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1、1 / 17【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习第六章数列与数学归精选高考数学大一轮复习第六章数列与数学归纳法纳法 6-26-2 等差数列及其前等差数列及其前 n n 项和教师用书项和教师用书1等差数列的定义一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示2等差数列的通项公式如果等差数列an的首项为 a1，公差为 d，那么它的通项公式是ana1(n1)d.3等差中项由三个数 a，A，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列这时，A 叫做 a 与 b 的等差中项4等差数列的常
2、用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*)(2)若an为等差数列，且 klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman.(3)若an是等差数列，公差为 d，则a2n也是等差数列，公差为 2d.(4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列(5)若an是等差数列，公差为 d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为 md 的等差数列2 / 17(6)数列 Sm，S2mSm，S3mS2m，构成等差数列5等差数列的前 n 项和公式设等差数列an的公差为 d，其前 n 项和 Sn或 Snna1d.6等差数列的前 n 项和公式与函数的关系Snn2n.数列an是等差数
3、列SnAn2Bn(A，B 为常数)7等差数列的前 n 项和的最值在等差数列an中，若 a10，d0，则 Sn 存在最小值【知识拓展】等差数列的四种判断方法(1)定义法：an1and(d 是常数)an是等差数列(2)等差中项法：2an1anan2 (nN*)an是等差数列(3)通项公式：anpnq(p，q 为常数)an是等差数列(4)前 n 项和公式：SnAn2Bn(A，B 为常数)an是等差数列【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列( )(2)等差数列an的单调性是由公差 d 决定的( )(3)等
4、差数列的前 n 项和公式是常数项为 0 的二次函数( )(4)已知等差数列an的通项公式 an32n，则它的公差为2.( 3 / 17 )1在等差数列an中，若 a24，a42，则 a6 等于( )A1 B0 C1 D6答案 B解析 由等差数列的性质，得 a62a4a22240，故选 B.2(2016全国乙卷)已知等差数列an前 9 项的和为 27，a108，则 a100 等于( )A100 B99 C98 D97答案 C解析 由等差数列性质，知 S99a527，得 a53，而a108，因此公差 d1，a100a1090d98，故选 C.3(2016绍兴一模)已知数列an中，a33，an1an
5、2，则a2a4_，an_.答案 6 2n3解析 由已知得 an1an2，所以an为公差为 2 的等差数列，由 a12d3，得 a11，所以 an1(n1)22n3，a2a42a36.4若等差数列an满足 a7a8a90，a7a103)，Sn100，则 n 的值为( )A8 B9C10 D11答案 C解析 由 SnSn351，得 an2an1an51，所以 an117，又 a23，Sn100，解得 n10.4(2016绍兴柯桥区二模)各项均不为零的等差数列an中，若an1aan1(nN*，n2)，则 S2 016 等于( )A0 B2 C2 015 D4 032答案 D13 / 17解析 由已知
6、可得 a2an(n2)，an各项均不为零，an2(n2)，又an为等差数列，an2，S2 0164 032.5已知数列an满足 an1an，且 a15，设an的前 n 项和为Sn，则使得 Sn 取得最大值的序号 n 的值为( )A7 B8C7 或 8 D8 或 9答案 C解析 由题意可知数列an是首项为 5，公差为的等差数列，所以an5(n1)，该数列前 7 项是正数项，第 8 项是 0，从第 9 项开始是负数项，所以 Sn 取得最大值时，n7 或 n8，故选 C.*6.设数列an的前 n 项和为 Sn，若为常数，则称数列an为“吉祥数列” 已知等差数列bn的首项为 1，公差不为 0，若数列b
7、n为“吉祥数列” ，则数列bn的通项公式为( )Abnn1 Bbn2n1Cbnn1 Dbn2n1答案 B解析 设等差数列bn的公差为 d(d0)，k，因为 b11，Sn S2n则 nn(n1)dk2n2n(2n1)d，即 2(n1)d4k2k(2n1)d，14 / 17整理得(4k1)dn(2k1)(2d)0.因为对任意的正整数 n 上式均成立，所以(4k1)d0，(2k1)(2d)0，又公差 d0，解得 d2，k.所以数列bn的通项公式为 bn2n1.7已知数列an中，a11 且(nN*)，则 a10_.答案 1 4解析 由已知得(101)134，故 a10.8设数列an的通项公式为 an2
8、n10(nN*)，则|a1|a2|a15|_.答案 130解析 由 an2n10(nN*)知an是以8 为首项，2 为公差的等差数列，又由 an2n100，得 n5，当 n5 时，an0，当n5 时，an0，|a1|a2|a15|(a1a2a3a4)(a5a6a15)20110130.9设等差数列an，bn的前 n 项和分别为 Sn，Tn，若对任意自然数 n 都有，则的值为_答案 19 41解析 an，bn为等差数列，.，15 / 17.10(2017浙江新高考预测三)设数列an满足：a11，a23，且2nan(n1)an1(n1)an1，则 a20 的值是_答案 24 5解析 由 2nan(
9、n1)an1(n1)an1，得nan(n1)an1(n1)an1nan，又因为 1a11,2a21a15，所以数列nan是首项为 1，公差为 5 的等差数列，则 20a201195，解得 a20.11在等差数列an中，a11，a33.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列an的前 k 项和 Sk35，求 k 的值解 (1)设等差数列an的公差为 d，则 ana1(n1)d.由 a11，a33，可得 12d3，解得 d2.从而 an1(n1)(2)32n.(2)由(1)可知 an32n，所以 Sn2nn2.由 Sk35，可得 2kk235，即 k22k350，解得 k7 或 k5.又 kN*，
10、故 k7.12若数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 an2SnSn10(n2)，16 / 17a1.(1)求证：成等差数列；(2)求数列an的通项公式(1)证明 当 n2 时，由 an2SnSn10，得 SnSn12SnSn1，所以2，又2，故是首项为 2，公差为 2 的等差数列(2)解 由(1)可得2n，Sn.当 n2 时，anSnSn1.当 n1 时，a1不适合上式故 anError!*13.已知数列an的各项均为正数，前 n 项和为 Sn，且满足2Snan4(nN*)(1)求证：数列an为等差数列；(2)求数列an的通项公式(1)证明 当 n1 时，有 2a1a14，即 a2a130，解得 a13(a11 舍去)当 n2 时，有 2Sn1an5，又 2Snan4，两式相减得 2anaa1，17 / 17即 a2an1a，也即(an1)2a，因此 an1an1 或 an1an1.若 an1an1，则 anan11.而 a13，所以 a22，这与数列an的各项均为正数相矛盾，所以 an1an1，即 anan11，因此数列an是首项为 3，公差为 1 的等差数列(2)解 由(1)知 a13，d1，所以数列an的通项公式 an3(n1)1n2，即 ann2.