那样样的的二二元元运运算算关关系系，这这种种运运算算使使得得该该集集合合满满足足封封闭闭性性、结结合合性性，并并在在其其中
10、中存存在在着着单单位位元元和逆元素。和逆元素。群群概概念念的的划划时时代代意意义义在在于于：代代数数学学由由于于群群的的概概念念的的引引进进和和发发展展而而获获得得了了新新生生，它它不不再再仅仅仅仅是是研研究究代代数数方方程程，而而更更多多地地是是研研究究各各种种抽抽象象“对对象象”的的运运算算关关系系，一一方方面面，数数的的概概念念有有了了极极大大推推广广，另另一一方方面面，许许多多抽抽象象的的对对象象，在更高层次上与数的概念获得了统一。在更高层次上与数的概念获得了统一。二、几何学的变革二、几何学的变革1、近代几何学的进展、近代几何学的进展2、非欧几何学的诞生、非欧几何学的诞生3、射影几何学
11、的繁荣、射影几何学的繁荣4、几何学的统一、几何学的统一1、近代几何学的进展、近代几何学的进展二、几何学的变革二、几何学的变革基本问题：基本问题：其一是，一个物体的同一投影的两个截影有什其一是，一个物体的同一投影的两个截影有什么共同的性质？其二是，若两物体在各自相异的光源下具么共同的性质？其二是，若两物体在各自相异的光源下具有相同物影，那么这两个物体之间具有什么关系？有相同物影，那么这两个物体之间具有什么关系？G.Desargues,1591-1661 1639年年：试论锥面截一平面试论锥面截一平面 所得结果的初稿所得结果的初稿 对平行线引入无穷远点的概念，对平行线引入无穷远点的概念，继而获得无
12、穷远线的概念继而获得无穷远线的概念；认识到了对合、调和点组关系认识到了对合、调和点组关系在投影变换下具有不变性；在投影变换下具有不变性；通过投影和截影这种新的证明通过投影和截影这种新的证明方法，统一处理了不同类型的方法，统一处理了不同类型的圆锥曲线。圆锥曲线。1、近代几何学的进展、近代几何学的进展二、几何学的变革二、几何学的变革 德沙格等人把他们使用的投影分析方法和所获得的德沙格等人把他们使用的投影分析方法和所获得的结果，仍旧视为欧几里得几何的一部分。因而在结果，仍旧视为欧几里得几何的一部分。因而在1717世纪世纪人们对这二种几何学并不加任何区分。人们对这二种几何学并不加任何区分。但但现现在在
13、的的我我们们，通通过过历历史史的的眼眼光光回回溯溯，便便会会很很容容易易地地发发现现，当当时时由由于于这这一一方方法法而而诱诱发发了了一一些些新新的的思思想想和和观观点。那就是点。那就是:一个数学对象从一个形状连续变化到另一形状；一个数学对象从一个形状连续变化到另一形状；变换与变换不变性；变换与变换不变性；仅关心几何图形的相交与结构关系仅关心几何图形的相交与结构关系,不涉及度量问题。不涉及度量问题。1、近代几何学的进展、近代几何学的进展二、几何学的变革二、几何学的变革解析几何解析几何 的的基基本本思思想想是是在在平平面面上上引引进进所所谓谓坐坐标标的的概概念念，并并借借助助这这种种坐坐标标在在
14、平平面面上上的的点点和和有有序序实实数数对对之之间间建建立立一一一一对对应应关关系系。以以此此方方式式可可以以将将一一个个代代数数方方程程与与一一条条平平面面曲曲线线对对应应起起来来，于于是是几几何何问问题题便便可可归归结结为为代代数数问问题题，并并反反过过来来通通过过代代数数问问题题的的研研究究发发现新的几何结果。现新的几何结果。R.Descartes,1596-16501、近代几何学的进展、近代几何学的进展二、几何学的变革二、几何学的变革1637年年:方法论方法论 几何学几何学 在实际上建立起了历史在实际上建立起了历史上第一个倾斜坐标系。上第一个倾斜坐标系。在笛卡尔那里，在笛卡尔那里，几何
15、与代数达到了几何与代数达到了完美的统一。完美的统一。R.Descartes,1596-16501、近代几何学的进展、近代几何学的进展二、几何学的变革二、几何学的变革P.de Fermat1601-16651629 年：年：论平面和立体的论平面和立体的 轨迹引论轨迹引论二、几何学的变革二、几何学的变革1、近代几何学的进展、近代几何学的进展2、非欧几何学的诞生、非欧几何学的诞生3、射影几何学的繁荣、射影几何学的繁荣4、几何学的统一、几何学的统一2、非欧几何的诞生、非欧几何的诞生二、几何学的变革二、几何学的变革 直直到到1818世世纪纪末末，几几何何领领域域仍仍然然是是欧欧几几里里得得一一统统天天下
16、下。解解析析几几何何改改变变了了几几何何研研究究的的方方法法，但但没没有有从从实实质质上上改改变变欧欧几几里里得得几几何何本本身身的的内内容容。解解析析方方法法的的运运用用虽虽然然在在相相当当长长的的时时间间内内冲冲淡淡了了人人们们对对综综合合几几何何的的兴兴趣趣，但但欧欧几几里里得得几几何何作作为为数学严格性的典范始终保持着神圣的地位。数学严格性的典范始终保持着神圣的地位。欧几里得平行公设欧几里得平行公设？“几何原理中的家丑几何原理中的家丑”达朗贝尔达朗贝尔2、非欧几何的诞生、非欧几何的诞生二、几何学的变革二、几何学的变革1733年，萨凯里：欧几里得无懈可击年，萨凯里：欧几里得无懈可击萨凯里
17、四边形萨凯里四边形锐角？直角？钝角？锐角？直角？钝角？锐角？三角形内角之和小于两直角；过给定直线外一锐角？三角形内角之和小于两直角；过给定直线外一给定点，有无穷多条直线不与该给定直线相交；等等给定点，有无穷多条直线不与该给定直线相交；等等 无逻辑矛盾，但不合乎情理。无逻辑矛盾，但不合乎情理。2、非欧几何的诞生、非欧几何的诞生二、几何学的变革二、几何学的变革1763年年,克克吕吕格格尔尔在在其其博博士士论论文文中中首首先先指指出出萨萨凯凯里里的的工工作作实实际际上上并并未未导导出出矛矛盾盾,只只是是得得到到了了似似乎乎与与经经验验不不符符的的结论结论.开始怀疑平行公设能否由其他公理加以证明开始怀
18、疑平行公设能否由其他公理加以证明.1766年，兰伯特年，兰伯特:平行线理论平行线理论兰伯特四边形兰伯特四边形锐角？直角？钝角锐角？直角？钝角？兰兰伯伯特特并并不不认认为为锐锐角角假假设设导导出出的的结结论论是是矛矛盾盾，而而且且他他认认识识到到一一组组假假设设如如果果不不引引起起矛矛盾盾的的话话，就就提提供供了了一一种种可可能能的的几几何何。因因此此，兰兰伯伯特特最最先先指指出出了了通通过过替替换换平平行行公设而展开新的无矛盾的几何学的道路。公设而展开新的无矛盾的几何学的道路。2、非欧几何的诞生、非欧几何的诞生二、几何学的变革二、几何学的变革C.F.Gauss,1777-1855高高斯斯从从1
19、799年年开开始始意意识识到到平平行行公公设设不不能能从从其其他他的的欧欧几几里里得得公公理理推推出出来来，并并从从1813年年起起发发展展了了这这种种平平行行公公设设在在其其中中不不成成立立的的新新几几何何。他他起起先先称称之之为为“反反欧欧几几里里得得几几何何”，最最后后改改称称为为“非非欧欧几几里里得得几几何何”，所所以以“非非欧欧几几何何”这这个个名名称正是来自高斯。称正是来自高斯。2、非欧几何的诞生、非欧几何的诞生二、几何学的变革二、几何学的变革J.Bolyai1802-1860 1832年年2月月14日，日，绝绝对对空空间间的的科科学学 其其中中论论述述的的所所谓谓“绝绝对对几几何
20、何”就就是是非非欧几何。欧几何。F.Bolyai1775-18562、非欧几何的诞生、非欧几何的诞生二、几何学的变革二、几何学的变革1826年年在在喀喀山山大大学学发发表表了了简简要要论论述述平平行行线线定定理理的的一一个个严严格格证证明明的的演演讲讲，报报告告了了自自己己关关于于非欧几何的发现非欧几何的发现;1829年年发发表表了了题题为为论论几几何何原原理理的的论论文文，这这是是历历史史上上第第一一篇篇公公开开发发表表的的非非欧欧几几何何文文献献，但但由由于于是是用用俄俄文文刊刊登登在在喀喀山山通通讯讯上上而而未未引引起数学界的注意。起数学界的注意。.1792-18562、非欧几何的诞生、
21、非欧几何的诞生二、几何学的变革二、几何学的变革 罗巴切夫斯基非欧几何的基本思想与高斯、波约是罗巴切夫斯基非欧几何的基本思想与高斯、波约是一致的，即用与欧几里得第五公设相反的断言：一致的，即用与欧几里得第五公设相反的断言：通过直线外一点，可以引不止一条而至少是两条直通过直线外一点，可以引不止一条而至少是两条直线与已知直线不相交。线与已知直线不相交。作为替代公设，由此出发进行逻辑推导而得出一连串新作为替代公设，由此出发进行逻辑推导而得出一连串新几何学的定理。几何学的定理。罗巴切夫斯基明确指出，这些定理并不包含矛盾，因而罗巴切夫斯基明确指出，这些定理并不包含矛盾，因而它的总体就形成了一个逻辑上可能的
22、、无矛盾的理论，它的总体就形成了一个逻辑上可能的、无矛盾的理论，这个理论就是一种新的几何学这个理论就是一种新的几何学-非欧几里得几何学。非欧几里得几何学。欧几里得几何学在这里仅成了罗巴切夫斯基几何的一个欧几里得几何学在这里仅成了罗巴切夫斯基几何的一个特例。特例。2、非欧几何的诞生、非欧几何的诞生二、几何学的变革二、几何学的变革 1854年，黎曼发表论文年，黎曼发表论文关于几何基础的假设关于几何基础的假设 B.Riemann,1826-1866 发展了罗巴切夫斯发展了罗巴切夫斯基等人的思想，并建立基等人的思想，并建立了一种更广泛的几何。了一种更广泛的几何。即现在所称的黎曼几何。即现在所称的黎曼几
23、何。罗巴切夫斯基几何以及罗巴切夫斯基几何以及欧几里得几何都只不过欧几里得几何都只不过是这种几何的特例。是这种几何的特例。黎曼的研究是以高黎曼的研究是以高斯关于曲面的内蕴微分斯关于曲面的内蕴微分几何为基础的。几何为基础的。2、非欧几何的诞生、非欧几何的诞生二、几何学的变革二、几何学的变革 在黎曼几何中，最重要的一种对象就是所在黎曼几何中，最重要的一种对象就是所谓的常曲率空间，对于三维空间，有以下三种谓的常曲率空间，对于三维空间，有以下三种情形：曲率为正常数；曲率为负常数；曲率恒情形：曲率为正常数；曲率为负常数；曲率恒等于零。黎曼指出后两种情形分别对应于罗巴等于零。黎曼指出后两种情形分别对应于罗巴
24、切夫斯基的非欧几何学和通常的欧几里得几何切夫斯基的非欧几何学和通常的欧几里得几何学，而第一种情形则是黎曼本人的创造，它对学，而第一种情形则是黎曼本人的创造，它对应于另一种非欧几何学。在这种几何中，过已应于另一种非欧几何学。在这种几何中，过已知直线外一点，不能作任何平行于已知直线的知直线外一点，不能作任何平行于已知直线的直线。这实际上是以前面提到的萨凯里等人的直线。这实际上是以前面提到的萨凯里等人的钝角假设为基础而展开的非欧几何学。钝角假设为基础而展开的非欧几何学。2、非欧几何的诞生、非欧几何的诞生二、几何学的变革二、几何学的变革 在黎曼之前，从萨凯里到罗巴切夫斯基，都认为钝在黎曼之前，从萨凯里
25、到罗巴切夫斯基，都认为钝角假设与直线可以无限延长的假定矛盾，因而取消了这角假设与直线可以无限延长的假定矛盾，因而取消了这个假设。但黎曼区分了个假设。但黎曼区分了“无限无限”与与“无界无界”这两个概念，这两个概念，认为直线可以无限延长并不意味着就其长短而言是无限认为直线可以无限延长并不意味着就其长短而言是无限的，只不过是说，它是无端的或无界的。的，只不过是说，它是无端的或无界的。在对无限与无界概念作了区分以后，人们在钝角假在对无限与无界概念作了区分以后，人们在钝角假设下也可像在锐角假设下一样，无矛盾地展开一种几何。设下也可像在锐角假设下一样，无矛盾地展开一种几何。这第二种非欧几何，也叫（正常曲率
26、曲面上的）黎曼几这第二种非欧几何，也叫（正常曲率曲面上的）黎曼几何。作为区别，数学史文献上就把罗巴切夫斯基发现的何。作为区别，数学史文献上就把罗巴切夫斯基发现的非欧几何叫作罗巴切夫斯基几何。普通球面上的几何就非欧几何叫作罗巴切夫斯基几何。普通球面上的几何就是黎曼非欧几何，其上的每个大圆可以看成是一条是黎曼非欧几何，其上的每个大圆可以看成是一条“直直线线”，容易看出，任意球面，容易看出，任意球面“直线直线”都不可能永不相交。都不可能永不相交。黎曼可以说是最先理解非欧几何全部意义的数学家。黎曼可以说是最先理解非欧几何全部意义的数学家。他创立的黎曼几何不仅是对已经出现的非欧几何的承认，他创立的黎曼几
27、何不仅是对已经出现的非欧几何的承认，而且显示了创造其他非欧几何的可能性。而且显示了创造其他非欧几何的可能性。2、非欧几何的诞生、非欧几何的诞生二、几何学的变革二、几何学的变革贝尔特拉米的模型：贝尔特拉米的模型：“伪球面伪球面”它由平面曳物线绕其渐近它由平面曳物线绕其渐近线旋转一周而得。线旋转一周而得。罗巴切夫斯基平面片罗巴切夫斯基平面片上的所有几何关系与适当上的所有几何关系与适当的的“伪球面伪球面”片上的几何片上的几何关系相符合。这使罗巴切关系相符合。这使罗巴切夫斯基几何立刻就有了现夫斯基几何立刻就有了现实意义。实意义。缺点：具有片段性。还没缺点：具有片段性。还没有解决全部罗巴切夫斯基有解决全
28、部罗巴切夫斯基几何的无矛盾性问题。几何的无矛盾性问题。2、非欧几何的诞生、非欧几何的诞生二、几何学的变革二、几何学的变革 克克莱莱因因的的几几何何模模型型：在在普普通通欧欧几几里里得得平平面面上上取取一一个个圆圆，并并且且只只考考虑虑整整个个圆圆的的内内部部。他他约约定定把把圆圆的的内内部部叫叫“平平面面”，圆圆的的弦弦叫叫“直直线线”（端端点点除除外外）。这这种种圆圆内内部部的的普普通通几几何何事事实实就就变变成成罗罗巴巴切切夫夫斯斯基基几几何何的的定定理理，而而且且反反过过来来，罗罗巴巴切切夫夫斯斯基基几几何何中中的的每每个个定定理理都都可可以以解解释释成成圆圆内内部的普通几何事实。部的普
29、通几何事实。庞庞加加莱莱也也对对罗罗巴巴切切夫夫斯斯基基几几何何给给出出了了一一个个欧欧几几里里得得模模型型。这这就就使使非非欧欧几几何何具具有有了了至至少少与与欧欧几几里里得得几几何何同同等等的的真真实实性性。因因为为我我们们可可以以设设想想，如如果果罗罗巴巴切切夫夫斯斯基基几几何何中中存存在在任任何何矛矛盾盾的的话话，那那么么这这种种矛矛盾盾也也必必然然会会在在欧欧几几里里得得几几何何中中表表现现出出来来，也也就就是是说说，只只要要欧欧几几里里得得几几何何没没有有矛矛盾盾，那那么么罗罗巴巴切切夫夫斯斯基基几几何何也也不不会会有有矛矛盾盾。至至此此，非非欧欧几何作为一种几何的合法地位才充分建
30、立起来。几何作为一种几何的合法地位才充分建立起来。二、几何学的变革二、几何学的变革1、近代几何学的进展、近代几何学的进展2、非欧几何学的诞生、非欧几何学的诞生3、射影几何学的繁荣、射影几何学的繁荣4、几何学的统一、几何学的统一3、射影几何的繁荣、射影几何的繁荣二、几何学的变革二、几何学的变革 非非欧欧几几何何揭揭示示了了空空间间的的弯弯曲曲性性质质，将将平平直直空空间间的的欧欧氏氏几几何何变变成成了了某某种种特特例例。实实际际上上，如如果果将将欧欧几几里里得得几几何何限限制制于于其其原原先先的的涵涵义义三三维维、平平直直、刚刚性性空空间间的的几几何何学学，那那么么，19世世纪纪的的几几何何学学
31、就就可可以以理理解解为为一一场场广广义义的的“非非欧欧化化”运运动动：从从三三维维到到高高维维，从从平平直直到到弯弯曲曲，而而射射影影几几何何的的发发展展又又从从另另一一个个方方向向使使“神神圣圣”的的欧欧几几里得几何再度里得几何再度“降格降格”为其他几何的特例。为其他几何的特例。3、射影几何的繁荣、射影几何的繁荣二、几何学的变革二、几何学的变革J-V.Poncelet1788-1867 1822年，庞斯列：年，庞斯列：论图形的射影性质论图形的射影性质 3、射影几何的繁荣、射影几何的繁荣二、几何学的变革二、几何学的变革基本问题：基本问题：图形在投射和截影下保持不变的性质。图形在投射和截影下保持
32、不变的性质。连续性原理连续性原理。它涉及通过投影或其他方法把某一。它涉及通过投影或其他方法把某一图形变换成另一图形的过程中的几何不变性。庞图形变换成另一图形的过程中的几何不变性。庞斯列将它发展到包括无穷远点的情形。斯列将它发展到包括无穷远点的情形。对偶原理对偶原理。射影几何的研究者们曾经注意到，。射影几何的研究者们曾经注意到，平面图形的平面图形的“点点”和和“线线”之间存在着异乎寻之间存在着异乎寻常的对称性。如果在它所涉及的定理中，将常的对称性。如果在它所涉及的定理中，将“点点”换成换成“线线”，同时将，同时将“线线”换成换成“点点”，那么就可以得到一个新的定理。那么就可以得到一个新的定理。3
33、、射影几何的繁荣、射影几何的繁荣二、几何学的变革二、几何学的变革在庞斯列用综合的方法在庞斯列用综合的方法为射影几何奠基的同时，为射影几何奠基的同时，德国数学家麦比乌斯和德国数学家麦比乌斯和普吕克开创了射影几何普吕克开创了射影几何研究的解析（或代数）研究的解析（或代数）途径。途径。麦比乌斯在重麦比乌斯在重心计算心计算(1827)(1827)一书中一书中第一次引时了齐次坐标，第一次引时了齐次坐标，这种坐标后被普吕克发这种坐标后被普吕克发展为更一般的形式，它展为更一般的形式，它实际上是对笛卡尔坐标实际上是对笛卡尔坐标的推广。齐次坐标成为的推广。齐次坐标成为代数地推导包括对偶原代数地推导包括对偶原理在
34、内许多射影几何基理在内许多射影几何基本结果的有效工具。本结果的有效工具。A.F.Mbius,1790-1868 3、射影几何的繁荣、射影几何的繁荣二、几何学的变革二、几何学的变革 1847年年，施施陶陶特特出出版版位位置置几几何何学学，提提出出方方案案，通通过过给给每每个个点点适适当当配配定定一一个个识识别别标标记记（也也称称坐坐标标）来来避避免免射射影影几几何何学学对对于于长长度度概概念念的的依依赖赖，使使之之摆摆脱脱了了度度量量关关系系，成成为为与与长长度度等等度度量量概概念念无无关的全新学科关的全新学科。K.G.C.von Staudt,1798-1867 3、射影几何的繁荣、射影几何的
35、繁荣二、几何学的变革二、几何学的变革 施施陶陶特特还还指指出出：射射影影几几何何的的概概念念在在逻逻辑辑上上要要先先于于欧欧几几里里得得几几何何概概念念，因因而而射射影影几几何何比比欧欧几几里里得几何更基本。得几何更基本。施施陶陶特特的的工工作作鼓鼓舞舞了了英英国国数数学学家家凯凯莱莱（A.Cayley,1821-1895）和和普普吕吕克克的的学学生生克克莱莱因因（F.Klein,1849-1925）进进一一步步在在射射影影几几何何概概念念基基础础上上建建立立欧欧几几里里得得几几何何乃乃至至非非欧欧几几何何的的度度量量性性质质，明明确确了了欧欧几几里里得得几几何何与与非非欧欧几几何何都都是是射
36、射影影几几何何的的特特例例，从从而而为为以以射射影影几几何何为为基基础础来来统统一一各各种种几几何何学辅平了道路。学辅平了道路。二、几何学的变革二、几何学的变革1、近代几何学的进展、近代几何学的进展2、非欧几何学的诞生、非欧几何学的诞生3、射影几何学的繁荣、射影几何学的繁荣4、几何学的统一、几何学的统一4、几何学的统一、几何学的统一二、几何学的变革二、几何学的变革非欧几何的创立不只是解决了两千年来一直悬而未决的非欧几何的创立不只是解决了两千年来一直悬而未决的平行公设问题，更重要的是它引起了关于几何观念和空平行公设问题，更重要的是它引起了关于几何观念和空间观念的最深刻的革命。间观念的最深刻的革命
37、。首先，非欧几何对于人们的空间观念产生了极其深远的首先，非欧几何对于人们的空间观念产生了极其深远的影响。在此之前，占统治地位的是欧几里得的绝对空间影响。在此之前，占统治地位的是欧几里得的绝对空间观念。非欧几何的创始人无一例外的都对这种传统观念观念。非欧几何的创始人无一例外的都对这种传统观念提出了挑战。提出了挑战。其次，非欧几何的出现打破了长期以来只有一种几何学其次，非欧几何的出现打破了长期以来只有一种几何学即欧几里得几何学的局面。即欧几里得几何学的局面。19世纪中叶以后，通过否定世纪中叶以后，通过否定欧几里得几何中这样或那样的公设、公理，产生了各种欧几里得几何中这样或那样的公设、公理，产生了各
38、种新而又新的几何学，新而又新的几何学，4、几何学的统一、几何学的统一二、几何学的变革二、几何学的变革F.Klein,1849-19251872年年:爱尔朗根纲领爱尔朗根纲领 几何学是研究几何几何学是研究几何图形对于某类变换群保图形对于某类变换群保持不变的性质的学问，持不变的性质的学问，任何一种几何学只是研任何一种几何学只是研究与特定的变换群有关究与特定的变换群有关的不变量。这样一来，的不变量。这样一来，不仅不仅19世纪涌现的几种世纪涌现的几种重要的、表面上互不相重要的、表面上互不相干的几何学被联系到一干的几何学被联系到一起，而且变换群的任何起，而且变换群的任何一种分类也对应于几何一种分类也对应
39、于几何学的一种分类。学的一种分类。4、几何学的统一、几何学的统一二、几何学的变革二、几何学的变革（欧几里得几何）（欧几里得几何）仿射几何仿射几何 其他仿射几何其他仿射几何 双曲几何双曲几何 射影几何射影几何 （罗巴切夫斯基几何）（罗巴切夫斯基几何）双重椭圆几何双重椭圆几何 （黎曼几何）（黎曼几何）单重椭圆几何单重椭圆几何抛物几何抛物几何 并非所有的几何都能纳入克莱因的方案，例如今天并非所有的几何都能纳入克莱因的方案，例如今天的代数几何和微分几何，然而克莱因的纲领的确能给大的代数几何和微分几何，然而克莱因的纲领的确能给大部分的几何提供一个系统的分类方法，对几何思想的发部分的几何提供一个系统的分类
40、方法，对几何思想的发展产生了持久的影响。展产生了持久的影响。4、几何学的统一、几何学的统一二、几何学的变革二、几何学的变革D.Hilbert,1862-1943公理化方法公理化方法 1899 1899年年:几何基础几何基础 是是从公理出发来建造从公理出发来建造各种几何。各种几何。希尔伯特在这希尔伯特在这方面的划时代贡献方面的划时代贡献在于，他比任何前在于，他比任何前人都更加透彻地弄人都更加透彻地弄清了公理系统的逻清了公理系统的逻辑结构与内在联系。辑结构与内在联系。4、几何学的统一、几何学的统一二、几何学的变革二、几何学的变革几何基础中提出的公理系统包括了几何基础中提出的公理系统包括了2020条
41、公理，希尔条公理，希尔伯特将它们划分为五组：伯特将它们划分为五组：关联公理、顺序公理、合同公理、平行公理、连续公理。关联公理、顺序公理、合同公理、平行公理、连续公理。在这样自然地划分公理之后，希尔伯特在历史上第一次在这样自然地划分公理之后，希尔伯特在历史上第一次明确地提出了选择和组织公理系统的原则，即明确地提出了选择和组织公理系统的原则，即相容性相容性:从系统的公理出发不能推出矛盾从系统的公理出发不能推出矛盾,亦称无矛盾性亦称无矛盾性;独立性独立性:系统的每条公理都不能是其余公理的逻辑推论系统的每条公理都不能是其余公理的逻辑推论;完备性完备性:系统中所有的定理都可由该系统的公理推出。系统中所有的定理都可由该系统的公理推出。在这样组织起来的公理系统中，通过否定或者替换其中在这样组织起来的公理系统中，通过否定或者替换其中的一条或几条公理，就可以得到相应的某种几何。的一条或几条公理，就可以得到相应的某种几何。这样的做法，不仅给出了已有几门非欧几何的统一处理，这样的做法，不仅给出了已有几门非欧几何的统一处理，而且还可以引出新的几何学。而且还可以引出新的几何学。