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1、1 / 13【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第精选高考数学一轮复习第 3 3 章三角函数解三章三角函数解三角形第角形第 6 6 节正弦定理和余弦定理教师用书文新人教节正弦定理和余弦定理教师用书文新人教 A A 版版考纲传真 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容2R.(R为ABC外a sin Ab sin Bc sin C接圆半径)a2b2c22bccos_A；b2c2a22cacos_B；c2a2b22abcos_C变形形式(1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(2)abcsin Asin
2、 Bsin C；(3)sin A，sin B，sin Ca 2Rb 2Rc 2Rcos A；b2c2a2 2bccos B；c2a2b2 2cacos Ca2b2c2 2ab解决问题(1)已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角(1)已知三边求各角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角2.三角形常用面积公式(1)Saha(ha 表示边 a 上的高)；(2)Sabsin Cacsin Bbcsin A.(3)Sr(abc)(r 为内切圆半径)1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)2 / 13(1)在ABC 中
3、，若 AB，则必有 sin Asin B( )(2)在ABC 中，若 b2c2a2，则ABC 为锐角三角形( )(3)在ABC 中，若 A60，a4，b4，则 B45或 135.( )(4)在ABC 中，.( )解析 (1)正确ABabsin Asin B.(2)错误由 cos A0 知，A 为锐角，但ABC 不一定是锐角三角形(3)错误由 ba 知，BA.(4)正确利用 a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，可知结论正确答案 (1) (2) (3) (4)2(教材改编)在ABC 中，若 sin2Asin2Bsin2C，则ABC的形状是( )A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形
4、D不能确定C 由正弦定理，得sin A，sin B，sin C，代入得到a2b2c2，由余弦定理得 cos C0，所以 C 为钝角，所以该三角形为钝角三角形3(2016全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知 a，c2，cos A，则 b( )A. B. C2 D3D 由余弦定理得 5b242b2，解得 b3 或 b(舍去)，故选 D.3 / 134在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知A，a1，b，则 B_.或 由正弦定理，代入可求得 sin B，故 B或 B. 35在ABC 中，A60，AC4，BC2，则ABC 的面积等于_2 由题意及余弦定
5、理得 cos A，解得 c2，所以Sbcsin A42sin 602.利用正、余弦定理解三角形在ABC 中，BAC，AB6，AC3，点 D 在 BC 边上，ADBD，求 AD 的长【导学号：31222129】解 设ABC 的内角BAC，B，C 所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理得 a2b2c22bccosBAC(3)262236cos3 41836(36)90，所以 a3.6 分又由正弦定理得 sin B，由题设知 0B，所以 cos B.9 分在ABD 中，因为 ADBD，所以ABDBAD，所以ADB2B，故由正弦定理得AD.12 分规律方法 1.正弦定理是一个连比等式，只要知道其比值或
6、4 / 13等量关系就可以运用正弦定理通过约分达到解决问题的目的2(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用(2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用变式训练 1 (1)(2017郑州模拟)已知 a，b，c 分别为ABC 三个内角 A，B，C 的对边， 且(bc)(sin Bsin C)(ac)sin A，则角 B 的大小为( )A30 B45 C60 D120(2)(2016全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，若 cos A，cos C，a1，则 b_.(1)A
7、 (2) (1)由正弦定理及(bc)(sin Bsin C)(ac)sin A 得(bc)(bc)(ac)a，即b2c2a2ac，a2c2b2ac.又cos B，cos B，B30.(2)在ABC 中，cos A，cos C，sin A，sin C，sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C.又，b.判断三角形的形状(1)(2017东北三省四市二联)在ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，满足 acos Abcos B，则ABC 的形状为( )A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形5 / 13D等腰三角形或直角三角形(2)(2016安徽安庆二模)设角 A
8、，B，C 是ABC 的三个内角，则“ABC”是“ABC 是钝角三角形”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件(1)D (2)A (1)因为 acos Abcos B，由正弦定理得 sin Acos Asin Bcos B，即 sin 2Asin 2B，所以 2A2B 或2A2B，即 AB 或 AB，所以ABC 为等腰三角形或直角三角形，故选 D.(2)由 ABC，ABC，可得 C，故三角形 ABC 为钝角三角形，反之不成立故选 A.规律方法 1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(
9、余)弦定理是转化的桥梁2无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能变式训练 2 设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若 2sin Acos Bsin C，那么ABC 一定是( )A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等边三角形B 法一：由已知得 2sin Acos Bsin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，即 sin(AB)0，因为AB，所以 AB.6 / 13法二：由正弦定理得 2acos Bc，再由余弦定理得2aca2b2ab.与三角形面积有关的问题(2015全国卷)已知 a，b，c 分别为ABC
10、内角A，B，C 的对边，sin2B2sin Asin C.(1)若 ab，求 cos B；(2)设 B90，且 a，求ABC 的面积解 (1)由题设及正弦定理可得 b22ac.2 分又 ab，可得 b2c，a2c.由余弦定理可得 cos B.5 分(2)由(1)知 b22ac.7 分因为 B90，由勾股定理得 a2c2b2，故 a2c22ac，进而可得 ca.9 分所以ABC 的面积为1.12 分规律方法 三角形面积公式的应用方法：(1)对于面积公式 Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的
11、转化变式训练 3 (2016全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2cos C(acos Bbcos A)c.(1)求 C；(2)若 c，ABC 的面积为，求ABC 的周长解 (1)由已知及正弦定理得2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C，即 2cos Csin(AB)sin C，3 分7 / 13故 2sin Ccos Csin C.可得 cos C，所以 C.5 分(2)由已知得 absin C.又 C，所以 ab6.9 分由已知及余弦定理得 a2b22abcos C7，故 a2b213，从而(ab)225.所以ABC 的周长为 5
12、.12 分思想与方法1在解三角形时，应熟练运用内角和定理：ABC，中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数2判定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换3在ABC 中，ABabsin Asin B.易错与防范1已知两边及一边的对角，利用正弦定理求其它边或角可能有一解、两解、无解在ABC 中，已知 a，b 和 A 时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin Aababab解的个数一解两解一解一解2.在判定三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，以免漏解8 / 13课时分层训练课时分层训练( (二十二
13、二十二) )正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理A 组 基础达标(建议用时：30 分钟)一、选择题1设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 bcos Cccos Basin A，则ABC 的形状为( )【导学号：31222130】A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形D不确定B B 由正弦定理得由正弦定理得 sinsin BcosBcos C Csinsin CcosCcos B Bsin2Asin2A，sin(BC)sin2A，即 sin(A)sin2A，sin Asin2A.A(0，)，sin A0，sin A1，即 A.2在ABC 中，已知 b40，c20，C60，
14、则此三角形的解的情况是( ) 【导学号：31222131】A有一解B有两解C无解D有解但解的个数不确定C C 由正弦定理得，由正弦定理得，sin B1.角 B 不存在，即满足条件的三角形不存在3(2016天津高考)在ABC 中，若AB，BC3，C120，则 AC( )A1 B2 9 / 13C3 D4A A 由余弦定理得由余弦定理得 AB2AB2AC2AC2BC2BC22ACBCcos2ACBCcos C C，即，即1313AC2AC29 92AC3cos2AC3cos 120120，化简得，化简得 AC2AC23AC3AC4 40 0，解得，解得ACAC1 1 或或 ACAC4(4(舍去舍去
15、) )故选故选 A.A.4(2017重庆二次适应性测试)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a2b2c2ab，则ABC 的面积为( )A.B. C.D.3 2B B 依题意得依题意得 coscos C C，C C6060，因此，因此ABCABC 的面积等于的面积等于absinabsin C C，故选，故选 B.B.5(2016全国卷)在ABC 中，B，BC 边上的高等于 BC，则 sin A( )A.B. C.D.3 1010D D 过过 A A 作作 ADBCADBC 于于 D D，设，设 BCBCa a，由已知得，由已知得ADAD.B.B，ADADBDBD，BDB
16、DADAD，DCDCa a，ACACa a，在，在ABCABC中，由正弦定理得，中，由正弦定理得，sin BAC，故选 D.二、填空题6(2017郴州模拟)在ABC 中，a15，b10，A60，则 cos B_.由正弦定理可得，所以 sin B，再由 ba，可得 B 为63锐角，所以 cos B.10 / 137(2016青岛模拟)如图 361 所示，在ABC 中，已知点 D在 BC 边上，ADAC，sinBAC，AB3，AD3，则 BD 的长为_图 361sinBACsin(90BAD)cosBAD，3在ABD 中，有 BD2AB2AD2ABADcosBAD，BD21892333，BD.8已
17、知ABC 中，AB，BC1，sin Ccos C，则ABC 的面积为_. 【导学号：31222132】由 sin Ccos C 得 tan C0，所以 C.32根据正弦定理可得，即2，所以 sin A.因为 ABBC，所以 AC，所以 A，所以 B，即三角形为直角三角形，故 SABC1.三、解答题9在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知a2，c5，cos B. 【导学号：31222133】(1)求 b 的值；(2)求 sin C 的值解 (1)因为 b2a2c22accos B42522517，所以 b.5 分(2)因为 cos B，所以 sin B，7 分由正弦定理，
18、得，所以 sin C.12 分11 / 1310(2017云南二次统一检测)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，m(sin B,5sin A5sin C)与 n(5sin B6sin C，sin Csin A)垂直(1)求 sin A 的值；(2)若 a2，求ABC 的面积 S 的最大值解 (1)m(sin B,5sin A5sin C)与 n(5sin B6sin C，sin Csin A)垂直，mn5sin2B6sin Bsin C5sin2C5sin2A0，即 sin2Bsin2Csin2A.3 分根据正弦定理得 b2c2a2，由余弦定理得 cos A.A 是ABC 的
19、内角，sin A.6 分(2)由(1)知 b2c2a2，b2c2a22bca2.8 分又a2，bc10.ABC 的面积 Sbcsin A4，ABC 的面积 S 的最大值为 4.12 分B 组 能力提升(建议用时：15 分钟)1(2016山东高考)ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是a，b，c 已知 bc，a22b2(1sin A)，则 A( )A.B. C.D. 6C bc，BC.12 / 13又由 ABC 得 B.由正弦定理及 a22b2(1sin A)得sin2A2sin2B(1sin A)，即 sin2A2sin2(1sin A)，即 sin2A2cos2(1sin A)，即 4si
20、n2cos22cos2(1sin A)，整理得 cos20，即 cos2(cos Asin A)0.0A，0，cos 0，cos Asin A又 0A，A.2如图 362，在ABC 中，B45，D 是 BC 边上的点，AD5，AC7，DC3，则 AB 的长为_图 362在ADC 中，AD5，AC7，DC3，5 62由余弦定理得 cos ADC，所以ADC120，ADB60.在ABD 中，AD5，B45，ADB60，由正弦定理得，所以 AB.3在ABC 中，cos C 是方程 2x23x20 的一个根(1)求角 C；(2)当 ab10 时，求ABC 周长的最小值解 (1)因为 2x23x20，所以 x12，x2.2 分又因为 cos C 是方程 2x23x20 的一个根，所以 cos C，所以 C.5 分13 / 13(2)由余弦定理可得：c2a2b22ab(ab)2ab，7 分则 c2100a(10a)(a5)275，当 a5 时，c 最小且 c5，此时 abc105，所以ABC 周长的最小值为 105.12 分