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1、- 1 - / 8【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习不等式选讲精选高考数学一轮复习不等式选讲 2 2 证明不等式的基证明不等式的基本方法课时提升作业理选修本方法课时提升作业理选修 4_54_5(45(45 分钟分钟 6060 分分) )1.已知 ab0,求证:2a3-b32ab2-a2b.【证明】2a3-b3-(2ab2-a2b)=(2a3-2ab2)+(a2b-b3)=2a(a2-b2)+b(a2-b2)=(a2-b2)(2a+b)=(a+b)(a-b)(2a+b),因为 ab0,所以 a+b0,a-b0,2a+b0,所以(a+b)(a-b)(2a+b)0,所以 2a3-b
2、3-(2ab2-a2b)0,所以 2a3-b32ab2-a2b.2.(2016长沙模拟)设函数 f(x)=|x+a2|+|x-b2|,其中 a,b 为实数.(1)若 a2+b2-2a+2b+2=0,解关于 x 的不等式 f(x)3.(2)若 a+b=4,证明:f(x)8.【解析】(1)由 a2+b2-2a+2b+2=0,可得(a-1)2+(b+1)2=0,故 a=1,b=-1;于是有f(x)=|x+1|+|x-1|=所以 f(x)3 的解集为- 2 - / 8.(2)f(x)=|x+a2|+|x-b2|a2+b2|=a2+b2,由于 a2+b22ab,所以 2(a2+b2)(a+b)2=16,
3、故 a2+b28,即 f(x)8 得证.【加固训练】已知实数 x,y 满足:0,所以|1-4ab|24|a-b|2,故|1-4ab|2|a-b|.【加固训练】已知函数 f(x)=|x-1|.(1)解不等式 f(x)+f(x+4)8.(2)若|a|a|f.【解析】(1)f(x)+f(x+4)=|x-1|+|x+3|=当 x|a|f,即证|ab-1|a-b|.因为|a|0,即|ab-1|a-b|.故所证不等式成立.6.已知ABC 三边 a,b,c 的倒数成等差数列,证明:B 为锐角.【证明】要证明B 为锐角,根据余弦定理,也就是证明 cosB=0,即需证 a2+c2-b20.由于 a2+c2-b2
4、2ac-b2,要证 a2+c2-b20.只需证 2ac-b20.因为 a,b,c 的倒数成等差数列,所以+=,- 6 - / 8即 2ac=b(a+c).所以要证 2ac-b20.只需证 b(a+c)-b20,即 b(a+c-b)0.上述不等式显然成立.所以B 必为锐角.【加固训练】1.已知 a0,求证:-a+-2.【证明】要证-a+-2,只需证+2a+,只需证 a2+4+4a2+2+2+2,即证 2,只需证 42,即证 a2+2,此式显然成立.所以原不等式成立.2.(2016芜湖模拟)已知 a,b 为正实数.(1)求证:+a+b.(2)利用(1)的结论求函数 y=+(00,b0,所以(a+b
5、)=a2+b2+a2+b2+2ab=(a+b)2.所以+a+b,当且仅当 a=b 时等号成立.- 7 - / 8方法二:因为+-(a+b)=.因为 a0,b0,所以0,当且仅当 a=b 时等号成立.所以+a+b.(2)因为 00,由(1)的结论,函数 y=+(1-x)+x=1.当且仅当 1-x=x,即 x=时等号成立.所以函数 y=+(00,n0),求证:m+2n3+2.【解析】(1)方法一:当 x4 时 2x+1-(x-4)=x+50 得 x-5,所以 x4 成立,- 8 - / 8当-x0 得 x1,所以 10 得 x1 或 x1 或 x1 或 x0,n0),所以 m+2n=(m+2n)=3+3+2,当且仅当 m=1+,n=1+时取等号.