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1、布尔巴基数学哲学深度剖析,自然辩证法论文20 世纪 30 年代开场，法国崛起一批年轻的学者，他们思想活泼踊跃，思维敏捷，另辟蹊径，闯出了一条当代数学发展的新路。这个自称为也广被人们称之为布尔巴基Bourbaki学派的主要代表人物有J.迪多内Dieudonne、A.魏伊A. weil、H.嘉当H. Cartan、C.谢瓦C. Chevally、德尔萨特J.Delsarte、厄莱斯曼C. Ehresman等人。他们以后都成为了世界数坛上享有盛誉的数学大师。这些人常年在数学杂志上发表论文，编写和陆续出版多卷本(数学原理(Elements de Mathematique半个世纪已完成了40分册，举办数
2、学讨论班，其数学活动和数学成果对当代数学产生了相当大的影响。布尔巴基事业的鲜明特色是：聚集着时代年轻人的智慧，具体表现出出强大的气力和气势；薪火相传，后劲充足，昭示着光明的将来和辉煌。因而，它对世界的影响极为深远。布尔巴基的数学成就引起世界数坛包括中国数学界的高度重视，而布尔巴基数学哲学，其本身也是布尔巴基数学成就不可分割的部分。本文主要就布尔巴基数学哲学，作一番深入的分析。 一、布尔巴基数学哲学的核心思想 布尔巴基学派有着坚定的数学哲学，他们特别注重构建和修筑他们的数学哲学。让 迪多内是布尔巴基数学哲学的关键人物。从法国(迪多内选集中能够看到，让 迪多内在主张、宣扬布尔巴基数学哲学上是不遗余
3、力的，在该学派举办的数学讨论班上，让 迪多内就以 布尔巴基的数学哲学 为题作了重要报告，在报告的开场白中，他讲： 我觉得我在这次讨论会上听到的报告似乎为了到达双重目的：一方面是描绘1900年左右数学、逻辑和现实的关系的历史状况；另一方面是引出真正的数学哲学。我要讲的不属于这整个计划的，应当能够从这种爆炸性的发展中识别出趋势来。并且，他还讲，他写出了一本书(纯粹数学大纲：布尔巴基的选择，能够讲是这个讨论班上500多个已经发表的 报告 的导引，华而不实对于每个理论，都把它的问题、方式方法和结果作了扼要的叙述，这些理论在相应的 报告 中都愈加充分地讨论过。让 迪多内以 纯粹数学的当下趋势 为题发文阐
4、述了该学派分析纯粹数学当时的发展趋势的数学哲学。 20 世纪开始之年，德国着名数学家希尔伯特David Hilbert在巴黎国际数学家代表大会上作了题为 数学问题 的讲演。这篇讲演深入而长远地影响着人类数学的发展。希尔伯特说明， 只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力；而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止。 8, p.60布尔巴基学派正是认识到 问题是数学的心脏 康托尔语，看到 还存在着大量尚未解决的数学问题，它们是当下积极研究的对象，预示他们所处的时代数学会有进展。 6, p.124那么，纯粹数学的进展会表如今哪里？让 迪多内讲： 我以为，数学的进展产生于以下三个方面：解答问题
5、、理解数学现象和引进好的符号及方便的算法。显然，最后一方面只是数学所特有的。 6, p.124让 迪多内认真地阐述了这些远见卓识。他敏锐地看到：多个时代数学家们所面临的问题，都是前辈们遗留给他们的，或者是同时代的人提出来的。对于已经解决了的问题，经常性的兴趣并没有消失，由于经过讲明和综合之后，立即就会产生很多其他结果。实际上这样的问题在问题解决之前，它就产生过很多题目，华而不实一部分甚至至今尚未得到解决。哥德尔和科恩P. Cohen的着作告诉人们，根据当代数学中容许的公理，我们任何时候也不能证明问题的答案:是肯定的还能否定的。也就是讲，在任何时候都不能有把握地讲，数学问题的答案:究竟是 对 或
6、是 不对 。这就产生了一个问题：假如问题尚未解决，那么有没有可能，它是不可解的呢？数学问题最经常的解法是开场于经历体验探索，开场于对所做事情的意义没有完全理解然而都部分地或全部地到达了目的的成功的思想。有时，在仔细地分析这种思想，并发展现有的技术之后，人们就能够大大地扩大原始方式方法的应用范围，进而构成了同时能够解决其他问题的共同方式方法。问题是数学进展的主要源泉， 严肃的 数学问题或多或少会提示一些有生命的东西， 对于它们的自然进化是应当认真对待的。 6, pp.125-126为了了解问题的真实性质，经常是要打开全新的数学领域，新的思想和方式方法是至关重要的，例如，用根式解代数方程的问题就促
7、进了群论和场论的诞生。 当然，能够讲清楚真正本质的好的数学符号是绝不可少的，好的符号往往伴随着易于使用它们的算法，它们一旦确定之后， 就是永远如此，对它们的应用几乎是自动化的。 6, p.126从让 迪多内对以上三个方面的分析，布尔巴基学派着力研究纯粹数学的进展会表如今哪里，当然，他们要根据当时的情况指出进展的 主流 。主流的特征在于其某个分支之间有着多种互相联络并且相互之间施加互相的影响。与当时主流相关的，有 前主流 典型例子是数论及组合理论中的大量问题、 偏离开主流 如非交换及非结合代数、一般拓扑学以及抽象泛函分析和 离开主流 而集中于特殊的问题如单复变函数论的东西。接着，布尔巴基注重阐述
8、当时他们最关心的 某些普遍趋向 的主流，那就是： 从1840年左右开场，经过长期演化之后，到1920年左右，纯粹数学开场主要关注于研究构造而不是关注被赋予这些构造的对象。数学中的很多重要问题能够表述成：把给定的某种类型的构造按同构进行分类。 还有那些 个别的趋向及结果 ，这被布尔巴基看作是 现代数学中某些最重要的分支 。9, p.132它们是：逻辑及基础，代数拓扑学与微分拓扑学，微分流形与微分几何学，常微分方程，偏微分方程，一般理论及叶状构造，线性偏微分方程，巴拿赫空间、反响谱理论、巴拿赫代数，交换调和分析、遍分理论、概率论及位势论，李群、非交换调和分析及自守形式， 抽象群 ，解析几何，代数几
9、何及交换代数，数论等。 布尔巴基学派分别地考察了它们。当然，他们也清楚： 显然，在1940年以后，华而不实大多数分支中所用的方式方法甚至于基本概念已经有了根本的改变。 9, p.132布尔巴基学派的另一位重要成员A.魏伊也这么讲： 我既不能也不打算给数学的将来发展指明一条道路，这样做肯定是劳而无功的， 我们的目的是，在评述一些主要数学分支的经过中引起人们注意到这些问题生机勃勃茁壮成长，同时它们之间又有内在的统一性。 希尔伯特在他1900年的报告结束时讲：数学是一个有机整体，它的生命力正是在于它各部分之间的不可分割的联络。 10, pp.160-161高度分化高度综合是当代科学的重要特征，布尔巴
10、基学派的观点反映了这种时代特征。能够这么讲，布尔巴基的观点揭示了当时纯粹数学的进展趋势，并且把握、驾驭了这种趋势。把握、驾驭数学的进展趋势，这是把数学做强的重要举措。把握住当时纯粹数学的进展趋势，我们发现布尔巴基数学哲学表现出几个显着的特点：群策群力，凝聚智慧；各持己见，充分自由；汲取互补，相得益彰；体系开放，力戒僵化。 三、有效数学手段的采用及对当代数学研究的影响 20 世纪的法国数学，在世界数坛上占有举足轻重的地位，布尔巴基派的青年人们发起的 布尔巴基运动 ，从30年代末之后席卷整个法国，并且在全世界产生宏大影响。布尔巴基成员之中，产生了很多具有世界意义的数学大师。比方，布尔巴基的领袖成员
11、让 迪多内，发表了大量论文，他本人的(Treaiseon Analysis是具有世界影响的当代分析着作；领袖成员魏伊在代数数论和代数几何上的工作特别深入，是20世纪中叶以后世界上最重要的数学家之一；成员之一H.嘉当以多复变函数和同调代数驰名天下，是一位大数学家；成员之一歇瓦莱，建立了李Lie理论和有限群之间的桥梁，是一位奉献很大的数学家。 在布尔巴基成员中，获得菲尔兹奖的布尔巴基成员就有施瓦兹Schwartz，广义函数的奠基人、格罗申第克Grothendick，当代代数几何学家和塞尔Serre，(数学本来代数部分的主要奉献者。还有一名外国籍波兰的数学家爱伦伯格S. Eilenderg，同调代数
12、的制定者。后期诸多有名望的布尔巴基成员在这里就不逐一列举。 事业的辉煌和宏大的世界影响，是与重视数学沟通分不开的。 在专业上，科学家和数学家有严格的国际主义心态 。11, p.224让 迪多内讲，这是布尔巴基数学哲学的 社会学 。青年人要创始新领域，就必须对数学作一番巡视。首先，是布尔巴基的重要成员魏尔走出国外，了解到德国当时阿廷Artin，抽象代数奠基人之一、诺特Noether，一般理想理论、西格尔Siegel和海塞Hasse西格尔和海塞在20世纪20年代在任意代数数系数的二次型研究上获得重要结果。魏尔在60年代获得了新的进展这些数学家在代数方面的崭新工作，也了解了匈牙利黎兹Riesz和巴拿
13、赫Banach，利沃夫数学学派创始人之一创始的泛函分析，以及俄国学派在拓扑方面的重要进展，于是萌发了打破 函数论王国 束缚而对数学领域进行改造的念头。魏尔也在法国南希Nancy和美国芝加哥Chicago工作过。还有让 迪多内，1930年他正在准备博士学位论文，有一次他到柏林，看到荷兰数学家范德瓦尔登Waerden的名着(近世代数学，一方面他为范德瓦尔登的代数学高超成就所倾倒，另一方面他也敏锐地以为，范德瓦尔登只精通代数，而零乱地毫无层次地把拓扑、积分、空间等等材料摆放着。于是就有 也象范德瓦尔登那样把整个数学写成一套经过整理的专书 的想法。他将这个想法拿到了布尔巴基数学讨论班。逐步建立起来的构
14、造主义数学，以及在这个经过中产生的数学研究成果，也是通过沟通与合作，通过科学传播，在全世界展开影响的。下面，本文主要就对中国当代数学发展的影响，谈谈一些看法。 人们一般是这么以为，以为布尔巴基重视构造而不崇尚技巧。我们的研究以为，实际上，布尔巴基的辉煌数学成就，是与他们卓越的数学技巧和数学手段分不开的。布尔巴基数学讨论班的内容丰富多彩，有很多是与数学技巧和数学手段有关的。正如詹姆斯 布朗James Brown所讲： 为了了解事情的来龙去脉，我们需要使用各种各样的技巧和手段 基于这些科学方式方法是关于自然最可靠的信息资源的信念。 继续使用这些方式方法、优选和提炼这些方式方法，是合情合理的。 12
15、, p.10高明的数学技巧和手段的采用，来自于正确的思想方式方法。比方，曾经有一个重大的数学问题： 在一个线性变换下找出多项式的不变式问题。 解决这个问题困扰着很多数学家，甚至是一些着名的数学家，人们通常是通过计算来解决这个问题的，通过计算，某些特殊情况的多项式被人们找出来了，然而对一般问题的解决，困难却很大，由于计算量太大了，远远超出人们的运算的能力，在当时的条件下无法解决这个问题。希尔伯特则采用了另外一种手段：他先把要解决的问题分成两步，就是分成有没有存在这个问题 存在不存在着有限基本不变式 这是第一步；第二步是详细去找出这些不变式。他把这两步区别开来并分两步走，两步要一齐走太难了。他先走
16、第一步，就是先不去进行大量的详细计算，而是先用抽象的推理的办法证明了存在着有限个基本不变式，然后才给出详细找它的方式方法，进而解决了这个难题。年轻的布尔巴基敏锐地觉察到希尔伯特这个途径的重要意义，高屋建瓴，从数学哲学的角度上对希尔伯特数学方式方法进行汲取和提升，构成自个数学操作的风格。他们将 算 和 证 巧妙地结合起来，并将 算 和 证 的交替使用拓展成一种较为普遍的数学手段。它成为了当代纯粹数学中解决数学问题特别通行的办法。在数学研究中，有计算和证明这两种不同的手段和风格。所谓的 算 ，是把研究对象数量化，其操作一般是遵循一定的规则，并根据一定的程序，比拟机械地得出某种数学结果；所谓的 证
17、，是要以某些命题作为前提，根据定义和已有的定理，遵循逻辑推理的规则，经过操作，实现概念与关系之间的转换而得出某种数学结果。 算 和 证 又是相辅相成、相互联络的，它们在一定条件下也是能够转化的。擅于计算是中国传统数学的重要特点。这个特点恰恰是数学问题的机械化的内在机制。我们国家数学家吴文俊讲： 中国的古代数学基本上是一种机械化的数学。 13, p.42这条思路所开拓的前景是特别广阔的。吴文俊教授深有感慨地讲： 我们是在中国古代数学的启发下提出问题并想出解决问题办法来的。 13, p.42在撰写此文的经过中，笔者专门拜访了中国着名数学家吴文俊教授。吴文俊教授讲，中国古代数学的启发很深，国外数学家
18、的影响也很大，布尔巴基的数学思想和方式方法，对我们的工作意义就很大。 在布尔巴基数学哲学中，数学思想和数学方式方法也是 数学建筑学 布尔巴基学派用语的基础。拿对待 群 来讲，在 群 的学问中，布尔巴基学派汲取了大量有效的数学方式方法和数学技巧，并加以很好地发挥。我们的研究以为，布尔巴基看到，群构造不是仅仅适用于代数的运算，而且能够应用于不一样的成分，他们就捉住了这种特性，根据类似的抽象原理去展开对种种构造的研究。 布尔巴基学派的方式方法就是用组成同型性isomorphismes的办法，去抽绎出最普遍的构造，使它们不同门类的数学成分，不问这些成分来自哪个领域，完全根本不管它们本身的特殊性质，都服
19、从于这些最普遍的构造7, p.16在布尔巴基的数学哲学中，这样的思想和方式方法得到充分的具体表现出。本文在写作经过中，得到了吴文俊院士和厦门大学哲学系郭金彬教授的悉心指导，特此致谢。 参 考 文 献 1法让 迪多内：布尔巴基的数学哲学J，科学与哲学，19845。 2 Thomas, T., New Directions in the Philosophy of Mothemotics: An AnthologyM, Princeton: Priceton University Press, 1998.作者姓在前，名在后。例如：。Crick, F. H. C. 3法昂利 彭加勒：科学与假设M，北
20、京：商务印书馆，2006。 4 Stnmpf, S. E., James, F., Socrcurs to Sartre and Beyond: A History of PhilosophyM, McGraw-Hill Humanities, 2003. 5法昂利 彭加勒：科学与方式方法M，北京：商务印书馆，2006。 6法让 迪多内：论数学的进展A，中国科学院自然科学史研究所数学史组、中国科学院数学研究所数学史组：数学史译文集C，上海：上海科学技术出版社，1981。 7瑞士皮亚杰：构造主义M，北京：商务印书馆，1984。 8德大卫 希尔伯特：数学问题 在1900年巴黎国际数学家代表会上的讲
21、演A，中国科学院自然科学史研究所数学史组、中国科学院数学研究所数学史组：数学史译文集C，上海：上海科学技术出版社，1981。 9法L 迪多内：纯粹数学的当下趋势A，中国科学院自然科学史研究所数学史组、中国科学院数学研究所数学史组：数学史译文集C，上海：上海科学技术出版社，1981。 10法A. 魏伊：数学的将来J，科学与哲学，19845。 11美艾丽斯 卡拉普赖斯编，范岱年译：新爱因斯坦语录下M，上海：上海科技教育出版社，2008。 12 James, R. B., Who Rules in Science? An Opiruonated Guide to the WarsM, Harvard University Press, 2001. 13 吴文俊：机械化证明J，百科知识，19803。