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1、第五章：控制系统计算机辅助分析 控制系统的分析包括四部分：系统的稳定性分析；时域分析；频域分析；根轨迹分析。5.1 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析q对于连续时间系统，如果闭环极点全部在S平面左半平面，则系统是稳定的。q对于离散时间系统，如果系统全部闭环极点都位于Z平面的单位圆内，则系统是稳定的。若连续时间系统的全部零极点零极点都位于S左半平面；或若离散时间系统的全部零极点零极点都位于Z平面单位圆内，则系统是最小相位系统。一、系统稳定及最小相位系统判据特征方程根的求取1、对n阶线性定常系统，其特征方程是一个n次的代数方程。特征方程的根即为系统闭环极点。Matlab提供了求取特征方程根的
2、函数：Vroots（P）P为特征多项式的系数向量，返回值V为特征根构成的系数向量。例若n阶微分方程如下：或闭环系统传递函数为：则其特征方程为：2、对于n维状态方程描述的系统系统矩阵A为nn阶方阵，那么系统的特征多项式为：Maltab提供了求取矩阵特征多项式的函数 Pploy（A）P为n+1维行向量，各分量为矩阵特征多项式按降幂排列的各项系数。然后再借助Vroots（P）函数即可判定系统的稳定性。3、直接求取矩阵的特征值，Maltab提供了求取矩阵特征值的函数 D=eig(A)V,D=eig(A)D为对角矩阵，对角线上的元素即为矩阵A的特征值。V是由与特征值对应的特征向量构成的矩阵利用传递函数零
3、极点判断系统稳定性函数tf2zp可用来化传递函数模型为零极点增益模型函数pzmap()用来绘制闭环系统的零极点分布图。调用格式如下：pzmap(num,den)绘制零极点图 p,z=pzmap(num,den)求取系统零极点图，但不绘制图形例exp5_1.m 已知某系统的模型如右所示：要求判断系统的稳定性及系统是否为最小相位系统。例exp5_2.m系统模型如下所示，判断系统的稳定性，以及系统是否为最小相位系统。例题：例题：exp5-1A=1 2-1 2;2 6 3 0;4 7-8-5;7 2 1 6;B=-1 0 0 1;C=-2 5 6 1;D=7;P=poly(A);%求特征多项式V=ro
4、ots(P)%求特征根可知系统不稳定，也不是最小相位系统例题例题exp5.2num=3 16 41 28;den=1 14 110 528 1494 2117 112;pzmap(num,den)p,z=pzmap(num,den)%验证零极点可知：系统稳定而且是最小相位系统例题：参见P170利用李雅普诺夫第二法判别系统稳定性线性定常连续系统当A为非奇异矩阵，系统有唯一的平衡状态 Xe0。李雅普诺夫第二法指出：如果对任意给定的正定对称矩阵Q都存在一个正定的实对称矩阵P满足下面的方程ATP+PA=-Q那么系统的平常状态Xe0是渐进稳定的。并且V(s)=xTPx就是系统的李亚普诺夫函数，通常取Q为
5、单位阵。李雅普诺夫方程的求解函数Plyap（A，Q）通常正定实对称阵Q取单位阵。例题：参见P171，例题5.3对于线性定常离散控制系统x(k+1)=G*x(k),xe=0其平衡状态在李亚普诺夫意义下渐近稳定的重要条件是：对于任意给定的实对称矩阵Q存在正定的实对称矩阵P，使得李亚普诺夫方程成立。GTPG-P=-Q而且，Vx(k)=xT(k)*P*x(k)是系统的李亚普诺夫函数，Matlab求取离散系统的李亚普诺夫方程的函数是dlyap（）为判别系统的稳定性，只需编程判断对任意给定的实对称矩阵Q矩，李亚普诺夫方程的解P矩阵的正定性。休息一会！5.2 控制系统的时域分析控制系统的时域分析1、典型输入
6、信号：控制系统常用的输入函数为单位阶跃函数和脉冲激励函数（即冲激函数）。在MATLAB的控制系统工具箱中提供了求取这两种输入下系统响应的函数。step和impulse常用的典型输入信号如表5-1所示。时域分析的一般方法首先求取控制系统在典型输入信号作用下的时间响应，然后以时间响应为依据直接分析系统的稳定和动态性能。2.控制系统动态性能指标最大超调量瞬态过程输出响应的最大值超过稳态值的百分比。峰值时间tP输出响应第一次达到峰值所需时间。延迟时间td输出响应第一次到达稳态值的50%所需时间。上升时间tr 第一次达到稳态值时间，或由稳态值的10%上升到90%所需时间。调节时间ts当输出响应与稳态值之
7、间误差达到规定的允许值的5%或2%,且以后不再超出此值所需的时间。控制系统动态性能指标示意图3.控制系统稳态性能指标稳态误差：单位负反馈系统，误差定义为：E(t)=r(t)-c(t)稳态误差是指稳态的系统在外作用下，经历过渡过程后进入稳态时的误差。典型输入信号作用下系统稳态误差表中0型、1型、2型系统是根据系统开环传递函数Gk（s）中所含积分环节的个数定义的。Kp为系统的静态位置误差系数，Kv为系统的静态速度误差系数、Ka为系统的静态加速度误差系数，分别定义为：常用时域分析函数求取连续系统单位阶跃响应：step()求取系统的冲激响应：impulse()Initial()求取连续系统的零输入响应
8、lsim()求取连续系统任意输入响应dstep()、dimpulse()、dinitial()、dlsim()分别为求取相应激励下离散系统响应的函数。1、step()函数的用法qy=step(num,den,t)：其中num和den分别为系统传递函数描述中的分子和分母多项式系数，t为选定的仿真时间向量，一般可以由t=0:step:end等步长地产生出来。该函数返回值y为系统在仿真时刻各个输出所组成的矩阵。t或为终止时间。qy,x,t=step(num,den)：此时时间向量t由系统模型的特性自动生成,状态变量x返回为空矩阵。qy,x,t=step(A,B,C,D,iu)：其中A,B,C,D为系
9、统的状态空间描述矩阵，iu用来指明输入变量的序号。x为系统返回的状态轨迹。step()函数的用法（续）如果对具体的响应值不感兴趣，而只想绘制系统的阶跃响应曲线，可调用以下的格式：step(sys)；step(num,den)；step(num,den,t)；step(A,B,C,D,iu,t)；step(A,B,C,D,iu)；q线性系统的稳态值可以通过函数dcgain()来求取，其调用格式为：dc=dcgain(num,den)或dc=dcgain(a,b,c,d)2、impulse()函数的用法函数的用法求取脉冲激励响应的调用方法与step()函数基本一致。y=impulse(num,de
10、n,t)；y,x,t=impulse(num,den)；y,x,t=impulse(A,B,C,D,iu,t)若不求返回值，直接绘图，命令如下；impulse(num,den)；impulse(num,den,t)impulse(sys)impulse(A,B,C,D,iu)；impulse(A,B,C,D,iu,t)常用时域分析函数常用时域分析函数initial：连续系统的零输入响应调用格式：y,T,x=initial(sys，X0，Tfinallsim：连续系统对任意输入的响应，调用格式：lsim（sys，u，t）u为输入，t为对应时间向量，对于离散系统的调用格式与step、impulse
11、类似，可以通过help命令来察看自学。例题：例题：仿真时间t的选择：q对于典型二阶系统根据其响应时间的估算公式 可以确定。q对于高阶系统往往其响应时间很难估计，一般采用试探的方法，把t选大一些，看看响应曲线的结果，最后再确定其合适的仿真时间。q一般来说，先不指定仿真时间，由MATLAB自己确定，然后根据结果，最后确定合适的仿真时间。q在指定仿真时间时，步长的不同会影响到输出曲线的光滑程度，一般不易取太大。习题谢谢大家！请休息10分钟第三节 控制系统的频域分析q频率响应是指系统对正弦输入信号的稳态响应，从频率响应中可以得出带宽、增益、转折频率、闭环稳定性等系统特征。q频率特性是指系统在正弦信号作
12、用下，稳态输出与输入之比对频率的关系特性。频率特性函数与传递函数有直接的关系，记为：一、频域分析的一般方法qNyquist稳定判据与开环 频域性能指标（参考P180）q频域分析法是应用频率特性研究控制系统的一种典型方法。采用这种方法可直观地表达出系统的频率特性，通常将频率特性用曲线的形式进行表示，包括极坐标频率特性曲线、对数频率特性曲线和幅相频率特性曲线简称幅相曲线，MATLAB提供了绘制这几种曲线的函数。奈奎斯特稳定判据Nyquist曲线是根据开环频率特性在复平面上绘出的幅相轨迹，根据开环的Nyquist曲线，可以判断闭环系统的稳定性。系统稳定的充要条件为：Nyquist曲线按逆时针包围临界
13、点(-1,j0)的圈数R，等于开环传递函数位于s右半平面的极点数P，否则闭环系统不稳定，闭环正实部特征根个数Z=P-R。若刚好过临界点，则系统临界稳定。开环频域性能指标幅值裕度是在相角为-180度处使开环增益为1的增益量，如在-180度相频处的开环增益为g，则幅值裕度为1/g；若用分贝值表示幅值裕度，则等于：-20*log10(g)。相角裕度是当开环增益为1.0时，相应的相角与180度角的和。1、对数频率特性图（波特图）q对数频率特性图包括了对数幅频特性图和对数相频特性图。横坐标为频率w，采用对数分度，单位为弧度/秒；纵坐标均匀分度，分别为幅值函数20lgA(w)，以dB表示；相角，以度表示。
14、MATLAB提供了函数bode()来绘制系统的波特图，其用法如下：Bode（sys）：绘制系统sys的波特图Bode(num,den)：可绘制出以连续时间多项式传递函数表示的系统的波特图。bode(a,b,c,d)：自动绘制出系统的一组Bode图，它们是针对连续状态空间系统a,b,c,d的每个输入的Bode图。其中频率范围由函数自动选取，而且在响应快速变化的位置会自动采用更多取样点。bode(a,b,c,d,iu)：可得到从系统第iu个输入到所有输出的波特图。波特图（续）bode(a,b,c,d,iu,w)或bode(num,den,w)：可利用指定的角频率矢量绘制出系统的波特图。当带输出变量
15、mag,pha,w或mag,pha引用函数时，如：mag,pha,w bode(num,den)或 mag,pha=bode(num,den)可得到系统波特图相应的幅值mag、相角pha及角频率点w向量或只是返回幅值与相角。相角以度为单位，幅值可转换为分贝单位：magdb=20log10(mag)例题：5.102、奈奎斯特图（幅相频率特性图）q对于频率特性函数G(jw)，给出w从负无穷到正无穷的一系列数值，分别求出Im(G(jw)和Re(G(jw)。以Re(G(jw)为横坐标，Im(G(jw)为纵坐标绘制成为极坐标频率特性图。MATLAB提供了函数nyquist()来绘制系统的极坐标图，其用法
16、如下：qnyquist(a,b,c,d)：绘制出系统的一组Nyquist曲线，每条曲线相应于连续状态空间系统a,b,c,d的输入/输出组合对。其中频率范围由函数自动选取，而且在响应快速变化的位置会自动采用更多取样点。qnyquist(a,b,c,d,iu)：可得到从系统第iu个输入到所有输出的极坐标图。qnyquist(num,den)：可绘制出以连续时间多项式传递函数表示的系统的极坐标图。qnyquist(a,b,c,d,iu,w)或nyquist(num,den,w)：可利用指定的角频率矢量绘制出系统的极坐标图。q当不带返回参数时，直接在屏幕上绘制出系统的极坐标图（图上用箭头表示w的变化方
17、向，负无穷到正无穷）。当带输出变量re,im,w引用函数时，可得到系统频率特性函数的实部re和虚部im及角频率点w矢量（为正的部分）。可以用plot(re,im)绘制出对应w从负无穷到零变化的部分。二、常用频域分析函数MATLAB除了提供前面介绍的基本频域分析函数外，还提供了大量在工程实际中广泛应用的库函数，由这些函数可以求得系统的各种频率响应曲线和 特征值。如：margin：求幅值裕度和相角裕度及对应的转折频率freqs：模拟滤波器特性nichols：求连续系统的尼科尔斯频率响应曲线（即对数幅相曲线）ngrid：尼科尔斯方格图margin()函数qmargin函数可以从频率响应数据中计算出幅
18、值裕度、相角裕度以及对应的频率。幅值裕度和相角裕度是针对开环SISO系统而言，它指示出系统闭环时的相对稳定性。当不带输出变量引用时，margin可在当前图形窗口中绘制出带有裕量及相应频率显示的Bode图，其中幅值裕度以分贝为单位。qmargin(mag,phase,w)：由bode指令得到的幅值mag（不是以dB为单位）、相角phase及角频率w矢量绘制出带有裕量及相应频率显示的bode图。qmargin(num,den)：可计算出连续系统传递函数表示的幅值裕度和相角裕度并绘制相应波特图。类似，margin(a,b,c,d)可以计算出连续状态空间系统表示的幅值裕度和相角裕度并绘制相应波特图。q
19、gm,pm,wcg,wcp=margin(mag,phase,w)：由幅值mag（不是以dB为单位）、相角phase及角频率w矢量计算出系统幅值裕度和相角裕度及相应的相角交界频率wcg、截止频率wcp，而不直接绘出Bode图曲线。休息第4节 控制系统的根轨迹分析1、谓根轨迹：是指当开环系统某一参数某一参数从零变到无穷大时，闭环系统特征方程的根在s平面上的轨迹。一般来说，这一参数选作开环系统的增益K，而在无零极点对消时，闭环系统特征方程的根就是闭环传递函数的极点。一、根轨迹分析方法的概念2、根轨迹增益当开环传递函数表示成零-极点形式时：增益Kg称为系统的根轨迹增益。根轨迹增益与系统开环放大系统的
20、关系为：3.根轨迹与系统性能根轨迹与系统性能有了根轨迹图，可以立即分析系统的各种性能。以开环传递函数为的单位负反馈系统根轨迹图为例进行说明，如下图所示。稳定性：当开环增益从零变到无穷时，上图的根轨迹不会越过虚轴进入右半s平面，因此系统对所有的K值都是稳定的。稳态性能：由图可见，开环系统在坐标原点有一个极点，所有系统是典型系统，因而根轨迹上的K值就是静态速度误差系数。如果给定了系统的稳态误差要求，则由根轨迹图就可以确定闭环极点位置的容许范围。（参考表5-2，P174）动态性能：由图4-5可见，当0K0.25时，闭环系统为复数极点，系统为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼振荡过程，且超调量随K值的增大
21、而加大。二、根轨迹分析函数 通常来说，绘制系统的根轨迹是很繁琐的事情，因此在教科书中介绍的是一种按照一定规则进行绘制的概略根轨迹。在MATLAB中，专门提供了绘制根轨迹的有关函数。pzmap：绘制线性系统的零极点图rlocus：求系统根轨迹。rlocfind：可得分离点及对应根轨迹增益。1、零极点图绘制MATLAB提供了函数pzmap()来绘制系统的零极点图，其用法如下：qpzmap（sys）绘制系统sys的零极点图qpzmap(num,den)：不带输出参数项，则直接在s复平面上绘制出系统对应的零极点位置，极点用表示，零点用o表示。qpzmap(p,z)：根据系统已知的零极点列向量或行向量直
22、接在s复平面上绘制出对应的零极点位置，极点用表示，零点用o表示。qp,z=pzmap(sys)：qp,z=pzmap(num,den)：返回传递函数描述系统的极点矢量和零点矢量，而不在屏幕上绘制出零极点图。例：已知系统开环传递函数Gk(s)Kg(s+2)/s*(s-2)试用不同调用格式绘制系统零极点分布图num=1 2;den=conv(1 0,1-2);sys=tf(num,den);pzmap(sys);%方法一z,p,k=tf2zp(num,den)%方法二pzmap(p,z);pzmap(num,den);%方法三2、根轨迹图绘制MATLAB提供了函数rlocus()来绘制系统的根轨迹
23、图，其用法如下：qrlocus（sys）或rlocus(sys，k)直接绘制系统sys的根轨迹图qrlocus(num,den)直接在屏幕上绘制出系统的根轨迹图。开环增益的值从零到无穷大变化。qr=rlocus(num,den,k)不在屏幕上直接绘出系统的根轨迹图，而根据开环增益变化矢量k，返回闭环系统特征方程1k*num(s)/den(s)=0的根r，它有length(k)行，length(den)-1列，每行对应某个k值时的所有闭环极点。qr,k=rlocus(num,den)：返回开环增益向量及与其对应闭环极点。例：已知系统传递函数模型G(s)=(2s+4)/8*s3+3s2+s求其根轨
24、迹：num=2 4;den=8 3 1 0;rlocus(num,den)r,k=rlocus(num,den);disp(r的维数)size(r)例题5-13num=1 1;den=conv(1-1 0,1 4 16);%利用多项式相乘生成卷积积分sys=tf(num,den);P,Z=pzmap(sys)%求取系统零极点rlocus(sys)%绘制根轨迹例题5-13（续）绘制部分根轨迹num=1 1;den=conv(1-1 0,1 4 16);%利用多项式相乘生成卷积积分sys=tf(num,den);K0:0.5:80;自定义根轨迹增益rlocus(sys,K)%绘制部分根轨迹3、rl
25、ocfind()函数MATLAB提供了函数rlocfind()来找出给定的一组根（闭环极点）对应的根轨迹增益。其用法如下：qk,p=rlocfind(sys)qk,p=rlocfind(num,den)它要求在屏幕上先已经绘制好有关的根轨迹图。然后，此命令将产生一个光标以用来选择希望的闭环极点。命令执行结果：k为对应选择点处根轨迹开环增益；p为此点处的系统闭环特征根。rlocfind(sys)rlocfind(num,den)q不带输出参数项k,p时，同样可以执行，只是此时只将k的值返回到缺省变量ans中。例5-13续num=1 1;den=conv(1-1 0,1 4 16);%利用多项式相
26、乘生成卷积积分sys=tf(num,den);K=0:0.5:80;%自定义根轨迹增益rlocus(sys,K)%绘制部分根轨迹K,p=rlocfind(sys)Select a point in the graphics windowselected_point=-1.3620+2.1739iK=30.5162p=-1.3544+2.1732i -1.3544-2.1732i -0.1456+2.1524i -0.1456-2.1524i三、参数根轨迹参数根轨迹是指以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹增益称为参数根轨迹，以区别以开环增益K为可变参数的常规根轨迹。等效传递函数，对闭环特征方程 进
27、行变换为A是除K*外，系统任意变化参数，而P(s)和Q(s)为两个与A无关的首一多项式，显然 有下式成立：其等效开环传递函数为：画出上式的根轨迹，就是参数A变化时原系统的参数根轨迹。【例4-18】设单位负反馈系统的开环传递函数为试绘制系统的参数根轨迹。解：由上述单位负反馈系统的开环传递函数，可写出其闭环系统的特征方程为：将上述进行变换，可化为：等效的开环传递函数为：根据上述等效开环传递函数，用下面的MATLAB命令，可以得到系统随参数T变化的根轨迹。num=conv(1 0,1 1 0);den=1 1 10;sys=tf(num,den);rlocus(sys)四、根轨迹的图形设计工具四、根
28、轨迹的图形设计工具 控制系统工具箱提供了一个系统根轨迹分析的图形界面工具，在MATLAB窗口输入rltool命令，可打开根轨迹图形界面设计工具。如果使用rltool(sys)，还可以打开模型sys带根轨迹图的设计器。例如单位负反馈系统的开环传递函数为：sys=tf(1 0,1 2 3)，在MATLAB窗口输入rltool(sys)命令可得如下图所示的根轨迹图形设计工具。v控制系统的分析是进行控制系统设计的基础，同时也是工程实际当中解决问题的主要方法，因而对控制系统的分析在控制系统仿真中具有举足轻重的作用。v通过求取系统的零极点增益模型直接获得系统的零极点，从而可以直接对控制系统的稳定性及是否为
29、最小相位系统作出判断。v控制系统的经典分析方法（时域、频域分析）是目前控制系统界进行科学研究的主要方法，是进行控制系统设计的基础，要求熟练掌握单位阶跃响应、波特图等常用命令的使用。v根轨迹分析是求解闭环特征方程根的简单的图解方法，要求熟练掌握根轨迹的绘制。v用到的MATLAB函数主要有：本章小结roots()求特征方程的特征根。eig()求矩阵的特征值pzmap()绘制系统的零极点分布图lyap()求解状态方程的李雅普诺夫函数rlocus()求系统的根轨迹图step()求系统的单位阶跃响应曲线impulse()求系统单位脉冲响应initial()求取系统零输入响应lsim()求任意输入下的系统响应曲线nyquist()求系统的奈奎斯特曲线bode()求系统的伯德图margin()求系统的幅值裕量、相角裕量及对应的相角穿越频率和幅值穿越频率。