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1、2018-2019学年广东省中山市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）命题p：x0R，f（x0）2，则p为（）AxR，f（x）2BxR，f（x）2Cx0R，f（x）2Dx0R，f（x）22（5分）已知a，bR，若ab，则（）Aa2bBabb2Ca12b12Da3b33（5分）等比数列an中，首项是a1，公比是q，则q1是数列an单调递增的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4（5分）不等式2x+2x+1的解集是（）A（3，2）（0，+）B（，3）（2，0
2、）C（3，0）D（，3）（0，+）5（5分）在等差数列an中，a1+a2+a1030，则a5+a6（）A3B6C9D126（5分）某些首饰，如手镯，项链吊坠等都是椭圆形状，这种形状给人以美的享受，在数学中，我们把这种椭圆叫做“黄金椭圆”，其离心率e=5-12设黄金椭圆的长半轴，短半轴，半焦距分别为a，b，c，则a，b，c满足的关系是（）A2ba+cBb2acCab+cD2bac7（5分）已知曲线ylnx的切线过原点，则此切线的斜率为（）AeBeC1eD-1e8（5分）若函数f（x）x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）A（1，2）B（，3）（6，+）C（3，6
3、）D（，1）（2，+）9（5分）已知平面内有一个点A（2，1，2），的一个法向量为n=（3，1，2），则下列点P中，在平面内的是（）A（1，1，1）B(1，3，32)C(1，-3，32)D(-1，3，-32)10（5分）设数列an的前n项和为Sn，且a11，Sn+nan为常数列，则an（）A13n-1B2n(n+1)C1(n+1)(n+2)D5-2n311（5分）下列命题正确的是（）若p=2x+3y，则p与x、y共面；若MP=2MA+3MB，则M、P、A、B共面；若OA+OB+OC+OD=0，则A、B、C、D共面；若OP=12OA+56OB-13OC，则P、A、B、C共面A1B2C3D412（
4、5分）已知函数f（x）ex，g（x）lnx2+12，对任意aR存在b（0，+）使f（a）g（b），则ba的最小值为（）A2e-1Be2-12C2ln2D2+ln2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分13（5分）若变量x，y满足约束条件x1y2x-y2，则z2xy取得最大值时的最优解为 14（5分）平面内，线段AB的长度为10，动点P满足|PA|6+|PB|，则|PB|的最小值为 15（5分）如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60，再由点C沿北偏东15方
5、向走10米到位置D，测得BDC45，则塔AB的高是 米16（5分）记Sn为正项等比数列an的前n项和，若S42S22，则S6S4的最小值为 三、解答题：本大題共有6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）已知数列an为单调递增数列，a11，其前n项和为Sn，且满足2Snan22Sn1+1（n2，nN+）（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn=1anan+1其前n项和为Tn，若Tn919成立，求n的最小值18（12分）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ctanC=3（acosB+bcosA）（1）求角C；（2）若c23，求ABC面积的最大值
6、19（12分）如图，在半径为30cm的半圆形铁皮上截取一块矩形材料A（点A，B在直径上，点C，D在半圆周上），并将其卷成一个以AD为母线的圆柱体罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗）（1）若要求圆柱体罐子的侧面积最大，应如何截取？（2）若要求圆柱体罐子的体积最大，应如何截取？20（12分）在MAB中，点A（1，0），B（1，0），且它的周长为6，记点M的轨迹为曲线E（1）求E的方程；（2）设点D（2，0），过点B的直线与E交于不同的两点P、Q，PDQ是否可能为直角，并说明理由21（12分）如图，D是AC的中点，四边形BDEF是菱形，平面BDEF平面ABC，FBD60，ABBC，AB=BC=2（1）若
7、点M是线段BF的中点，证明：BF平面AMC；（2）求平面AEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值22（12分）已知函数f(x)=12ax2+(a-1)x+(1-2a)lnx，g(x)=32ax-ex-1（）当a0时，讨论函数f（x）的单调性；（）若f（x）g（x）在区间（0，1上恒成立，求实数a的取值范围2018-2019学年广东省中山市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）命题p：x0R，f（x0）2，则p为（）AxR，f（x）2BxR，f（x）2Cx0R，f（x）2
8、Dx0R，f（x）2【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：x0R，f（x0）2，则p为：xR，f（x）2故选：B2（5分）已知a，bR，若ab，则（）Aa2bBabb2Ca12b12Da3b3【解答】解：a，bR，若ab，对A，ab，若b0，则b2b；b0，则b2b；b0，则b2b，故A错误；对B，若b0，则abb2；若b0，则abb2；若b0，则abb2，故B错误；对C，a，b0，则a12b12，若a，b中有负的，则不成立，故C错误；对D，yx3在R上递增，可得a3b3，故D正确故选：D3（5分）等比数列an中，首项是a1，公比是q，则q1是数列an单调递增的（）A充分不必
9、要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：若a10，q1时，an递减，数列an单调递增不成立若数列an单调递增，当a10，0q1时，满足an递增，但q1不成立“公比q1”是“数列an单调递增”的既不充分也不必要条件故选：D4（5分）不等式2x+2x+1的解集是（）A（3，2）（0，+）B（，3）（2，0）C（3，0）D（，3）（0，+）【解答】解：不等式2x+2x+1等价于 x(x+3)x+20如图，把各个因式的根排列在数轴上，用穿根法求得它的解集为 （3，2）（0，+），故选：A5（5分）在等差数列an中，a1+a2+a1030，则a5+a6（）A3B6C9D12【解
10、答】解：在等差数列an中，由an0，且a1+a2+a1030，得（a1+a10）+（a2+a9）+（a3+a8）+（a4+a7）+（a5+a6）30，即5（a5+a6）30，a5+a66故选：B6（5分）某些首饰，如手镯，项链吊坠等都是椭圆形状，这种形状给人以美的享受，在数学中，我们把这种椭圆叫做“黄金椭圆”，其离心率e=5-12设黄金椭圆的长半轴，短半轴，半焦距分别为a，b，c，则a，b，c满足的关系是（）A2ba+cBb2acCab+cD2bac【解答】解：因为离心率e=5-12的椭圆称为“黄金椭圆”，所以e=5-12是方程e2+e10的正跟，即有（ca）2+ca-10，可得c2+aca2
11、0，又c2a2b2，所以b2ac即b是a，c的等比中项故选：B7（5分）已知曲线ylnx的切线过原点，则此切线的斜率为（）AeBeC1eD-1e【解答】解：设切点坐标为（a，lna），ylnx，y=1x，切线的斜率是1a，切线的方程为ylna=1a（xa），将（0，0）代入可得lna1，ae，切线的斜率是1a=1e；故选：C8（5分）若函数f（x）x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）A（1，2）B（，3）（6，+）C（3，6）D（，1）（2，+）【解答】解：f（x）x3+ax2+（a+6）x+1，f（x）3x2+2ax+（a+6）；又函数f（x）x3+ax2
12、+（a+6）x+1有极大值和极小值，（2a）243（a+6）0；故a6或a3；故选：B9（5分）已知平面内有一个点A（2，1，2），的一个法向量为n=（3，1，2），则下列点P中，在平面内的是（）A（1，1，1）B(1，3，32)C(1，-3，32)D(-1，3，-32)【解答】解：由题意可知符合条件的点P应满足PAn=0，选项A，PA=（2，1，2）（1，1，1）（1，0，1），PAn=31+10+2150，故不在平面内；同理可得：选项B，PA=（1，4，12），PAn=0，故在平面内；选项C，PA=（1，2，12），PAn=60，故不在平面内；选项D，PA=（3，4，72），PAn=120
13、，故不在平面内；故选：B10（5分）设数列an的前n项和为Sn，且a11，Sn+nan为常数列，则an（）A13n-1B2n(n+1)C1(n+1)(n+2)D5-2n3【解答】解：数列an的前n项和为Sn，且a11，S1+1a11+12，Sn+nan为常数列，由题意知，Sn+nan2，当n2时，（n+1）an（n1）an1，从而a2a1a3a2a4a3anan-1=1324n-1n+1，an=2n(n+1)，当n1时上式成立，an=2n(n+1)故选：B11（5分）下列命题正确的是（）若p=2x+3y，则p与x、y共面；若MP=2MA+3MB，则M、P、A、B共面；若OA+OB+OC+OD=
14、0，则A、B、C、D共面；若OP=12OA+56OB-13OC，则P、A、B、C共面A1B2C3D4【解答】解：对于，若p=2x+3y，则由平面向量基本定理知p与x、y共面，正确；对于，若MP=2MA+3MB，则MP、MA、MB共面，所以M、P、A、B四点共面，正确；对于，若OA+OB+OC+OD=0，则OA=-OB-OC-OD，这里系数1113，A、B、C、D不共面，错误；对于，若OP=12OA+56OB-13OC，则12+56-13=1，所以P、A、B、C共面，正确综上所述，正确的命题序号是，共3个故选：C12（5分）已知函数f（x）ex，g（x）lnx2+12，对任意aR存在b（0，+）
15、使f（a）g（b），则ba的最小值为（）A2e-1Be2-12C2ln2D2+ln2【解答】解：令 yea，则 alny，令ylnb2+12，可得 b2ey-12，则ba2ey-12-lny，（ba）2ey-12-1y显然，（ba）是增函数，观察可得当y=12时，（ba）0，故（ba）有唯一零点故当y=12时，ba取得最小值为2ey-12-lny2e0-12-ln12=2+ln2，故选：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分13（5分）若变量x，y满足约束条件x1y2x-y2，则z2xy取得最大值时的最优解为
16、（4，2）【解答】解：画出约束条件的可行域，如图：由z2xy得：y2xz，显然直线过B（4，2）时，z最大，所以最优解为：（4，2）故答案为：（4，2）14（5分）平面内，线段AB的长度为10，动点P满足|PA|6+|PB|，则|PB|的最小值为2【解答】解：平面内，线段AB的长度为10，动点P满足|PA|6+|PB|，即|PA|PB|6，则点P在以（5，0）为焦点，实轴长为6的双曲线的右支上，a3，c5因此|PB|的最小值为ca532故答案为：215（5分）如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60，再由点C沿北偏东15方向走10米到位置
17、D，测得BDC45，则塔AB的高是106米【解答】解：设塔高为x米，根据题意可知在ABC中，ABC90，ACB60，ABx，从而有BC=33x，AC=233x在BCD中，CD10，BCD60+30+15105，BDC45，CBD30由正弦定理可得，BCsinBDC=CDsinCBD可得，BC=10sin45sin30=102=33x则x106故答案为：10616（5分）记Sn为正项等比数列an的前n项和，若S42S22，则S6S4的最小值为8【解答】解：设正项等比数列an的公比为q0，S42S22，a4+a3（a2+a1）2，a1（q3+q2q1）2，可得：a1=2(1+q)(q2-1)0解得
18、q1则S6S4a5+a6a1（q4+q5）=2q4q2-1=2(q4-1)+2q2-1=2q21+1q2-1+222q2-1q2-1+2=8，当且仅当q=2时取等号S6S4的最小值为8故答案为：8三、解答题：本大題共有6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）已知数列an为单调递增数列，a11，其前n项和为Sn，且满足2Snan22Sn1+1（n2，nN+）（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn=1anan+1其前n项和为Tn，若Tn919成立，求n的最小值【解答】解：（1）2Snan22Sn1+1（n2，nN+），可得n2时，2Sn1an122Sn2+1
19、，相减可得2anan22Sn1+1an122Sn21an2an122an1，即为2（an+an1）（anan1）（an+an1），数列an为单调递增数列，即an+an10，可得anan12，an为首项为1，公差为2的等差数列，可得an2n1；（2）bn=1anan+1=1(2n-1)(2n+1)=12（12n-1-12n+1），可得前n项和为Tn=12（1-13+13-15+12n-1-12n+1）=12（1-12n+1）=n2n+1，Tn919即n2n+1919，解得n9，即n的最小值为1018（12分）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ctanC=3（acosB+bcos
20、A）（1）求角C；（2）若c23，求ABC面积的最大值【解答】解：（1）ctanC=3（acosB+bcosA），由正弦定理可得：sinCtanC=3（sinAcosB+sinBcosA）=3sin（A+B）=3sinCtanC=3，C（0，）C=3（2）由余弦定理可得：12c2a2+b22abcosC2ababab，可得ab12，当且仅当a23时取等号ABC面积的最大值=1212sin3=3319（12分）如图，在半径为30cm的半圆形铁皮上截取一块矩形材料A（点A，B在直径上，点C，D在半圆周上），并将其卷成一个以AD为母线的圆柱体罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗）（1）若要求圆柱体罐子的侧
21、面积最大，应如何截取？（2）若要求圆柱体罐子的体积最大，应如何截取？【解答】解：（1）连接OC，设BCx，则AB2900-x2，（其中0x30），S2x900-x2=2 x2(900-x2)x2+（900x2）900，当且仅当x2900x2，即x152时，S取最大值900；取BC152cm时，矩形ABCD的面积最大，最大值为900cm2（2）设圆柱底面半径为r，高为x，则AB2900-x2=2r，解得r=900-x2，Vr2h=1（900xx3），（其中0x30）；V=1（9003x2），令V（x）0，得x103；因此V（x）=1（900xx3）在（0，10 3）上是增函数，在（103，30）
22、上是减函数；当x103时，V（x）取得最大值V（103）=60003，取BC103cm时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为60003cm320（12分）在MAB中，点A（1，0），B（1，0），且它的周长为6，记点M的轨迹为曲线E（1）求E的方程；（2）设点D（2，0），过点B的直线与E交于不同的两点P、Q，PDQ是否可能为直角，并说明理由【解答】（1）解：由题意得，|MA|+|MB|+|AB|6，|MA|+|MB|4|AB|，则M的轨迹E是以A（1，0），B（1，0）为焦点，长轴长为4的椭圆，又由M，A，B三点不共线，y0E的方程为x24+y23=1（y0）；（2）证明：设直线PQ的方程为
23、xmy+1，代入3x2+4y212，得（3m2+4）y2+6my90设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1+y2=-6m3m2+4，y1y2=-93m2+4DPDQ=(x1+2)(x2+2)+y1y2=（my1+1）（my2+1）+2（my1+1+my2+1）+4+y1y2（m2+1）y1y2+3m（y1+y2）+9=-9(m2+1)3m2+4-18m23m2+4+9=273m2+40PDQ不可能为直角21（12分）如图，D是AC的中点，四边形BDEF是菱形，平面BDEF平面ABC，FBD60，ABBC，AB=BC=2（1）若点M是线段BF的中点，证明：BF平面AMC；（2）求平面AEF
24、与平面BCF所成的锐二面角的余弦值【解答】证明：（1）连接MD，FD四边形BDEF为菱形，且FBD60，DBF为等边三角形M为BF的中点，DMBFABBC，AB=BC=2，又D是AC的中点，BDAC平面BDEF平面ABCBD，平面ABC平面BDEF，AC平面ABC，AC平面BDEF又BF平面BDEF，ACBF由DMBF，ACBF，DMACD，BF平面AMC；解：（2）设线段EF的中点为N，连接DN易证DN平面ABC以D为坐标原点，DB，DC，DN所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系则A（0，1，0），E(-12，0，32)，F(12，0，32)，B（1，0，0），C（0，
25、1，0）AE=(-12，1，32)，EF=(1，0，0)，BF=(-12，0，32)，BC=(-1，1，0)设平面AEF，平面BCF的法向量分别为m=(x1，y1，z1)，n=(x2，y2，z2)由AEm=0EFm=0-12x1+y1+32z1=012x1=0解得y1=-32z1取z12，m=(0，3，-2)又由BCn=0BFn=0-x2+y2=0-12x2+32z2=0解得y2=3z2取z21，n=(3，3，1)cosm，n=mn|m|n|=177=17平面AEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值为1722（12分）已知函数f(x)=12ax2+(a-1)x+(1-2a)lnx，g(x)=3
26、2ax-ex-1（）当a0时，讨论函数f（x）的单调性；（）若f（x）g（x）在区间（0，1上恒成立，求实数a的取值范围【解答】解：（）f（x）ax+（a1）+1-2ax=ax2+(a-1)x+(1-2a)x=a(x-1)(x-1-2aa)x(x0)，当1-2aa0，即a12时，0x1时，f（x）0，x1时，f（x）0，所以f（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+）上单调递增；当01-2aa1，即13a12时，0x1-2aa和x1时，f（x）0，1-2aax1时，f（x）0，所以f（x）在区间(1-2aa，1)上单调递减，在区间(0，1-2aa)和（1，+）上单调递增；当1-2aa1
27、，即0a13时，0x1和x1-2aa时，f（x）0，1x1-2aa时，f（x）0，所以f（x）在区间(1，1-2aa)上单调递减，在区间（0，1）和(1-2aa，+)上单调递增；当1-2aa=1，即a=13时，f（x）0，所以f（x）在定义域（0，+）上单调递增；综上：当0a13时，f（x）在区间(1，1-2aa)上单调递减，在区间（0，1）和(1-2aa，+)上单调递增；当a=13时，f（x）在定义域（0，+）上单调递增；当13a12时，f（x）在区间(1-2aa，1)上单调递减，在区间(0，1-2aa)和（1，+）上单调递增；当a12时，f（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+）
28、上单调递增（）令h（x）f（x）g（x）=12ax2-(a2+1)x+(1-2a)lnx+ex-1，原问题等价于h（x）0在区间（0，1上恒成立，可见h(1)=12a-(a2+1)+1=0，要想h（x）0在区间（0，1上恒成立，首先必须要h（1）0，而h(x)=ax-(a2+1)+1-2ax+ex-1，h(1)=a-(a2+1)+1-2a+1=-3a2+10a23另一方面当a23时，h(x)=a+2a-1x2+ex-1，由于x（0，1，可见h（x）0，所以h（x）在区间（0，1上单调递增，故h（x）h（1）0，所以h（x）在区间（0，1上单调递减，h（x）h（1）0成立，故原不等式成立综上，若f（x）g（x）在区间（0，1上恒成立，则实数a的取值范围为a23声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/12/27 12:16:56；用户：13029402512；邮箱：13029402512；学号：24164265第17页（共17页）