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1、- 1 -第八节第八节 函数与方程函数与方程2017 考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解。2016，全国卷，21,12 分(导数与函数的零点)2016，天津卷，8,5 分(函数单调性与函数的零点)2014，全国卷，11,5 分(函数的零点，参数的取值范围)1.函数零点个数、存在区间及方程解的确定与应用是高考内容之一；2.常与函数的图象与性质交汇命题，主要考查函数与方程、转化与化归、数形结合思想。微知识 小题练自|主|排|查1函数的零点(1)函数零点
2、的定义对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0 的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点。(2)几个等价关系方程f(x)0 有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点。(3)函数零点的判定(零点存在性定理)- 2 -如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0)的图象与零点的关系000)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数210微点提醒 1有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点。(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号。(3)
3、连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号。2三个等价关系方程f(x)0 有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点。小|题|快|练一 、走进教材1(必修 1P92A 组 T2改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x12345f(x)42147在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为( )- 3 -A(1,2) B(2,3)C(3,4) D(4,5)【解析】 由所给的函数值的表格可以看出，x2 与x3 这两个数字对应的函数值的符号不同，即f(2)f(3)0，f(2)3log2220，f(4) log24 0，所以f(x)在 R R 上单
4、调递增，又f(1)e130，因此f(x)的零点个数是 1。故选 B。【答案】 B4函数f(x)kx1 在1,2上有零点，则k的取值范围是_。【答案】 1，1 25函数y(k8)x2x1 至多有一个零点，则k的取值范围为_。【解析】 k8 时符合；k8 时对应方程 14(k8)0，解得k，33 4所以k或k8。33 4【答案】 833 4，)- 5 -微考点 大课堂考点一 判断函数零点所在区间【典例 1】 函数f(x)log3xx2 的零点所在的区间为( )A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)【解析】 函数f(x)log3xx2 的定义域为(0，)，并且f(x)在(0，)上单调递
5、增，图象是一条连续曲线。又f(1)10，f(3)20，根据零点存在性定理，可知函数f(x)log3xx2 有唯一零点，且零点在区间(1,2)内。故选 B。【答案】 B反思归纳 函数的零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，不能判断不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，不是必要条件，所以在判断一个函数在某个区间上不存在零点时，不能完全依赖函数的零点存在性定理，要综合函数性质进行分析判断。【变式训练】 (2016长沙调研)已知函数f(x)lnxx2的零点为x0，则x0所在(1 2)的区间是( )A(0,1) B(1,2)C(2,3)
6、 D(3,4)【解析】 f(x)lnxx2在(0，)是增函数，(1 2)又f(1)ln11ln120，(1 2)x0(2,3)，故选 C。【答案】 C考点二 函数零点个数的判断多维探究角度一：解方程确定函数零点个数- 6 -【典例 2】 已知函数f(x)Error!若f(0)2，f(1)1，则函数g(x)f(x)x的零点个数为_。【解析】 依题意得Error!由此解得b4，c2。由g(x)0 得f(x)x0，该方程等价于Error!或Error!解得x2，解得x1 或x2。因此，函数g(x)f(x)x的零点个数为 3。【答案】 3角度二：利用函数单调性确定零点个数【典例 3】 函数f(x)ex
7、x2 的零点有_个。1 2【解析】 f(x)ex 0，1 2f(x)在 R R 上单调递增，又f(0)120，3 2函数在区间(0,1)上有零点且只有一个。【答案】 1角度三：数形结合法确定函数零点个数【典例 4】 (2015天津高考)已知函数f(x)Error!函数g(x)3f(2x)，则函数yf(x)g(x)的零点个数为( )A2 B3C4 D5【解析】 由已知条件可得g(x)3f(2x)Error!函数yf(x)g(x)的零点个数即为函数yf(x)与yg(x)图象的交点个数，在平面直角坐标系内作出函数yf(x)与yg(x)的图象如图所示。- 7 -由图可知函数yf(x)与yg(x)的图象
8、有 2 个交点，所以函数yf(x)g(x)的零点个数为 2。故选 A。【答案】 A反思归纳 判断函数零点个数的 3 种方法1解方程法：若对应方程f(x)0 可解时，通过解方程，则有几个解就有几个零点。2零点存在性定理法：利用定理不仅要判断函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，且a1)在 R R 上单调递减，且关于x的方程|f(x)|2x恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是( )A. B.(0，2 32 3，3 4C. D.1 3，2 3 3 41 3，2 3) 3 4【解析】 要使函数f(x)在 R R 上单调递减，只需Error!解得a ，因为方程|f(x)|2x恰有
9、两个不相等的实数解，所以直1 33 4线y2x与函数y|f(x)|的图象有两个交点。如图所示。易知y|f(x)|的图象与x轴的交点的横坐标为 1，又1 a- 8 - 12，故由图可知，直线y2x与y|f(x)|的图象在x0 时有一个交点；当直线1 31 ay2x与yx2(4a3)x3a(xa)，函数g(x)f(x)b有两个零点，即函数yf(x)的图象与直线yb有两个交点，结合图象可得ah(a)，即aa2，解得a1，故a(，0)(1，)。答案 (，0)(1，)5已知关于x的方程x2mx60 的一个根比 2 大，另一个根比 2 小，则实数m的取值范围是_。解析 设函数f(x)x2mx6，则根据条件有f(2)0，得a2 或a1 即可，解得 2a 。a245 2【答案】 (2，52)- 1 -