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1、1 / 14【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第精选高考数学一轮复习第 3 3 章三角函数章三角函数解三角形第解三角形第 5 5 讲简单的三角恒等变换学案讲简单的三角恒等变换学案板块一 知识梳理自主学习必备知识考点 1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式考点 2 二倍角的正弦、余弦、正切公式公式名公式二倍角的正弦sin22sincos二倍角的余弦cos2cos2sin212sin22cos21二倍角的正切tan22tan 1tan2必会结论1降幂公式：cos2，sin2.2升幂公式：1cos22cos2，1cos22sin2.3公式变形：tantantan()(1tantan)
2、4辅助角公式：asinxbcosxsin(x)，其中 sin，cos .考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 ， 是任意的( )(2)存在实数 ，使等式 sin()sinsin 成立( )(3)在锐角ABC 中，sinAsinB 和 cosAcosB 大小不确定( )(4)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角( )(5)存在角 ，使得 sin22sin 成立( )答案 (1) (2) (3) (4) (5)22018江西九江模拟计算 sincos 的值为( )2 / 14A0 B C2 D.2答案 B解析 sincos22
3、sin2sin.故选 B.32017山东高考已知 cosx，则 cos2x( )A B. C D.1 8答案 D解析 cos2x2cos2x1221.故选 D.42018山西四校联考已知 sin，0，则 cos 的值是( )A. B. C D1答案 C解析 由已知得cos，sin，coscossin.52017江苏高考若 tan，则 tan_.答案 7 5解析 tantantan41tantan4，6tan61tan(tan1)，tan.tantan( 4) 4解法二：.62017全国卷函数 f(x)2cosxsinx 的最大值为_答案 5解析 f(x)2cosxsinx，设 sin，cos，
4、则 f(x)sin(x)，函数 f(x)2cosxsinx 的最大值为.3 / 14板块二 典例探究考向突破考向 三角函数的化简求值例 1 (1)2018衡水中学二调( )A4 B2 C2 D4答案 D解析 1 sin104.(2)4cos50tan40( )A. B. C. D21答案 C解析 4cos50tan404sin40cos40sin40 cos402sin100sin40 cos402 32cos402 1 2sin40sin40 cos40.触类旁通三角函数式化简的常用方法(1)异角化同角：善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分，恰当选择三角公式，能求值的求出值，减少角的个数
5、(2)异名化同名：统一三角函数名称，利用诱导公式切弦互化、二倍角公式等实现名称的统一(3)异次化同次：统一三角函数的次数，一般利用降幂公式化高次为低次【变式训练 1】 (1)2018九江模拟化简等于( )A2 B C1 D1答案 C4 / 14解析 1.(2)计算：tan204sin20_.答案 3解析 原式4sin20sin204sin20cos20 cos203(32cos1012sin10) cos20.5 / 14考向 三角函数的条件求值命题角度 1 给值求值问题例 2 (1)2016全国卷若 cos，则 sin2( )A. B. C D7 25答案 D解析 解法一：sin2cosco
6、s2cos21221.故选 D.解法二：cos(cossin)cossin1sin2，sin2.故选 D.(2)2017全国卷已知 ，tan2，则 cos_.答案 3 1010解析 coscoscossinsin 4(cossin)又由 ，tan2，知 sin，cos，cos.命题角度 2 给值求角问题例 3 (1)2018江苏徐州质检已知 cos，cos()，且 00，00，00)求周期；根据自变量的范围确定 x 的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值；根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数yAsin(x)t 或 yAcos(x)t 的单调区间【变式训练 2】 已知函数 f(x)
7、cos2xcos2，xR.(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)在上的最大值和最小值解 (1)f(x)cos2xcos2(x 6)1cos(2x3) 2sin2xcos2x1sin1，则函数 f(x)的最小正周期 T.(2)函数 f(x)在上单调递增，在上单调递减f，f1，f1，f(x)min，f(x)max1.核心规律重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式” ；8 / 14变角：对角的拆分要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证
8、明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形满分策略1.运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通2.三角变换的应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为最简形式 yAsin(x)再研究性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题.板块三 启智培优破译高考规范答题系列 2逆向思维构造辅助角公式解题2017北京高考已知函数 f(x)cos2sinxcosx.(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求证：当 x时，f(x).解题视点 (1)根据三角恒等变换公式将函数解析式化
9、简为“一角一函数”的形式，(2)证明 f(x)时注意 x 的取值范围解 (1)f(x)cos2xsin2xsin2xsin2xcos2xsin，所以 f(x)的最小正周期 T.(2)证明：因为x，所以2x.所以 sinsin，所以当 x时，f(x).9 / 14答题模板 第一步：将 f(x)化为 asinxbcosx 的形式；第二步：构造 f(x)；第三步：和差公式逆用 f(x)sin(x)(其中 为辅助角)；第四步：利用 f(x)sin(x)研究三角函数的性质；第五步：反思回顾，查看关键点、易错点和解题规范化简时公式的准确应用是灵魂；研究三角函数性质时注意整体思想的应用跟踪训练已知函数 f(
10、x)2sinxsin.(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)当 x时，求函数 f(x)的值域解 (1)f(x)2sinxsin2xsin.所以函数 f(x)的最小正周期为 T.由2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，所以函数 f(x)的单调递增区间是，kZ.(2)当 x时，2x，sin，f(x).故 f(x)的值域为.板块四 模拟演练提能增分A 级 基础达标12017全国卷已知 sincos，则 sin2( )A B C. D.7 9答案 A解析 sincos，(sincos)212sincos1sin2，sin2.故选 A.22017山东高考函数 ysin2xcos2x 的
11、最小正周期为( )A. B. C D2答案 C解析 ysin2xcos2x2sin，T.故选 C.10 / 1432018武汉模拟计算 tan15的值为( )A. B2 C4 D22答案 C解析 tan154.故选 C.42018重庆质检计算 sin20cos110cos160sin70的值为( )A0 B1 C1 D.1 2答案 C解析 原式sin20cos(18070)cos(18020)sin70sin20cos70cos20sin70(sin20cos70cos20sin70)sin901.故选C.5在ABC 中，tanAtanBtanAtanB，则 C 等于( )A. B. C. D
12、. 4答案 A解析 由已知得 tanAtanB(1tanAtanB)，即 tan(AB).又 tanCtan(AB)tan(AB)，0C，C.62018大连模拟若，则 tan2 等于_答案 3 4解析 ，等式左边分子、分母同除以 cos，得，解得tan3，则 tan2.7已知 sincos2，则 tan_.答案 33解析 sin12sin2，2sin2sin10.(2sin1)(sin1)0，11 / 142sin10.sin，cos.tan.82017全国卷函数 f(x)sin2xcosx的最大值是_答案 1解析 f(x)1cos2xcosx21.x，cosx0,1，当 cosx时，f(x)
13、取得最大值，最大值为 1.9已知 f(x)2sinxcosx2cos2x1(xR)(1)求函数 f(x)的最小正周期及在上的最大值和最小值；(2)若 f(x0)，x0，求 cos 的值解 (1)f(x)2sinxcosx2cos2x1sin2xcos2x2sin，函数 f(x)的最小正周期为 T，x，2x，f(x)maxf2，f(x)minf1.(2)由(1)可知 f(x0)2sin，即 sin，又x0，2x0，cos0，即 cos.102018宝鸡模拟已知 为锐角，cos.(1)求 tan 的值；(2)求 sin 的值解 (1)因为 ，所以 ，所以 sin，所以 tan2.(2)因为 sin
14、sin2( 4)12 / 142sincos，coscos2cos21，所以 sinsin(2 2) 6sincoscossin 6.B 级 知能提升12018天水模拟若 ，sin2，则 sin 等于( )A. B. C. D.3 4答案 D解析 因为 ，所以 2，cos20，所以cos2.又因为 cos212sin2，所以sin2，sin.故选 D.22017全国卷函数 f(x)sincos 的最大值为( )A. B1 C. D.1 5答案 A解析 f(x)sincos(x 6)cosxsinxsinxcosxcosxsinxsinxcosxsin，当 x2k(kZ)时，f(x)取得最大值.
15、故选 A.，解法二：f(x)sincos(x 6)sincos( 6x)sinsin(x 3)sin.f(x)max.故选 A.13 / 1432016全国卷已知 是第四象限角，且 sin，则tan_.答案 4 3解析 因为 是第四象限角，且 sin，所以 为第一象限角，所以 cos，所以 tan.4已知函数 f(x)22sin2.(1)若 f(x)，求 sin2x 的值；(2)求函数 F(x)f(x)f(x)f2(x)的最大值与单调递增区间解 (1)由题意知 f(x)1sinx(1cosx)sinxcosx，又f(x)，sinxcosx，sin2x1，sin2x.(2)F(x)(sinxco
16、sx)sin(x)cos(x)(sinxcosx)2cos2xsin2x1sin2xcos2xsin2x1sin1，当 sin1 时，F(x)取得最大值，即 F(x)max1.令2k2x2k(kZ)，kxk(kZ)，从而函数 F(x)的最大值为1，单调递增区间为(kZ)k3 8，k852018四川检测已知函数 f(x)cosxsincos2x，xR.(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)在闭区间上的最大值和最小值解 (1)由已知，有14 / 14f(x)cosxcos2x34sinxcosxcos2x34sin2x(1cos2x)34sin2xcos2xsin.所以 f(x)的最小正周期 T.(2)由 x得 2x，则 sin，即函数 f(x)sin.所以函数 f(x)在闭区间上的最大值为，最小值为.