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1、2018-2019学年江苏省镇江市高二（上）期末数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填答题卡相应位置上.1（5分）命题“对任意的xR，x210”的否定是 2（5分）已知命题p：多面体ABCD为正三棱锥，命题q：多面体ABCD为正四面体，则命题p是命题q的 条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”之一）3（5分）以x1为准线的抛物线的标准方程是 4（5分）鲁班被草叶划伤后发明了锯子，鲁班用的是 推理（在“演绎”、“类比”、“归纳”中选一个合适的填空）5（5分）直线x+2y0与圆（x3）2+（y1）225
2、相交于A，B两点，则线段AB的长为 6（5分）函数f（x）sinx在-2，2上的平均变化率是 7（5分）若双曲线C：x2a2-y2b2=1的焦距为8，点M（1，3）在其渐近线上，则双曲线C的准线方程为 8（5分）已知函数f（x）=cosxsinx的导函数为f（x） 9（5分）现有一个底面半径为8cm，高为4cm的圆锥状实心铁器，将其高温融化后铸成一个实心铁球（不计损耗），则该铁球的半径是 cm10（5分）已知e是自然对数的底数，n是自然数，函数f0（x）=xex，设fn+1（x）为fn（x）的导函数，f1（x）f0（x）=1-xex，f2（x）f1（x）=x-2ex，f3（x）f2（x）=3-
3、xex，根据以上结果，推断f2019（x） 11（5分）设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1且垂直于x轴的弦长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是 12（5分）若方程1-x2=a（x+2）有两个不相等的实数解，则实数a的取值范围是 13（5分）做一个正四棱柱形状容积为256m3的无盖水箱，则高为 m时，所用材料最省14（5分）若函数f（x）=2x+3x，x0ax-lnx，x0，恰有两个不同零点，则实数a的取值范围为 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15（14分）如图，在四棱锥
4、PABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD平面ABCD，APAD，M，N分别为棱PD，PC的中点求证：（1）MN平面PAB；（2）AM平面PCD16（14分）（1）已知ab0，m0，用分析法证明：bab+ma+m；（2）已知实数a，b，c，d满足ac2（b+d），用反证法证明：方程x2+ax+b0与方程x2+cx+d0至少有一个方程有实根17（14分）已知函数f（x）=13x34x+13的定义域为3，4（1）求函数yf（x）的最大值和最小值；（2）试求函数yf（x）的零点个数18（16分）某小区边角有块空地，空地由半圆O和矩形EFGH两部分组成，其中EF为半圆直径，长度为200米，矩形EFG
5、H的宽FG长度为100米开发商准备利用这块区域建一个矩形游泳池ABCD，设计要求A，B在半圆周边界上，C，D在GH边界上，如图所示设AOE（1）求游泳池的面积S关于的函数关系式；（2）试确定的值，使得游泳池的面积S最大，并求出最大值19（16分）如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0）过点（0，1）和（1，22），圆O：x2+y2b2直线AB与圆O相切，切点在第一象限内，且与椭圆C交于A，B两点（1）求椭圆C和圆O的标准方程；（2）若OAB的面积为64，求直线AB的方程；（3）设圆O与x轴正半轴的交点为D，求证：DAB的周长为定值20（16分）已知函数f（x）ex，g（x）lnx，其
6、中e为自然对数的底数（1）求函数yf（x）g（x）的图象在x1处的切线方程；（2）若对任意0x1x2，均有g（x2）g（x1）1f(x2)-1f(x1)成立，求实数的取值范围；（3）设函数h（x）（x2）f（x）+g（x）x，求证：对任意的x12，1，h（x）3恒成立附加卷21（10分）求函数y3cos（2x-3）在x=512处的切线方程22（10分）已知定点A（2，0），点B是圆x2+y28x+120上一动点，求AB中点M的轨迹方程23（10分）已知n为正整数，请用数学归纳法证明：1+12+13+1n2n24（10分）如图，在四棱锥SABCD中，SD平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，A
7、DCDAB90，SDADAB2，DC1（1）求二面角SBCA的余弦值；（2）设P是棱BC上一点，E是SA的中点，若PE与平面SAD所成角的正弦值为22613，求线段CP的长2018-2019学年江苏省镇江市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填答题卡相应位置上.1（5分）命题“对任意的xR，x210”的否定是“存在xR，x210”【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以：命题“对任意的xR，x210”的否定是“存在xR，x210”故答案为：“存在xR，x210”2（5分）已知命题p：多面体AB
8、CD为正三棱锥，命题q：多面体ABCD为正四面体，则命题p是命题q的必要不充分条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”之一）【解答】解：底面是正三角形，且顶点在底面射影是底面三角形中心的三棱锥叫正三棱锥，侧棱和底面三角形的边长不一定相等，二所有棱长都相等的三棱锥叫正四面体，则命题p是命题q的必要不充分条件，故答案为：必要不充分3（5分）以x1为准线的抛物线的标准方程是y24x【解答】解：根据题意，要求抛物线的准线方程为x1，则抛物线的开口向左，且p2=1，则抛物线的标准方程为：y24x；故答案为：y24x4（5分）鲁班被草叶划伤后发明了锯子，鲁班用的是“类比”推理
9、（在“演绎”、“类比”、“归纳”中选一个合适的填空）【解答】解：鲁班被草叶划伤后发明了锯子，鲁班用的是“类比”推理故答案为：“类比”5（5分）直线x+2y0与圆（x3）2+（y1）225相交于A，B两点，则线段AB的长为45【解答】解：圆（x3）2+（y1）225的圆心坐标为（3，1），半径为5圆心（3，1）到直线x+2y0的距离d=|13+21|12+22=5，线段AB的长为2r2-d2=225-5=45故答案为：456（5分）函数f（x）sinx在-2，2上的平均变化率是2【解答】解：函数f（x）sinx在-2，2上的平均变化率为：f(2)-f(-2)2-(2)=sin2-sin(-2)=
10、2故答案为：27（5分）若双曲线C：x2a2-y2b2=1的焦距为8，点M（1，3）在其渐近线上，则双曲线C的准线方程为x1【解答】解：根据题意，双曲线C：x2a2-y2b2=1的焦距为8，即2c8，则c4，若点M(1，3)在其渐近线上，则双曲线的一条渐近线方程为y=3x，又由双曲线的方程为x2a2-y2b2=1，则有ba=3，又由c4，则a2+b2c216，解可得a24，b212，则双曲线的方程为：x24-y212=1，其中a2c=1，则其准线方程为x1，故答案为：x18（5分）已知函数f（x）=cosxsinx的导函数为f（x）-1sin2x【解答】解：f（x）=(cosx)sinx-co
11、sx(sinx)sin2x=-sin2x-cos2xsin2x=-1sin2x，故答案为：-1sin2x9（5分）现有一个底面半径为8cm，高为4cm的圆锥状实心铁器，将其高温融化后铸成一个实心铁球（不计损耗），则该铁球的半径是4cm【解答】解：设铁球的半径是Rcm，则V圆锥V球，即13824=43R3，解得：R4（cm）故答案为：410（5分）已知e是自然对数的底数，n是自然数，函数f0（x）=xex，设fn+1（x）为fn（x）的导函数，f1（x）f0（x）=1-xex，f2（x）f1（x）=x-2ex，f3（x）f2（x）=3-xex，根据以上结果，推断f2019（x）2019-xex【
12、解答】解：f1（x）f0（x）=1-xex，f2（x）f1（x）=x-2ex，f3（x）f2（x）=3-xex，f4（x）f3（x）=x-4ex，依此类推，fn（x）（1）nx-nex，f2019（x）=2019-xex，故答案为：2019-xex11（5分）设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1且垂直于x轴的弦长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是12【解答】解：过F1且垂直于x轴的弦长等于 2b2a，点F1到l1的距离为 a2c-c，由条件知， 2b2a=a2c-c，即 2a=1c，ca=12，故答案为：1212（5分）若方程1-x2=a（x+2）
13、有两个不相等的实数解，则实数a的取值范围是0，33）【解答】解：画出函数y=1-x2，与ya（x+2）的图象，即以O为圆心，1为半径的上半圆与恒过定点（2，0）的直线ya（x+2），如图：方程1-x2=a（x+2）有两个不相等实数解，可得|2a|1+a21，解得a（-33，33），结合图象可得：a0，33）故答案为：0，33）13（5分）做一个正四棱柱形状容积为256m3的无盖水箱，则高为4m时，所用材料最省【解答】解：设底边长为xm，（x0）由题意可得，高h=256x2m用料yx2+4xhx2+4256x=x2+512x+512x33x2512x512x=192，当且仅当x2=512x即x8
14、时取等号故它的底边长为8，高为4时最省材料故答案为：414（5分）若函数f（x）=2x+3x，x0ax-lnx，x0，恰有两个不同零点，则实数a的取值范围为a0或a=1e【解答】解：当x0时，由f（x）2x+3x0得3x2x，由图象知此时方程3x2x有一个根，即此时函数f（x）有一个零点，若f（x）恰有两个不同零点，则等价为当x0时，函数f（x）axlnx有一个零点，由f（x）axlnx0得a=lnxx，设g（x）=lnxx，则函数的导数g（x）=1xx-lnxx2=1-lnxx2，由g（x）0得1lnx0，得lnx1，得0xe，此时函数f（x）单调递增，由g（x）0得1lnx0，得lnx1，
15、得xe，此时函数f（x）单调递减，即当xe时，函数f（x）取得极大值g（e）=lnee=1e，当x1时，0g（x）1e，当0x1时，g（x）0，则g（x）的对应图象为，若a=lnxx只有一个根，则a0或a=1e，即实数a的取值范围是a0或a=1e，故答案为：a0或a=1e二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15（14分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD平面ABCD，APAD，M，N分别为棱PD，PC的中点求证：（1）MN平面PAB；（2）AM平面PCD【解答】证明：（1）因为M、N分别为PD、PC
16、的中点，所以MNDC，又因为底面ABCD是矩形，所以ABDC所以MNAB，又AB平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB（2）因为APAD，P为PD的中点，所以AMPD因为平面PAD平面ABCD，又平面PAD平面ABCDAD，CDAD，CD平面ABCD，所以CD平面PAD，又AM平面PAD，所以CDAM因为CD、PD平面PCD，CDPDD，AM平面PCD16（14分）（1）已知ab0，m0，用分析法证明：bab+ma+m；（2）已知实数a，b，c，d满足ac2（b+d），用反证法证明：方程x2+ax+b0与方程x2+cx+d0至少有一个方程有实根【解答】解：（1）要证明：bab+ma+m
17、成立，由于ab0，m0，则证明b（a+m）a（b+m），即证ab+bmab+am成立，即bmam成立，即ba成立即可，由条件知ba成立，则bab+ma+m成立（2）反证法：假设结论不成立，即方程x2+ax+b0与方程x2+cx+d0都没有实根，则判别式满足1a24b0，2c24d0，则a2+c24d4b0，即4d+4ba2+c2，即4d+4ba2+c22ac，即2（b+d）ac，与条件ac2（b+d）矛盾，即假设不成立，则原命题成立17（14分）已知函数f（x）=13x34x+13的定义域为3，4（1）求函数yf（x）的最大值和最小值；（2）试求函数yf（x）的零点个数【解答】解：（1）函数f
18、（x）=13x34x+13的导数为f（x）x24，由f（x）0，可得x2，由f（2）=173，f（2）5，f（3）=103，f（4）=173，可得f（x）的最小值为5，最大值为173；（2）由（1）可得f（x）在（2，2）递减；在（3，2），（2，4）递增，可得f（x）在x2处取得极大值1730；f（x）在x2处取得极小值50，且f（3）=1030，f（4）=1730，可得f（x）在3，4的零点个数为218（16分）某小区边角有块空地，空地由半圆O和矩形EFGH两部分组成，其中EF为半圆直径，长度为200米，矩形EFGH的宽FG长度为100米开发商准备利用这块区域建一个矩形游泳池ABCD，设计
19、要求A，B在半圆周边界上，C，D在GH边界上，如图所示设AOE（1）求游泳池的面积S关于的函数关系式；（2）试确定的值，使得游泳池的面积S最大，并求出最大值【解答】解：（1）由于EF200，则AO100，FG100，AD100sin+100100（sin+1），AB2100cos200cos，S（）ABAD20000（sin+1）cos，02，（2）由（1）可得S（）20000（sincos+cos），设f（）sincos+cos，02，f（）cos2sin2sin2sin2sin+1（2sin1）（sin+1），令f（）0，解得sin=12，即=6，当06时，即0sin12时，f（）0，函数
20、f（）单调递增，当62时，即12sin1时，f（）0，函数f（）单调递减，故当=6，f（）maxf（6）=1232+32=334，Smax20000334=15000319（16分）如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0）过点（0，1）和（1，22），圆O：x2+y2b2直线AB与圆O相切，切点在第一象限内，且与椭圆C交于A，B两点（1）求椭圆C和圆O的标准方程；（2）若OAB的面积为64，求直线AB的方程；（3）设圆O与x轴正半轴的交点为D，求证：DAB的周长为定值【解答】解：（1）将两点坐标代入椭圆C的方程可得02a2+12b2=112a2+(22)2b2=1，得a2=2b2=1
21、，所以，椭圆C的标准方程为x22+y2=1，圆O的标准方程为x2+y21；（2）由于OAB的高为1，OAB的面积为12|AB|1=64，得|AB|=62由题意可知，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为ykx+m，即kxy+m0，则k0，由于直线AB与圆O相切，则|m|k2+1=1，化简得m2k2+1，设点A（x1，y1）、B（x2，y2），将直线AB的方程与椭圆方程联立，消去y并化简得（2k2+1）x2+4kmx+2m220，由韦达定理可得x1+x2=-4km2k2+1，x1x2=2m2-22k2+1，所以，|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+k2(-
22、4km2k2+1)2-4(2m2-2)2k2+1=22(1+k2)(2k2+1-m2)2k2+1=22k2(k2+1)2k2+1=62，化简得4k4+4k230，即（2k21）（2k2+3）0，由于k0，解得k=-22，由于直线AB与圆的切点在第一象限，则m0，所以，m=k2+1=62，因此，直线AB的方程为y=-22x+62；（3）易知点D（1，0），设直线AB与圆O的切点为p（x0，y0），则x00，y00，且x02+y02=1，由于点A（x1，y1），则x122+y12=1，所以，y12=1-x122，且0x12，|AD|=(x1-1)2+y12=x12-2x1+1+1-x122=x12
23、2-2x1+2=|22x1-2|=2-22x1，同理可得|BD|=2-22x2，由勾股定理可得|AP|=|OA|2-|OP|2=x12+y12-1=x12+1-x122-1=22x1，同理可得|BP|=22x2，因此，ABD的周长为|AD|+|BD|+|AP|+|BP|=2-22x1+2-22x2+22x1+22x2=22所以，DAB的周长为定值20（16分）已知函数f（x）ex，g（x）lnx，其中e为自然对数的底数（1）求函数yf（x）g（x）的图象在x1处的切线方程；（2）若对任意0x1x2，均有g（x2）g（x1）1f(x2)-1f(x1)成立，求实数的取值范围；（3）设函数h（x）（
24、x2）f（x）+g（x）x，求证：对任意的x12，1，h（x）3恒成立【解答】解：（1）函数F（x）exlnx的导数为F（x）ex（lnx+1x），可得F（x）在点（1，F（1）处的切线斜率为ke（ln1+1）e，切点为（1，0），即有f（x）在点（1，F（1）处的切线方程为y0e（x1），化简为yexe；（2）：由g（x2）g（x1）1f(x2)-1f(x1)得：g（x1）-f(x1)g（x2）-f(x2)，令H（x）g（x）f（x）1lnx-ex，（x0），依题意只需H（x）在（0，+）单调递增即可，H（x）=ex+xex，只需ex+x0在（0，+）上恒成立即可，即-exx，令m（x）=-
25、exx，（x0），m(x)=-ex(x-1)x2可得m（x）在（0，1）递增，在（1，+）递减，m（x）m（1）e，故e；（3）函数h（x）（x2）f（x）+g（x）x（x2）ex+lnxx，易得lnxx1，h（x）（x2）ex+lnxx（x2）ex1，令G（x）（x2）ex1，x12，1，G（x）（x1）ex0G（x）在12，1单调递减，G（x）G（12）=-32e-1-3，故对任意的x12，1，h（x）3恒成立附加卷21（10分）求函数y3cos（2x-3）在x=512处的切线方程【解答】解：函数y3cos（2x-3），可得y6sin（2x-3），可得y|x=512=-6x=512，可得y
26、3cos（2512-3）0，函数y3cos（2x-3）在x=512处的切线方程：y6（x-512）22（10分）已知定点A（2，0），点B是圆x2+y28x+120上一动点，求AB中点M的轨迹方程【解答】解：设M（x，y），B（m，n），可得点A（2，0），M是AB的中点，由中点坐标公式得-2+m=2x0+n=2y，解得m2x+2，n2yB（m，n）在圆C：x2+y28x+120上运动，可得（2x+2）2+（2y）28（2x+2）+120，（x+1）2+y24x10，化简得（x1）2+y21，即为AB的中点M的轨迹方程23（10分）已知n为正整数，请用数学归纳法证明：1+12+13+1n2n【
27、解答】证明：当n1时，121=2，不等式成立，假设nk时，不等式成立，即1+12+13+1k2k，当nk+1时，1+12+13+1k+1k+12k+1k+1=2k(k+1)+1k+1k+k+1+1k+1=2k+1当nk+1时，不等式成立由得1+12+13+1n2nn为正整数，1+12+13+1n2n24（10分）如图，在四棱锥SABCD中，SD平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，ADCDAB90，SDADAB2，DC1（1）求二面角SBCA的余弦值；（2）设P是棱BC上一点，E是SA的中点，若PE与平面SAD所成角的正弦值为22613，求线段CP的长【解答】解：（1）以D为原点建立如图所示
28、的空间直角坐标系Dxyz，则D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，1，0），S（0，0，2）SB=(2，2，-2)，SC=(0，1，-2)，DS=(0，0，2)设面SBC的法向量为m=(x，y，z)由mSB=2x+2y-2z=0mSC=y-2z=0可取m=(-1，2，1)SD面ABC，取面ABC的法向量为n=(0，0，1)|cosm，n|=66，二面角SBCA为锐角二面角SBCA的余弦值为66（2）由（1）知E（1，0，1），则CB=(2，1，0)，CE=(1，-1，1)，设CP=CB，（01）则CP=(2，0)，PE=CE-CP=(1-2，-1-，1)易知CD面SAD，面SAD的法向量可取CD=(0，1，0)|cosPE，CD|=+152-2+3=22613，解得=13或=119（舍去）此时CP=(23，13，0)，|CP|=53，线段CP的长为53声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/12/27 12:21:55；用户：13029402512；邮箱：13029402512；学号：24164265第17页（共17页）