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1、数学史是研究数学发展规律的科学数学史是研究数学发展规律的科学 历史使人明智数学使人周密数学是“模式”的科学打开数学科学的历史画卷展示数学世界的风土人情第一章 国外数学历史发展概况国外数学史的五个发展时期国外数学史的五个发展时期：数学的萌芽时期数学的萌芽时期初等数学时期初等数学时期变量数学时期变量数学时期近代数学时期近代数学时期现代数学时期现代数学时期民族的特点民族的特点 影响数学发展的社会、人文的诸多影响数学发展的社会、人文的诸多因素因素 数学家的人格特征、历史的作用数学家的人格特征、历史的作用1.1 数学的萌芽时期（至公元前六、五世纪）1.1.1 1.1.1 巴比伦巴比伦(至公元前二世纪）的
2、数学至公元前二世纪）的数学 两河流域的“美索布达米亚”19世纪40年代考古学家发掘出巴比伦的古城 在算术和代数的成就“楔形”文字 泥版书（如图1.1）图图1.1 1.1 古巴比伦带有四边形和数字符号古巴比伦带有四边形和数字符号3030；1 1，2424，5151，1010；4242，2525，3535的泥版书的泥版书 1.1.2 1.1.2 古埃及的数学（至公元前古埃及的数学（至公元前332332年）年）纸草书纸草书 ：莫斯科纸草书（约公元前莫斯科纸草书（约公元前19001900年）年）莱因德纸草书（约公元前莱因德纸草书（约公元前17001700年）年）几何学几何学:金字塔金字塔 ，尼罗河与几
3、何的测量，尼罗河与几何的测量古印度是指南亚次大陆及其邻近的岛屿古印度是指南亚次大陆及其邻近的岛屿 文字大部分是写在棕榈树的叶子上或树皮上文字大部分是写在棕榈树的叶子上或树皮上数学伴随着占星术和宗教活动古印度的祭坛数学伴随着占星术和宗教活动古印度的祭坛2 264641 1粒：棋盘上的麦粒粒：棋盘上的麦粒 ，绕地球，绕地球70007000圈！圈！“河内塔河内塔”游戏游戏 ，5 5万亿年以上万亿年以上 ，世界的末日世界的末日 ！1.1.3 1.1.3 古印度的数学古印度的数学1.2.1.2.初等数学时期初等数学时期 1.2.1 1.2.1 古希腊数学（公元前古希腊数学（公元前6 6世纪至公元世纪至公
4、元6 6世纪）世纪）特殊的地理位置与文化特殊的地理位置与文化.社会制度社会制度（公元前6世纪至公元17世纪）哲学与数学：哲学与数学：泰勒斯泰勒斯 （约公元前（约公元前624-624-前前547547）“几何论证之父几何论证之父”毕德哥拉斯（约公元前毕德哥拉斯（约公元前580-580-前前460460）学派学派“万物皆数万物皆数”，“第一次数学危机第一次数学危机”德谟克利特（约公元前德谟克利特（约公元前460-460-前前370370）“原子论原子论”圆锥的体积公式，圆锥的体积公式，1717世纪世纪“不不 可分量理论可分量理论”芝诺（约公元前芝诺（约公元前490-490-前前425425）“阿基
5、里斯追不上乌龟阿基里斯追不上乌龟”的悖论的悖论,极限、极限、连续和无穷集合的概念连续和无穷集合的概念柏拉图（公元前柏拉图（公元前427-427-前前347347）把数学概念和现实）把数学概念和现实中相应的实体分开，柏拉图立体；中相应的实体分开，柏拉图立体；亚里士多德（公元前亚里士多德（公元前384-384-前前322322）的演绎推理的）的演绎推理的思想和方法，形式逻辑规则思想和方法，形式逻辑规则 ；阿基米德（约公元前阿基米德（约公元前287-287-前前212212力学研究与数学力学研究与数学研究相结合，浮力原理研究相结合，浮力原理“如果给我一个支点，我如果给我一个支点，我将移动地球将移动地
6、球”墓碑上刻着球内切于圆柱的图形墓碑上刻着球内切于圆柱的图形 亚历山大前期亚历山大前期欧几里得（约公元前欧几里得（约公元前330-330-前前275275）的几何原本）的几何原本科学史上第一门演绎科学科学史上第一门演绎科学“犹如初恋一般的迷犹如初恋一般的迷人人”“”“如果不曾为它的明晰如果不曾为它的明晰 性和可靠性所感动，性和可靠性所感动，那么他是不会成为一个科学家的那么他是不会成为一个科学家的”亚历山大后期亚历山大后期厄拉托塞（约公元前厄拉托塞（约公元前276-276-前前194 194）厄拉托塞筛法）厄拉托塞筛法 丢番图（约丢番图（约210-290210-290）“代数学的开山鼻祖代数学的
7、开山鼻祖”墓墓志铭：志铭：“上帝给予的童年是六分之一，又过十二上帝给予的童年是六分之一，又过十二分之一，两颊长胡，再过七分之一，点燃起结婚分之一，两颊长胡，再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，的蜡烛。五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进冰冷的墓。悲伤只有用享年仅及其父之半，便进冰冷的墓。悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他也走完人生的数论的研究去弥补，又过四年，他也走完人生的旅途旅途”1.2.2 1.2.2 阿拉伯数学（公元阿拉伯数学（公元9 9世纪至世纪至1313世纪）世纪）在阿拉伯帝国统治下、各民族人民共同创在阿拉伯帝国统治下、各民
8、族人民共同创造承前启后，继往开来的作用。造承前启后，继往开来的作用。1.2.3 1.2.3 中世纪印度数学（公元中世纪印度数学（公元5 5世纪至世纪至1212世纪）世纪）推进了算术和代数的进展推进了算术和代数的进展制定了现在世界上通用的数码及记数方法制定了现在世界上通用的数码及记数方法婆什迦罗（婆什迦罗（1114-11851114-1185）的丽罗娃提）的丽罗娃提黑暗的中世纪黑暗的中世纪吸收东方文化吸收东方文化十字军远征十字军远征文艺复兴运动文艺复兴运动 科学方法科学方法 ：演绎与实验（：演绎与实验（FF培根培根561-1626561-1626）代数的符号化：代数的符号化：塔塔利亚（塔塔利亚（
9、1499-15571499-1557）三次方程的求解）三次方程的求解 卡当（卡当（1501-1576 1501-1576）的大术）的大术 韦达（韦达（1540-16031540-1603）使代数学成为符号数学）使代数学成为符号数学1.2.4 西欧数学的复苏（公元十一世纪至十六世纪）1.3.1.3.变量数学时期变量数学时期(17(17世纪上半叶至世纪上半叶至1919世世纪纪2020年代年代)产生标志：产生标志：解析几何和微积分学解析几何和微积分学 科学技术蓬勃发展的推动下应运而生科学技术蓬勃发展的推动下应运而生1.3.1 1.3.1 变量数学产生的十七世纪变量数学产生的十七世纪解析几何的创立解析
10、几何的创立费马（费马（1601-16651601-1665）“业余数学家之王业余数学家之王”，研究阿波罗尼兹的圆锥曲线通过坐标建立了研究阿波罗尼兹的圆锥曲线通过坐标建立了代数方程和曲线联系，并利用方程来研究曲代数方程和曲线联系，并利用方程来研究曲线的性质。线的性质。笛卡尔（1596-1650）独特的读书方式 利用代数方法改变原本的证明方法“梅森科学院”的讨论 方法论的“附录”几何学（1637）通过哲学、自然科学的途径来研究数学 引出了变量和函数的概念。微积分的创立：为自然科学研究提供必要的微积分的创立：为自然科学研究提供必要的数学工具数学工具 伽利略（伽利略（1564-16421564-164
11、2）铜灯摆动周期与摆动的）铜灯摆动周期与摆动的弧的大小无关弧的大小无关 两块金属同时落地两块金属同时落地 开普勒（开普勒（1571-16301571-1630）行星运动的三条定律）行星运动的三条定律粗糙形式的积分学，函数的研究瓦里士等人的粗糙形式的积分学，函数的研究瓦里士等人的工作工作 微积分成为独立的学科微积分成为独立的学科牛顿（牛顿（1643-17271643-1727）万有引力的思想）万有引力的思想 ，广义二，广义二项式定理项式定理 微分和积分的思想哈雷彗星微分和积分的思想哈雷彗星 让普通让普通平凡的人们因为在他们中间出现过一个人杰而平凡的人们因为在他们中间出现过一个人杰而感到高兴吧！感
12、到高兴吧！莱布尼兹（莱布尼兹（1646-1716 1646-1716）外交官的生涯，外交官的生涯，系统的研究结果系统的研究结果1.3.2 1.3.2 高等数学迅速发展的高等数学迅速发展的1818世纪世纪 研究领域主要在数学分析方面，研究领域主要在数学分析方面，一批优一批优秀的数学家为此做出了重大的贡献秀的数学家为此做出了重大的贡献伯努利家族 约翰约翰伯努利（伯努利（1667-17481667-1748）多产的数）多产的数学家学家 ，好的老师，好的老师 ，生性好斗：对牛顿进生性好斗：对牛顿进行了多次攻讦行了多次攻讦 ，对哥哥雅各布的挑战，悬，对哥哥雅各布的挑战，悬链线链线 ，最速降线（旋轮线），
13、等周问题，最速降线（旋轮线），等周问题 欧拉（欧拉（1707-17831707-1783）著作方面惊人的多产。）著作方面惊人的多产。双目失明双目失明 ，某些书和四百篇研究文章是在，某些书和四百篇研究文章是在他完全失明后写的，得益于他非凡的记忆力他完全失明后写的，得益于他非凡的记忆力和心算能力。热爱生活，欧拉停止了生命，和心算能力。热爱生活，欧拉停止了生命，也停止了计算也停止了计算。1.4 1.4 近代数学时期近代数学时期 （1919世纪世纪2020年代至年代至2020世纪世纪4040年代）年代）1.4.1 1.4.1 非欧几何与近代几何思想非欧几何与近代几何思想 摆脱实际问题的制约，完全利用演
14、绎的摆脱实际问题的制约，完全利用演绎的方法研究数学内部的矛盾和规律，发展成为方法研究数学内部的矛盾和规律，发展成为纯粹的数学科学纯粹的数学科学几何原本中第五公设的研究等价命题，几何原本中第五公设的研究等价命题，罗巴切夫斯基几何学罗巴切夫斯基几何学 罗巴切夫斯基（罗巴切夫斯基（1792-18561792-1856）非欧几何的）非欧几何的研究是在教学过程中进行的研究是在教学过程中进行的 系统阐述非欧几系统阐述非欧几何的思想和方法何的思想和方法 为新的几何学呐喊了一生为新的几何学呐喊了一生 高斯（高斯（1777-18551777-1855）非欧几何最早的发非欧几何最早的发现者现者 企图用实践检验它的
15、正确性企图用实践检验它的正确性 传传统的观念面前缺乏罗巴切夫斯基那样的勇气。统的观念面前缺乏罗巴切夫斯基那样的勇气。天性聪颖，家境贫寒天性聪颖，家境贫寒 “数学之王数学之王”著称，著称，治学严谨治学严谨 鲍耶（鲍耶（1802-18601802-1860）注意新的几何学注意新的几何学内部的相容性问题，更具有数学理论研究意内部的相容性问题，更具有数学理论研究意识识 21 21岁发现非欧几何，对高斯的怨恨岁发现非欧几何，对高斯的怨恨 父子纠纷父子纠纷 贫困中仍为贫困中仍为“不能证明他的几不能证明他的几何学的无矛盾性而感到十分苦恼。何学的无矛盾性而感到十分苦恼。”近代几何思想，称作爱尔兰根纲领。近代几
16、何思想，称作爱尔兰根纲领。1872 1872年，德国数学家克莱因在射影几年，德国数学家克莱因在射影几何中用变换群的观点统一了四种度量几何何中用变换群的观点统一了四种度量几何1.4.2 1.4.2 代数学的解放代数学的解放 四元数（不满足乘法交换率的数系）四元数（不满足乘法交换率的数系）群概念的出现群概念的出现“求解高次方程根求解高次方程根”的的问题问题 哈密顿（哈密顿（1805-18651805-1865）进大学之前没有受过学校）进大学之前没有受过学校教育，教育，2222岁大学生被授予天文学教授岁大学生被授予天文学教授“布尔罕布尔罕桥桥”上发现了四元数，数域的扩张人生的坎坷上发现了四元数，数域
17、的扩张人生的坎坷阿贝尔（阿贝尔（1802-18291802-1829）完成了鲁菲尼）完成了鲁菲尼 的证明（交的证明（交高斯审阅，未受到重视）一生贫穷，颠沛流离的高斯审阅，未受到重视）一生贫穷，颠沛流离的生活，未满生活，未满2727岁因肺炎病逝岁因肺炎病逝 伽罗华（伽罗华（1811-18311811-1831）1818岁开始先后三次将方程岁开始先后三次将方程求解的论文呈送法国科学院求解的论文呈送法国科学院 ，未受重视临死前，未受重视临死前将思路记录下来，并托付给了朋友将思路记录下来，并托付给了朋友 在他去世在他去世4040年后，他的思想方法很快形成了代数结构的一般年后，他的思想方法很快形成了代数
18、结构的一般理论理论 。1.4.3 1.4.3 分析学基础的严密化分析学基础的严密化死去量的幽灵？死去量的幽灵？“无穷小量无穷小量”的第二次危机的第二次危机 微积分的理论基础应该是极限论微积分的理论基础应该是极限论 柯西（柯西（1789-18571789-1857）是仅次于欧拉的多产）是仅次于欧拉的多产数学家数学家 人生的另一侧面人生的另一侧面 ：与周围的人很不融洽：与周围的人很不融洽 ，对刚踏上科学道路的年轻人的冷漠，使他，对刚踏上科学道路的年轻人的冷漠，使他成为最不可爱的科学家。成为最不可爱的科学家。“他的课讲的非常混乱。他的课讲的非常混乱。”“”“对于年轻对于年轻学生，他令人厌倦学生，他令
19、人厌倦”1.4.4 1.4.4 分析学基础的算术化分析学基础的算术化 柯西极限理论建立在实数系的简单直觉观念上柯西极限理论建立在实数系的简单直觉观念上 病态函数的出现告诫人们不能过分依赖直观病态函数的出现告诫人们不能过分依赖直观 实数系本身首先应该严格化，实数系本身首先应该严格化，方法给出方法给出极限的定量化的定义（极限的定量化的定义（18561856年）。实现这个目年）。实现这个目标就称作分析的算术化标就称作分析的算术化 维尔斯特拉斯（维尔斯特拉斯（1815-18971815-1897年）年）曲折的就学之曲折的就学之路，多年的乡村教师大器晚成的数学家路，多年的乡村教师大器晚成的数学家1.4.
20、5 1.4.5 公理化方法公理化方法 1919世纪，为克服微积分基础概念的理论缺陷，非世纪，为克服微积分基础概念的理论缺陷，非欧几何、四元数系的发现，重新唤起对公理化方法欧几何、四元数系的发现，重新唤起对公理化方法的认识。的认识。20 20世纪的公理化方法渗透到几乎所有的纯数学和世纪的公理化方法渗透到几乎所有的纯数学和某些物理学的领域。利用公理化方法建立了许多核某些物理学的领域。利用公理化方法建立了许多核心数学分支的逻辑基础，心数学分支的逻辑基础，希尔伯特写道：通过突进到公理的更深层次，我希尔伯特写道：通过突进到公理的更深层次，我们能够获得科学思维的更深入的洞察力，弄清楚知们能够获得科学思维的
21、更深入的洞察力，弄清楚知识的统一性识的统一性 希尔伯特（希尔伯特（1862-1943）著名讲演著名讲演“数学问题数学问题”，纵览数学发，纵览数学发展全貌展全貌“在日复一日无数的散步时刻，在日复一日无数的散步时刻，我们漫游了数学科学的每我们漫游了数学科学的每 一个角落一个角落”，“天才就是勤奋天才就是勤奋”“他就像一他就像一位穿杂色衣服的风笛手，用甜蜜的笛位穿杂色衣服的风笛手，用甜蜜的笛声引诱一大群老鼠跟着他走进数学的声引诱一大群老鼠跟着他走进数学的深河深河”。1.4.6 1.4.6 康托与集合论康托与集合论 康托（康托（1845-19181845-1918）关于实无穷的深奥理论，引起了激烈的关
22、于实无穷的深奥理论，引起了激烈的争论和谴责争论和谴责 与某些数学家的关系相当紧张与某些数学家的关系相当紧张 ，经济，经济生活拮据生活拮据 高度形式化领域的艰苦跋涉高度形式化领域的艰苦跋涉 ，双重狂，双重狂郁性精神病郁性精神病 “连续统假设连续统假设”问题问题 ，康托未能走出，康托未能走出的路，的确有着不可逾越的障碍。的路，的确有着不可逾越的障碍。罗素悖论，理发师悖论，对整个数学可罗素悖论，理发师悖论，对整个数学可靠性的怀疑数学基础的三大学派靠性的怀疑数学基础的三大学派 逻辑主义学派逻辑主义学派形式主义学派形式主义学派直觉主义学派直觉主义学派各派均未能对数学的基础问题做出完美的各派均未能对数学的基础问题做出完美的答案这场论争极大的推动了纯粹数学研究答案这场论争极大的推动了纯粹数学研究的发展的发展1.4.7 1.4.7 数学的基础数学的基础