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1、- 1 -20192019 高三数学第一次模拟考试试题高三数学第一次模拟考试试题一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，其中 1-6 题每题 4 分，7-12 题每题 5 分）1已知集合 A=1，2，5，B=2，a，若 AB=1，2，3，5，则 a= 2抛物线 y2=4x 的焦点坐标为 3不等式0 的解是 4若复数 z 满足 iz=1+i（i 为虚数单位） ，则 z= 5在代数式（x）7的展开式中，一次项的系数是 （用数字作答）6若函数 y=2sin（x）+1（0）的最小正周期是 ，则 = 7 （5 分）若函数 f（x）=xa的反函数的图象经过点（，） ，则 a= 8 （5 分）将一
2、个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为 27cm3，则该几何体的侧面积为 cm29 （5 分）已知函数 y=f（x）是奇函数，当 x0 时，f（x）=2xax，且 f（2）=2，则 a= 10 （5 分）若无穷等比数列an的各项和为 Sn，首项 a1=1，公比为 a，且 Sn=a，则 a= 11 （5 分）从 5 男 3 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人志愿者服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有 种不同的选法 （用数字作答）12 （5 分）在 ABC 中，BC 边上的中垂线分别交 BC，AC 于点 D，E若=6，|=2
3、，则 AC= 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）13 （5 分）展开式为 adbc 的行列式是（ ）ABCD14 （5 分）设 a，bR，若 ab，则（ ）ABlgalgb Csin asin b D2a2b- 2 -15 （5 分）已知等差数列an的公差为 d，前 n 项和为 Sn，则“d0”是“S4+S62S5”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件16 （5 分）直线 x=2 与双曲线y2=1 的渐近线交于 A，B 两点，设 P 为双曲线上任一点，若=a+b（a，bR，O 为坐标原点） ，则下列不等式恒成立的是（ ）Aa2+b21B|
4、ab|1C|a+b|1 D|ab|2三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）17 （14 分）如图，长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，A1C 与底面 ABCD 所成的角为 60，（1）求四棱锥 A1ABCD 的体积；（2）求异面直线 A1B 与 B1D1所成角的大小18 （14 分）已知 f（x）=2sinxcosx+2cos2x1（1）求 f（x）的最大值及该函数取得最大值时 x 的值；（2）在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 所对的边，若 a=，b=，且 f（）=，求边 c 的值19 （14 分）2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村
5、旅游项目规划从 2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长 50%记 2016 年为第 1 年，f （n）为第 1 年至此后第 n （nN*）年的累计利润（注：含第 n 年，累计利润=累计净收入累计投入，单位：千万元） ，且当 f （n）为正值时，认为该项目赢- 3 -利（1）试求 f （n）的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由20 （16 分）在平面直角坐标系中，已知椭圆 C：+y2=1 （a0，a1）的两个焦点分别是 F1，F2，直
6、线 l：y=kx+m（k，mR）与椭圆交于 A，B 两点（1）若 M 为椭圆短轴上的一个顶点，且MF1F2是直角三角形，求 a 的值；（2）若 k=1，且OAB 是以 O 为直角顶点的直角三角形，求 a 与 m 满足的关系；（3）若 a=2，且 kOAkOB=，求证：OAB 的面积为定值21 （18 分）若存在常数 k（k0） ，使得对定义域 D 内的任意 x1，x2（x1x2） ，都有|f（x1）f（x2）|k|x1x2|成立，则称函数 f（x）在其定义域 D 上是“k利普希兹条件函数” （1）若函数 f（x）=， （1x4）是“k利普希兹条件函数” ，求常数 k 的最小值；（2）判断函数
7、f（x）=log2x 是否是“2利普希兹条件函数” ，若是，请证明，若不是，请说明理由；（3）若 y=f（x） （xR ）是周期为 2 的“1利普希兹条件函数” ，证明：对任意的实数x1，x2，都有|f（x1）f（x2）|1- 4 -三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）17解：（1）长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1平面 ABCD，AC=2，A1CA 是 A1C 与底面 ABCD 所成的角，A1C 与底面 ABCD 所成的角为 60，A1CA=60，AA1=ACtan60=2=2，S正方形 ABCD=ABBC=22=4，四棱锥 A1ABCD 的体积：V=（2
8、）BDB1D1，A1BD 是异面直线 A1B 与 B1D1所成角（或所成角的补角） BD=，A1D=A1B=2，cosA1BD=A1BD=arccos异面直线 A1B 与 B1D1所成角是 arccos- 5 -18解：f（x）=2sinxcosx+2cos2x1=sin2x+cos2x=2sin（2x+）（1）当 2x+=时，即 x=（kZ） ，f（x）取得最大值为 2；（2）由 f（）=，即 2sin（A+）=可得 sin（A+）=0AAA=或A=或当 A=时，cosA=a=，b=，解得：c=4当 A=时，cosA=0a=，b=，解得：c=219解：（1）由题意知，第 1 年至此后第 n（
9、nN*）年的累计投入为 8+2（n1）=2n+6（千万元） ，- 6 -第 1 年至此后第 n（nN*）年的累计净收入为+=（千万元） f（n）=（2n+6）=2n7（千万元） （2）方法一：f（n+1）f（n）=2（n+1）72n7=4，当 n3 时，f（n+1）f（n）0，故当 n4 时，f（n）递减；当 n4 时，f（n+1）f（n）0，故当 n4 时，f（n）递增又 f（1）=0，f（7）=521=0，f（8）=232523=20该项目将从第 8 年开始并持续赢利答：该项目将从 2023 年开始并持续赢利；方法二：设 f（x）=2x7（x1） ，则 f（x）=，令 f（x）=0，得=5
10、，x4从而当 x1，4）时，f（x）0，f（x）递减；当 x（4，+）时，f（x）0，f（x）递增又 f（1）=0，f（7）=521=0，f（8）=232523=20该项目将从第 8 年开始并持续赢利答：该项目将从 2023 年开始并持续赢利20解：（1）M 为椭圆短轴上的一个顶点，且MF1F2是直角三角形，MF1F2为等腰直角三角形，OF1=OM，当 a1 时，=1，解得 a=，- 7 -当 0a1 时，=a，解得 a=，（2）当 k=1 时，y=x+m，设 A（x1，y1） ， （x2，y2） ，由，即（1+a2）x2+2a2mx+a2m2a2=0，x1+x2=，x1x2=，y1y2=（x
11、1+m） （x2+m）=x1x2+m（x1+x2）+m2=，OAB 是以 O 为直角顶点的直角三角形，=0，x1x2+y1y2=0，+=0，a2m2a2+m2a2=0m2（a2+1）=2a2，（3）证明：当 a=2 时，x2+4y2=4，设 A（x1，y1） ， （x2，y2） ，kOAkOB=，=，x1x2=4y1y2，由，整理得， （1+4k2）x2+8kmx+4m24=0x1+x2=，x1x2=，y1y2=（kx1+m） （kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=+m2=，- 8 -=4，2m24k2=1，|AB|=2=O 到直线 y=kx+m 的距离 d=，SOAB=|A
12、B|d=121解：（1）若函数 f（x）=， （1x4）是“k利普希兹条件函数” ，则对于定义域1，4上任意两个 x1，x2（x1x2） ，均有|f（x1）f（x2）|k|x1x2|成立，不妨设 x1x2，则 k=恒成立1x2x14，k 的最小值为 （2）f（x）=log2x 的定义域为（0，+） ，令 x1=，x2=，则 f（）f（）=log2log2=1（2）=1，而 2|x1x2|=，f（x1）f（x2）2|x1x2|，函数 f（x）=log2x 不是“2利普希兹条件函数” 证明：（3）设 f（x）的最大值为 M，最小值为 m，在一个周期0，2内 f（a）=M，f（b）=m，则|f（x1）f（x2）|Mm=f（a）f（b）|ab|若|ab|1，显然有|f（x1）f（x2）|ab|1若|ab|1，不妨设 ab，则 0b+2a1，- 9 -|f（x1）f（x2）|Mm=f（a）f（b+2）|ab2|1综上，|f（x1）f（x2）|1