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1、“离散数学课程教学中如何用好案例,离散数学论文内容摘要：本文用 成语接龙 游戏的例子, 阐述了在 离散数学 课程教学中怎样用好案例, 分析了该案例的使用思路、方式方法及其在培养学生的思维能力与拓展学习中的作用。本文关键词语：离散数学; 教学案例; 计算思维;0 引言作为计算机类专业的基础核心课程, 离散数学 的重要性不言而喻。但是 离散数学 课程内容所固有的高度抽象性, 往往成为普通大学本科生畏惧和排挤学习的主要原因。离散数学 的研究对象是离散量、离散构造及其互相关系, 其主要的原理和方式方法又能够被计算机仿真模拟实现, 进而为有效地开展教学提供了良好的渠道。从这个意义上讲, 知识教授已经不再
2、是教学的主要目的, 思维方式方法以及由此带来的面对复杂问题时的考虑方式才是课堂教学中需要教授的关键。怎样提高教学的趣味性, 吸引学生的持久关注和学习, 经常成为老师教学经过中的困惑。而良好的教学案例就成了提高教学关注度和介入度的有效手段。良好的课堂教学案例既是学科知识的有效载体, 也是实现教学目的的基础。但是, 正如北京大学王捍贫教授在一次关于 离散数学的困难性 的报告中所指出的那样, 教学案例的选取并不容易 , 不适当的案例往往带来更糟的结果。笔者以为, 一个恰当的教学案例必须考虑下面4个重要因素: (1) 案例要有科学性, 并与课程教学内容直接关联, 学生主要使用本课程相关知识来描绘叙述和
3、解决; (2) 案例要有趣味性, 或者从新的视角观察习以为常的问题, 利于激发学生的学习兴趣; (3) 案例应贴近生活, 并且有明确的应用背景, 以减少学生的陌生感, 利于学习中的情感认同; (4) 案例中描绘叙述的问题要有挑战性, 但难度可控, 使学生能运用本课程的知识在很大程度上获得问题的解, 进而获得成就感。本文拟从一个简单案例入手, 分析在 离散数学 课程教学中怎样有效地使用案例, 使学生勇于面对困难问题, 提高思维能力。成语接龙 是一个喜闻乐见的游戏, 它要求使用成语连接, 上一个成语的最后一个字与下一句成语的第一个字一样。例如:天长地久久别重逢逢凶化吉吉祥如意意味深长长话短讲讲三道
4、四四平八稳很显然, 这个问题符合本文前面描绘叙述的几个特征。作为一个教学案例, 它是恰当的。1 基本形式读者自然会问, 任意给出一组成语 (如500个) , 能否能构成知足这样条件的一个成语接龙串呢?很显然, 这个问题能够描绘叙述为已经知道一个成语集合, 需要寻找文字先后连接的成语子集合。为此, 能够考虑将每个成语看成一个节点, 假如知足某个成语的最后一个字是另一个成语第一个字的条件, 则在两个节点之间连上一条有向弧, 前者指向后者, 如此图1所示。因而, 成语接龙 问题就变成了有向图的连通性问题。例如, 从一个指定的节点A出发, 到另一个指定的节点B能否能够实现成语接龙?一些常见的算法可用于
5、求解。下面给出一个宽度优先的搜索算法。Step 1:找出A的邻接节点集。Step 2:标记邻接节点。Step 3:判定B能否在邻接节点集中。若在, 则给出回溯途径, 算法结束;否则, 转到Step 4。Step 4:找出Step 1的邻接节点集中各点的所有无标记邻接节点, 合并得到新的邻接节点集中, 转到Step 2。Step 5:若不能得到新的邻接节点集, 则输出不存在A到B的成语接龙, 终止。算法的实现与代码设计在 离散数学 课程的先修课程 程序设计与问题求解 等中已经解决, 本文不再赘述。图1 成语连接关系当然, 成语接龙 的问题能够有多种提法。假设要求找到从某个成语出发, 并经过接龙后
6、最后一个成语仍然是自个, 从图上看就成了哈密顿 (或局部) 周游问题。一般而言这是没有快速算法能够求解的。在教学中可以以作为挑战, 提出更多问题供学生做深层次讨论。例如, 怎样找到至少包含k个成语的途径?假如同音字开始的成语也视为接龙有效, 应该怎样处理?2 提升形式稍将问题简化。假设给定的不是汉语的成语, 而是一组英文单词。要求找到一种单词排列顺序, 使得前一个英语单词的最后一个字母是后一个单词的第一个字母 (注意不区分大小写) 。这样就把 成语接龙 游戏变成了 单词接龙 游戏。外表上看, 问题并没有变得简单。但是考虑到英文单词只由26个字母 (仅考虑小写) 构成, 容易想到将26个字母作为
7、节点, 若存在单词以某个节点M代表的字母开始, 以节点N代表的字母结尾, 则由M向N连一条有向弧 (代表该单词) , 如此图2所示。能够看到, 图2的节点数目比根据图1的方式方法已经大幅度减少了。但由此也带来了新的问题, 即图中出现了自环和平行边。此时能够在有向弧集合中引入平行关系 (注意, 自环可以看成平行) 。能够验证该平行关系是等价关系, 进而使用等价类的方式方法建立单词等价类。利用等价类代表元, 能够实现将图2简化为简单图。等价类的引进减少了节点之间连接边的数目, 在很大程度上降低了算法的复杂度, 有利于计算的实现。但是由于需要为每一条弧保存等价类, 因而存储空间增加了。在图2的情况下
8、, 问题就变成了从某一条弧出发, 能否能够找到一条途径到达另一条弧。注意, 由于描绘叙述方式的不同, 问题的求解可类比于有向图中边的遍历, 与图1相比, 相当于从哈密顿路的求解变成了欧拉路的求解。图2 单词接龙3 案例使用的讨论从上述案例能够看到, 实际问题的求解一般有4个步骤。(1) 重述问题。就是将原始问题描绘叙述为数学上容易表示出的形式, 忽略那些对问题及求解没有本质影响的部分, 必要的时候适当加以简化。(2) 抽象化。这一经过将实际问题的相关概念抽象为数学概念, 厘清数学关系与限制约束条件。(3) 数学模型刻画。用数学语言表示出问题, 建立问题的数学模型。(4) 求解。使用数学方式方法
9、、算法技巧得到问题的解答。从教学实际看, 上述案例由于趣味性强, 贴近生活, 在教学中很容易引起学生共鸣, 课堂介入度非常高。教学经过中, 作为一种拓展方式, 就求解而言还能够引导学生建立二元关系, 借鉴复合闭包计算的思路设计相应算法, 计算出成语接龙串数目以及指定长度的接龙串。上述案例综合应用了 离散数学 课程中多个模块的知识, 既能够作为课堂教学案例进行建模和问题分析, 可以以作为小班学习的讨论案例, 或者作为小组课外实践的应用系统开发项目。4 结束语总体上讲, 前面描绘叙述的经过是数学思维与计算思维能力综合运用的典范。通过问题重述, 以适宜方式来陈述, 运用逻辑思维和形象思维准确把握问题
10、的本质;通过抽象与简化, 实现复杂问题的分解;通过数学建模, 使问题形式简单, 表示出清楚明晰, 易于处理。而问题的求解经过, 既是数学方式方法如变换、归类、转化等思维方式的综合应用, 也是计算工具、计算策略的合理调配。本文分析了良好的教学案例应具备的几个基本特征;以 成语接龙 游戏为例, 讨论了教学案例在 离散数学 课程教学中的重要作用, 展示了数学思维和计算思维能力培养在 离散数学 课程中怎样有效实现。(1) 典型的数学思维方式是, 通过假设、简化等环节将问题从复杂变得简单;通过分类将问题从困难变得容易;通过变换等手段将未解问题转换为已经解决的问题;再通过综合和推广得到更大问题的求解。(2
11、) 典型的计算思维方式是, 通过抽象、建模和化简寻求问题的适当描绘叙述和形式化, 构成实际问题的计算表示, 易于处理;通过编码实现, 完成问题求解的试错、调整和精化, 构成方式方法的评估, 实现算法应用范围的提升。(3) 在 离散数学 课程的实际教学中, 假如基于问题驱动的良好教学素材得以有效融合, 有助于这两种思维能力的培养。也应该注意到, 教学案例的选取和使用需要在教学研究与实践中长期积累, 应充分注意来源于科研、来源于实践、来源于生活的问题, 并加以适当改造, 才能符合教学的预期。这也是完善教学资源的有效手段, 值得教学工作者终身努力。以下为参考文献1Jeannette M.Wing.Computational ThinkingJ.Communications of the ACM.2006, 49 (3) :33-35.2常亮, 徐周波, 古天龙, 等.离散数学教学中的计算思维培养J.计算机教育, 2018 (14) :90-94.3董荣胜.计算机科学导论:思想与方式方法 (第2版) M.北京:高等教育出版社, 2020.4王海艳, 陈志, 孙力娟.新型教学形式提升大学生计算思维能力研究J.江苏高教, 2021 (6) :66-68.