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1、2023/2/17有限元法预备知识1 2 有限元法预备知识有限元法预备知识曹国华曹国华2.1弹性力学基本知识弹性力学基本知识2.2泛函基本知识泛函基本知识2.3变分法基本知识变分法基本知识2.4李兹法运用李兹法运用2023/2/17有限元法预备知识22.1 弹性力学基本知识弹性力学基本知识 位移位移 和应变应变 和应力应力和基本力学量：基本力学量：2023/2/17有限元法预备知识3 外力外力 作用于弹性体的外力作用于弹性体的外力(或称荷载或称荷载)可能有两种可能有两种：面力面力，是分布于物体表面的力，是分布于物体表面的力 如如静水压力静水压力，一物体与另一物体之间的，一物体与另一物体之间的接
2、触压力接触压力等。等。单位面积上的表面力通常分解为平行于座标轴的三个成分，用单位面积上的表面力通常分解为平行于座标轴的三个成分，用记号记号 来表示。来表示。体力体力，是分布于物体体积内的外力，是分布于物体体积内的外力 如如重力、磁力、惯性力重力、磁力、惯性力等。等。单位体积内的体力亦可分解为三个成分，用记号单位体积内的体力亦可分解为三个成分，用记号X、Y、Z表示。表示。弹性体受外力以后，其内部将产生弹性体受外力以后，其内部将产生应力应力。2.1 弹性力学基本知识弹性力学基本知识2023/2/17有限元法预备知识4 应力的概念应力的概念 弹性体内微小的平行六面体弹性体内微小的平行六面体PABC，
3、称为称为体素体素。PA=dx,PB=dy,PC=dz正应力正应力剪应力剪应力每一个面上的应力每一个面上的应力分解为一个正应力和分解为一个正应力和两个剪应力，分别与两个剪应力，分别与三个坐标轴平行三个坐标轴平行2.1 弹性力学基本知识弹性力学基本知识2023/2/17有限元法预备知识5 为了表明这个正应力的作用面和为了表明这个正应力的作用面和作用方向，加上一个角码，例如，作用方向，加上一个角码，例如，正应力正应力x是作用在垂直于是作用在垂直于x轴的面轴的面上同时也沿着上同时也沿着x轴方向作用的。轴方向作用的。正应力正应力 加上两个角码，前一个角加上两个角码，前一个角码表明作用面垂直于哪一个坐码表
4、明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个角码表明作用方标轴，后一个角码表明作用方向沿着哪一个坐标轴。例如，向沿着哪一个坐标轴。例如，剪应力剪应力xy是作用在垂直于是作用在垂直于x轴轴的面上而沿着的面上而沿着y轴方向作用的。轴方向作用的。剪应力剪应力 应力的概念应力的概念 2.1 弹性力学基本知识弹性力学基本知识2023/2/17有限元法预备知识6应力的正负应力的正负 如果某一个面上的外法线是沿如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴的正方向，这个面上的着坐标轴的正方向，这个面上的应应力就以沿坐标轴正方向为正，沿坐力就以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。标轴负方向为负。相反，如果某一个面上的外法相反，
5、如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴的负方向，这个面线是沿着坐标轴的负方向，这个面上的应力就以沿坐标轴的负方向为上的应力就以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴正方向为负。正，沿坐标轴正方向为负。剪应力互等定律剪应力互等定律 作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交线作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交线的剪应力是互等的。的剪应力是互等的。(大小相等，正负号也相同大小相等，正负号也相同)。因此因此剪应力记号的两个角码可以对调剪应力记号的两个角码可以对调。即：。即：应力的概念应力的概念 2.1 弹性力学基本知识弹性力学基本知识2023/2/17有限元法预备知识7 可以证明：如果可以证明：如果 这
6、六个量在这六个量在P点是已知的，就可以求得经过该点的任何面上的点是已知的，就可以求得经过该点的任何面上的正应力正应力和剪应力和剪应力，因此，这六个量可以完全确定该点的应力状，因此，这六个量可以完全确定该点的应力状态，它们就称为在该点的态，它们就称为在该点的应力分量应力分量。一般说来，弹性体内各点的应力状态都不相同，一般说来，弹性体内各点的应力状态都不相同，因此，描述弹性体内应力状态的上述六个应力分量并不因此，描述弹性体内应力状态的上述六个应力分量并不是常量，而是是常量，而是坐标坐标x、y、z的函数的函数。六个应力分量的总体，可以用一个列矩阵六个应力分量的总体，可以用一个列矩阵 来表来表示：示：
7、应力的概念应力的概念 2.1 弹性力学基本知识弹性力学基本知识2023/2/17有限元法预备知识8 位位 移移 弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的变形状态，一般有两种方式来描述：变形状态，一般有两种方式来描述：1、给出、给出各点的位移各点的位移；2、给出、给出各体素的变形各体素的变形。弹性体内任一点的位移，用此位移在弹性体内任一点的位移，用此位移在x、y、z三个坐标轴上的投影三个坐标轴上的投影u、v、w来表示。来表示。以沿以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负 这三个投影称为这三个投影称为位移分量位移分量。一般
8、情况下，弹性。一般情况下，弹性体受力以后，各点的位移并不是定值，而是坐标的体受力以后，各点的位移并不是定值，而是坐标的函数。函数。2.1 弹性力学基本知识弹性力学基本知识2023/2/17有限元法预备知识9 应应 变变 体素的变形体素的变形(应变应变)可以分为两类：可以分为两类：一类是长度的变化，一类是角度的变化。一类是长度的变化，一类是角度的变化。任任一一线线素素的的长长度度的的变变化化与与原原有有长长度度的的比比值值称称为为线线应应变变(或或称称正正应应变变)，用用符符号号 来来表表示示。沿沿坐坐标标轴轴的的线线应应变变，则则加加上上相相应应的的角角码码，分分别别用用 来来表表示示。当当线
9、线素素伸伸长长时时，其其线线应应变变为为正正。反反之之，线线素素缩缩短短时时，其其线线应应变变为为负负。这这与与正正应应力力的正负号规定相对应。的正负号规定相对应。任任意意两两个个原原来来彼彼此此正正交交的的线线素素，在在变变形形后后其其夹夹角角的的变变化化值值称为称为角应变或剪应变角应变或剪应变，用符号，用符号 来表示。两坐标轴之间的来表示。两坐标轴之间的 角应变则加上相应的角码分别用角应变则加上相应的角码分别用 来表示。来表示。规规定定当当夹夹角角变变小小时时为为正正，变变大大时时为为负负，与与剪剪应应力力的的正正负负号号规定相对应。规定相对应。(正的正的 引起正的引起正的 ，等等，等等)
10、。2.1 弹性力学基本知识弹性力学基本知识2023/2/17有限元法预备知识10其中：X、Y、Z为三个方向的均匀分布体力弹性力学基本方程弹性力学基本方程 平衡方程（外力与应力的关系）平衡方程（外力与应力的关系）2.1 弹性力学基本知识弹性力学基本知识如何得如何得到的？到的？2023/2/17有限元法预备知识11 以平面问题推导平衡微分方程以平面问题推导平衡微分方程 取出一块取出一块dxdy,厚度为一个单位长度的微元体，将其所受厚度为一个单位长度的微元体，将其所受力画在其上。设单位体积上的体积力为力画在其上。设单位体积上的体积力为由，得由，得由力矩平衡方程，得弹性力学基本方程弹性力学基本方程 2
11、.1 弹性力学基本知识弹性力学基本知识2023/2/17有限元法预备知识12 几何方程、刚体位移几何方程、刚体位移 A点在点在x方向的位移分量为方向的位移分量为u；B点在点在x方向的位移分量为：方向的位移分量为：ABCDABCD(应变分量和应变分量的关系应变分量和应变分量的关系)求线素求线素AB、AD的正应变的正应变 ，用位移分量来表示：，用位移分量来表示：线素线素AB的正应变的正应变为：为：同理，同理，AD的正应变的正应变为：为：2.1 弹性力学基本知识弹性力学基本知识vudxdyA AB BC CD Ddxxuu+dxxvv+dyyuu+dyyvv+ABCDDBbaxyo2023/2/17
12、有限元法预备知识13线素线素AB的转角的转角为：为：x向线素向线素AB的转角的转角 ；y向线素向线素AD的转角的转角求剪应变求剪应变 ，也就是线素，也就是线素AB与与AD之间的直角的改变之间的直角的改变A点在点在y方向的位移分量为方向的位移分量为v；B点在点在y方向的位移分量为：方向的位移分量为：几何方程、刚体位移几何方程、刚体位移 2.1 弹性力学基本知识弹性力学基本知识vudxdyA AB BC CD Ddxxuu+dxxvv+dyyuu+dyyvv+ABCDDBbaxyo2023/2/17有限元法预备知识14 位移及应变、几何方程、刚体位移位移及应变、几何方程、刚体位移 由于变形是微小的
13、，所以上式可将比单位值小得多的由于变形是微小的，所以上式可将比单位值小得多的 略去，得略去，得同理，同理，y向线素向线素AD的转角的转角因此，因此，剪应变剪应变为：为：2023/2/17有限元法预备知识15以上是考察了体素在以上是考察了体素在xoy一个平面内的变形情况一个平面内的变形情况同样方法来考察体素在同样方法来考察体素在xoz和和yoz平面内的变形情况，可得：平面内的变形情况，可得：联立得到联立得到几何方程几何方程，表明应变分量与位移分量之间的关系，表明应变分量与位移分量之间的关系:位移及应变、几何方程、刚体位移位移及应变、几何方程、刚体位移 2023/2/17有限元法预备知识16 可可
14、以以证证明明，如如果果弹弹性性体体内内任任一一点点，已已知知这这三三个个垂垂直直方方向向的的正正应应变变及及其其相相应应的的三三个个剪剪应应变变，则则该该点点任任意意方方向向的的正正应应变变和和任任意意二二垂垂直直线线间间的的剪剪应应变变均均可可求求出出，当当然然也也可可求求出出它它的的最大和最小正应变。最大和最小正应变。因因此此，这这六六个个量量可可以以完完全全确确定定该该点点的的应应变变分分量量，它它们们就就称称为该点的为该点的应变分量应变分量。六个应变分量的总体，可以用一个列矩阵六个应变分量的总体，可以用一个列矩阵 来表示来表示：位移及应变、几何方程、刚体位移位移及应变、几何方程、刚体位
15、移 2023/2/17有限元法预备知识17刚体位移刚体位移：由几何方程可见，当弹性体的位移分量完全确定：由几何方程可见，当弹性体的位移分量完全确定时，应变分量是完全确定的。反过来，当应变分量完全确定时，应变分量是完全确定的。反过来，当应变分量完全确定时，位移分量却不完全确定；这是因为，具有确定形状的物时，位移分量却不完全确定；这是因为，具有确定形状的物体，可能发生不同的刚体位移。为了说明这一点，令：体，可能发生不同的刚体位移。为了说明这一点，令：有有积分得积分得为为积分常数，即积分常数，即刚体位移刚体位移。式中，式中，位移及应变、几何方程、刚体位移位移及应变、几何方程、刚体位移 2023/2/
16、17有限元法预备知识18 应力应变关系、物理方程应力应变关系、物理方程 当沿当沿x轴方向的两个对面受有均轴方向的两个对面受有均匀分布的正应力时，在满足先前假匀分布的正应力时，在满足先前假定的材料性质条件下，正应力不会定的材料性质条件下，正应力不会引起角度的任何改变，而其在引起角度的任何改变，而其在x方方向的单位伸长则可表以方程向的单位伸长则可表以方程应力分量与应变分量之间的关系应力分量与应变分量之间的关系 -虎克定律虎克定律式中，式中，E为弹性模量。为弹性模量。弹性体在弹性体在x方方向的伸长还伴随有侧向收缩，即在向的伸长还伴随有侧向收缩，即在y和和z方向的单位缩短可表示为：方向的单位缩短可表示
17、为：式中，式中，为泊松比。为泊松比。上述两个方程可用于简单和压缩。上述两个方程可用于简单和压缩。2023/2/17有限元法预备知识19 设设图图中中的的弹弹性性体体在在各各面面上上都都受受有有均均匀匀分分布布的的正正应应力力，则则合合成成应应变变的的分分量量可可用用上上两两式式求求得得。实实验验证证明明，只只须须将将三三个个应应力力中中的的每每一一应应力力所所引引起起的的应应变变分分量量叠叠加加，就得到合成应变的分量。就得到合成应变的分量。单单位位伸伸长长与与应应力力之之间间的的关关系系完完全全由由两两个个物理常数物理常数E及及所确定。所确定。两两个个常常数数也也可可用用来来确确定定剪剪应应力
18、力与与剪剪应应变变之间的关系。之间的关系。应力应变关系、物理方程应力应变关系、物理方程 2023/2/17有限元法预备知识20 如如果果弹弹性性体体的的各各面面有有剪剪应应力力作作用用，如如图图所所示示，任任何何两两坐坐标标轴轴的的夹夹角角的的改改变变仅仅与与平平行行于这两轴的剪应力分量有关，即得到：于这两轴的剪应力分量有关，即得到：式式中中G称称为为剪剪切切模模量量，它它与与弹弹性性模模量量E，泊泊松比松比存在如下的关系：存在如下的关系：前前面面的的正正应应变变与与上上式式中中的的剪剪应应变变是是各各自自独独立立的的。因因此此，由由三三个个正正应应力力分分量量与与三三个个剪剪应应力力分分量量
19、引引起起的的一一般般情情形形的的应应变变，可可用用叠叠加加法法求求得得；六六个个关关系系式式写写在在一一起起，得得左左式式，称称为为弹弹性性方方程程或或物物理理方方程程，这这种种空空间间状状态态的的应应力力应应变变关关系系称称为为广广义虎克定律义虎克定律。应力应变关系、物理方程应力应变关系、物理方程 2023/2/17有限元法预备知识21将应变分量表为应力分量的函数，可称为物理方程的第一种形式。将应变分量表为应力分量的函数，可称为物理方程的第一种形式。若若将将上上左左式式(改改写写成成应应力力分分量量表表为为应应变变分分量量的的函函数数的的形形式式，可可得得物物理理方程的第二种形式方程的第二种
20、形式：应力应变关系、物理方程应力应变关系、物理方程 2023/2/17有限元法预备知识22式式(12)(12)可用矩阵的形式表示如下：可用矩阵的形式表示如下：上式上式可简写为由可简写为由弹性体性质决定的物理方程弹性体性质决定的物理方程：应力应变关系、物理方程应力应变关系、物理方程 弹性矩阵弹性矩阵2023/2/17有限元法预备知识23完全决定于弹性常数完全决定于弹性常数E和和 应力应变关系、物理方程应力应变关系、物理方程 弹性矩阵弹性矩阵2023/2/17有限元法预备知识24总结总结-弹性力学基本方程（分量形式）弹性力学基本方程（分量形式）一、平衡方程一、平衡方程二、几何方程二、几何方程三、本
21、构关系三、本构关系(物理方程）物理方程）2023/2/17有限元法预备知识25 简单地说，泛函泛函也是一种“函数函数”，它的独立变量一般不是通常函数的“自变量”，而是通常函数本身。泛函是函数的函数泛函是函数的函数。说明泛函具体含义的一个实例：最速降线问题 若对于某一类函数y(x)中的每一函数y(x)，有一值与之对应，或数 对应于函数y(x)的关系成立。则称变量 是函数y(x)的泛函，即：=y(x)2.2 泛函基本知识泛函基本知识2023/2/17有限元法预备知识26 实例：在xy平面内，假设在AB两定点连成的曲线上有一质点。此质点在重力的作用下，无摩擦地从A滑到B需要一定的时间T。假设A在坐标
22、原点，故质点由A滑到B的速度为则T为实例：最速降线问题实例：最速降线问题T是随不同的曲线y(x)而改变的。所以T 是一个泛函。2.2 泛函基本知识泛函基本知识2023/2/17有限元法预备知识27泛函的基本点泛函的基本点（1）泛函有它的定义域。定义域是指满足一定的边界条件、初始条件和函数的连续程度的函数集。定义域内的函数称为可取函数或容许函数。y(x)亦称为泛函的宗量函数或者泛函变量。（2）泛函y(x)与可取函数y(x)有明确的对应关系。泛函的值是由一条可取曲线的整体性质决定的。2.2 泛函基本知识泛函基本知识2023/2/17有限元法预备知识28 变分法变分法是在一组容许函数中选定一个函数，
23、使给定的泛函取驻值(研究求泛函极大（小）值的方法)。2.3 变分法基本知识变分法基本知识2023/2/17有限元法预备知识29对变分学发展有重大影响的其中一个历史命题：对变分学发展有重大影响的其中一个历史命题：最速降线问题最速降线问题：在A、B两端点固定的边界条件下，从A滑到B所需的时间最短。通过质点滑过曲线所需时间的变分为零，即求得最速降线。求得最速降线。John Bornouli 于1696年提出。T=02.3 变分法基本知识变分法基本知识2023/2/17有限元法预备知识30变分及其特性变分及其特性泛函宗量变分泛函宗量变分定义定义：对于泛函y(x)，y(x)是定义域中的任何元素，取y(x
24、)-y0(x)称为称为y(x)在在y0(x)上的变分，记作上的变分，记作y=y(x)-y0(x)常用y=y(x)-y0(x)作为泛函宗量y(x)的变分。变分变分y和函数微分和函数微分dy的区别：的区别：变分变分y反映的是整个函数的改变反映的是整个函数的改变函数微分函数微分dy反映的是同一函数反映的是同一函数y(x)因因x取不同值而取不同值而产生的差异。产生的差异。2.3 变分法基本知识变分法基本知识2023/2/17有限元法预备知识31 实例实例：在xy平面内，假设在AB两定点连成的曲线上有一质点。此质点在重力的作用下，无摩擦地从A滑到B需要一定的时间T。?泛函式常用积分形式表示泛函式常用积分
25、形式表示 变分变分极值极值条件条件变分及其特性变分及其特性2.3 变分法基本知识变分法基本知识2023/2/17有限元法预备知识32变分性质变分性质变分性质变分性质变分变分极值极值条件条件由于由于 的任意性的任意性欧拉方程欧拉方程变分及其特性变分及其特性2.3 变分法基本知识变分法基本知识2023/2/17有限元法预备知识33欧拉方程欧拉方程变分及其特性变分及其特性2.3 变分法基本知识变分法基本知识2023/2/17有限元法预备知识34最速降线最速降线变分及其特性变分及其特性2.3 变分法基本知识变分法基本知识2023/2/17有限元法预备知识35李兹法李兹法-变分法的求解变分法的求解（1）
26、选取未知函数）选取未知函数 u 的近似解；的近似解；注意：使注意：使 u 满足强制边界条件。满足强制边界条件。（2）将函数）将函数 u 的近似解代入泛函的近似解代入泛函 (u):（3）对泛函）对泛函 (u)求变分，并令等于零；求变分，并令等于零；2.4李兹法运用李兹法运用2023/2/17有限元法预备知识36由于由于是任意的，是任意的，故上式成立时，必有：故上式成立时，必有：将上式表示成矩阵形式，有：将上式表示成矩阵形式，有：李兹法李兹法-变分法的求解变分法的求解2.4李兹法运用李兹法运用2023/2/17有限元法预备知识37其中：其中：得到与待定参数得到与待定参数 a 的个数相等的方程组，由此可的个数相等的方程组，由此可求得待定参数求得待定参数a。里兹（里兹（RitzRitz）法）法实例实例李兹法李兹法-变分法的求解变分法的求解2.4李兹法运用李兹法运用