建筑制图与识图3正投影原理.ppt

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1、第二章、正投影法基础及原理第二章、正投影法基础及原理n投影基本知识投影基本知识 n点的投影点的投影n直线的投影直线的投影 n平面的投影平面的投影 n投影变换投影变换 本章主要内容本章主要内容本本 章章 内内 容容2.1 投影法基本知识投影法基本知识2.2 正投影基本知识正投影基本知识2.3 点的投影点的投影 2.4 直线的投影直线的投影 2.5 平面的投影平面的投影 2.6 投影变换投影变换 2.1 投影基本知识 在制图中，把光源称为在制图中，把光源称为投投影中心影中心，光线称为，光线称为投射线投射线，光，光线的射向称为线的射向称为投射方向投射方向，落影，落影的平面（如地面、墙面等）称的平面（

2、如地面、墙面等）称为为投影面投影面，影子的轮廓称为，影子的轮廓称为投投影影，用投影表示物体的形状和，用投影表示物体的形状和大小的方法称为大小的方法称为投影法投影法，用投，用投影法画出的物体图形称为影法画出的物体图形称为投影投影图图，如图如图2.1所示所示。2.1.1 投影的概念与分类投影的概念与分类 n投影投影分中心投影分中心投影和和平行投影平行投影两大类。两大类。n由一点放射的投射线所产生的投影称为由一点放射的投射线所产生的投影称为中心投中心投影影，如图如图2.2（a），由相互平行的投射线所产，由相互平行的投射线所产生的投影称为生的投影称为平行投影平行投影。n平行投射线倾斜于投影面的称为平行

3、投射线倾斜于投影面的称为斜投影斜投影，如图如图2.2（b）；平行投射线垂直于投影面的称为；平行投射线垂直于投影面的称为正正投影投影，如图如图2.2（c）。n用正投影法绘制出的图形称为用正投影法绘制出的图形称为正投影图正投影图，如图如图2.3所示所示。图3.2 投影法 图3.3 正投影图 2.1.2 工程中常用的四种图示法工程中常用的四种图示法 n图图2.4是按中心投影法画出的透视投影图，只是按中心投影法画出的透视投影图，只需一个投影面。需一个投影面。n优点：优点：图形逼真，直观性强。图形逼真，直观性强。n缺点：缺点：作图复杂，形体的尺寸不能直接在图作图复杂，形体的尺寸不能直接在图中度量，故不能

4、作为施工依据，仅用于建筑中度量，故不能作为施工依据，仅用于建筑设计方案的比较及工艺美术和宣传广告画等。设计方案的比较及工艺美术和宣传广告画等。2.1.2.1 透视投影图透视投影图图3.4 形体的透视投影图 n图图2.5所示是轴测投影图（也称立体图），它所示是轴测投影图（也称立体图），它是平行投影的一种，画图时只需一个投影面。是平行投影的一种，画图时只需一个投影面。n优点：优点：立体感强，非常直观立体感强，非常直观n缺点：缺点：作图较繁，表面形状在图中往往失真，作图较繁，表面形状在图中往往失真，度量性差，只能作为工程上的辅助图样。度量性差，只能作为工程上的辅助图样。2.1.2.2 轴测投影图轴测

5、投影图图3.5 形体的轴测投影图 n采用相互垂直的两个或两个以上的投影面，采用相互垂直的两个或两个以上的投影面，按正投影方法在每个投影面上分别获得同一按正投影方法在每个投影面上分别获得同一物体的正投影，然后按规则展开在一个平面物体的正投影，然后按规则展开在一个平面上，便得到物体的上，便得到物体的多面正投影图多面正投影图，如图如图3.6所所示示。n优点优点是作图较其他图示法简便，便于度量，是作图较其他图示法简便，便于度量，工程上应用最广，但缺乏立体感。工程上应用最广，但缺乏立体感。3.1.2.3 正投影图正投影图图3.6 形体的正投影图 n标高投影标高投影是一种带有数字标记的单面正投影。是一种带

6、有数字标记的单面正投影。n在建筑工程上，常用它来表示地面的形状，在建筑工程上，常用它来表示地面的形状，作图时，用一组等距离的水平面切割地面，作图时，用一组等距离的水平面切割地面，其交线为其交线为等高线等高线。n将不同高程的等高线投影在水平的投影面上，将不同高程的等高线投影在水平的投影面上，并注出各等高线的高程，即为并注出各等高线的高程，即为等高线图等高线图，也，也称称标高投影图标高投影图，如图如图3.7所示所示。2.1.2.4 标高投影图标高投影图图3.7 标高投影图 2.2 三面正投影图三面正投影图图图3.8中空间四个不同形状的物体，它们在同一个投影面上的正投影中空间四个不同形状的物体，它们

7、在同一个投影面上的正投影却是相同的。却是相同的。通常，采用三个相互垂直的平面作为投影面，构成通常，采用三个相互垂直的平面作为投影面，构成三投影面体系三投影面体系，如图如图3.9所示所示。水平位置的平面称作水平位置的平面称作水平投影面水平投影面；与水平投影面垂直相交呈正立位；与水平投影面垂直相交呈正立位置的平面称为置的平面称为正立投影面正立投影面；位于右侧与；位于右侧与H、V面均垂直相交的平面称面均垂直相交的平面称为为侧立投影面侧立投影面。2.1 三投影面体系的建立三投影面体系的建立图3.8 物体的一个正投影不能确定其空间的形状 图3.9 三投影面的建立 n将物体置于将物体置于H面之上，面之上，

8、V面之前，面之前，W面之左的面之左的空间，空间，如图如图3.10，按箭头所指的投影方向分别，按箭头所指的投影方向分别向三个投影面作正投影。向三个投影面作正投影。n由上往下在由上往下在H面上得到的投影称为面上得到的投影称为水平投影图水平投影图（简称（简称平面图平面图）n由前往后在由前往后在V面上得到的投影称作面上得到的投影称作正立投影图正立投影图（简称（简称正面图正面图）n由左往右在由左往右在W面上得到的投影称作面上得到的投影称作侧立投影图侧立投影图（简称（简称侧面图侧面图）2.1.3.2 三面正投影的形成三面正投影的形成图3.10 投影图的形成 n为了把空间三个投影面上所得到的投影画在一为了把

9、空间三个投影面上所得到的投影画在一个平面上，需将三个相互垂直的投影面展开摊个平面上，需将三个相互垂直的投影面展开摊平成为一个平面。即平成为一个平面。即V面保持不动，面保持不动，H面绕面绕OX轴向下翻转轴向下翻转90，W面绕面绕OZ轴向右翻转轴向右翻转90，使，使它们与它们与V面处在同一平面上面处在同一平面上，如图如图2.11（a）。n在初学投影作图时，最好将投影轴保留，并用在初学投影作图时，最好将投影轴保留，并用细实线画出，细实线画出，如图如图2.11（b）。2.1.3.3 三个投影面的展开三个投影面的展开图3.11 投影面展开 n空间形体都有长、宽、高三个方向的尺度。空间形体都有长、宽、高三

10、个方向的尺度。n如一个四棱柱，当它的正面确定之后，其左右如一个四棱柱，当它的正面确定之后，其左右两个侧面之间的垂直距离称为两个侧面之间的垂直距离称为长度长度；前后两个；前后两个侧面之间的垂直距离称为侧面之间的垂直距离称为宽度宽度；上下两个平面；上下两个平面之间的垂直距离称为之间的垂直距离称为高度高度，如图如图3.12。n三面正投影图具有下述三面正投影图具有下述投影规律投影规律：2.1.3.4 三面正投影图的投影规律三面正投影图的投影规律(1)投影对应规律投影对应规律 投影对应规律投影对应规律是指各投影图之间在量度方是指各投影图之间在量度方向上的相互对应。向上的相互对应。v正面、平面长对正（等长

11、）；正面、平面长对正（等长）；v正面、侧面高平齐（等高）；正面、侧面高平齐（等高）；v平面、侧面宽相等（等宽）。平面、侧面宽相等（等宽）。(2)方位对应规律方位对应规律 方位对应规律方位对应规律是指各投影图之间在方向位是指各投影图之间在方向位置上相互对应。置上相互对应。在三面投影图中，每个投影图各反映其中在三面投影图中，每个投影图各反映其中四个方位的情况，即：四个方位的情况，即：平面图反映物体的左右平面图反映物体的左右和前后；正面图反映物体的左右和上下；侧面和前后；正面图反映物体的左右和上下；侧面图反映物体的前后和上下图反映物体的前后和上下，如图如图3.13所示所示。图3.12 形体的长、宽、

12、高 图3.13 投影图与物体的方位关系(1)作图方法与步聚作图方法与步聚v先画出水平和垂直十字相交线表示投影轴，先画出水平和垂直十字相交线表示投影轴，如图如图3.14(a)v根据根据“三等三等”关系关系：正面图和平面图的各个相应部分用：正面图和平面图的各个相应部分用铅垂线对正铅垂线对正(等长等长)；正面图和侧面图的各个相应部分用；正面图和侧面图的各个相应部分用水平线拉齐水平线拉齐(等高等高)，如图如图3.14（b）；v利用利用平面图和侧面图的等宽关系平面图和侧面图的等宽关系，从，从O点作一条向右下点作一条向右下斜的斜的45线，然后在平面图上向右引水平线，与线，然后在平面图上向右引水平线，与45

13、线相线相交后再向上引铅垂线，把平面图中的宽度反映到侧面投交后再向上引铅垂线，把平面图中的宽度反映到侧面投影中去，影中去，如图如图3.14（c）。2.1.3.5 三面正投影图的画法三面正投影图的画法图3.14 三面正投影图画图步骤(2)三面正投影图中的点、线、面符号三面正投影图中的点、线、面符号 v为了作图准确和便于校核，作图时可把所画物体上的点、为了作图准确和便于校核，作图时可把所画物体上的点、线、面用符号来标注线、面用符号来标注（图（图3.15）。v一般规定空间物体上的点用大写字母一般规定空间物体上的点用大写字母A、B、C、D，、表示，面用表示，面用P、Q、R表示。表示。v点或面的投影用相应

14、的小写字母表示。点或面的投影用相应的小写字母表示。v直线不另注符号，用直线两端点的符号表示，如直线不另注符号，用直线两端点的符号表示，如AB直线直线的正面投影是的正面投影是ab。图3.15 正投影图中常用的符号 2.3 点的投影n将空间点将空间点A置于三投影面体系中，自置于三投影面体系中，自A点分别点分别向三个投影面作垂线（即向三个投影面作垂线（即投射线投射线），三个垂足），三个垂足就是点就是点A在三个投影面上的投影。在三个投影面上的投影。如图如图3.16。n用细实线将点的相邻投影连起来，如用细实线将点的相邻投影连起来，如aa、aa称为称为投影连线投影连线。n水平投影水平投影a与侧面投影与侧面

15、投影a不能直接相连，作图不能直接相连，作图时常以时常以图图3.16(c)所示的借助斜角线或圆弧来实所示的借助斜角线或圆弧来实现这个联系。现这个联系。2.3.1 点的三面投影点的三面投影图3.16 点的三面投影 3.2.2 点的投影规律点的投影规律n点点的正面投影的正面投影a和水平投影和水平投影a的连线必垂直于的连线必垂直于X轴，即轴，即aaOX；n点的正面投影点的正面投影a与侧面投影与侧面投影a的连线必垂直于的连线必垂直于Z轴，即轴，即aaOZ；n点的水平投影点的水平投影a到到OX轴的距离等于其侧面投影轴的距离等于其侧面投影a到到OZ轴的距离，即轴的距离，即aax=aaz；n点在任何投影面上的

16、投影仍然是点点在任何投影面上的投影仍然是点 例例3.1已知点已知点A的两面投影的两面投影a、a，求作点，求作点A的侧面投影的侧面投影a。解解根据点的投影规律，根据点的投影规律，a的求作方法的求作方法如图如图3.17所示所示。图3.17 已知点的两投影作第三投影 3.2.3 点的坐标点的坐标n把把三投影面体系看作空间直角坐标系三投影面体系看作空间直角坐标系，投影轴，投影轴OX、OY、OZ相当于坐标轴相当于坐标轴X、Y、Z轴，投轴，投影面影面H、V、W相当于坐标平面，投影轴原点相当于坐标平面，投影轴原点O相当于坐标系原点。相当于坐标系原点。n如图如图3.19（a）所示）所示，空间一点到三投影面的距

17、，空间一点到三投影面的距离，就是该点的三个坐标（用小写字母离，就是该点的三个坐标（用小写字母x、y、z表示）。表示）。n利用点的坐标就能较容易地求作点的投影及确利用点的坐标就能较容易地求作点的投影及确定空间点的位置，定空间点的位置，如图如图3.19(b)。图3.19 点的坐标 例例3.2 已知点已知点A的坐标的坐标x=18,y=10,z=15，即，即A（18，10，15），求作点），求作点A的三面投影图。的三面投影图。解解 作法见作法见图图3.20。图3.20 根据点的坐标作投影图 n当当点在某一投影面上点在某一投影面上时，它的坐标必有一个为时，它的坐标必有一个为零，三个投影中必有两个投影位于

18、投影轴上；零，三个投影中必有两个投影位于投影轴上；n当当点在某一投影轴上点在某一投影轴上时，它的坐标必有两个为时，它的坐标必有两个为零，三个投影中必有两个投影位于投影轴上，零，三个投影中必有两个投影位于投影轴上，另一个投影则与坐标原点重合；另一个投影则与坐标原点重合；n当当点在坐标原点上点在坐标原点上时，它的三个坐标均为零。时，它的三个坐标均为零。特殊位置的点：特殊位置的点：例例3.3已知点已知点B的坐标的坐标x=20，y=0，z=10，即，即B（20，0，10），求作点），求作点B的三面投影图。的三面投影图。解解 作法见作法见图图3.21。图3.21 根据坐标求点的三面投影 2.2.4 两点

19、的相对位置两点的相对位置 n空间两点的相对位置可以用三面正投影图来标空间两点的相对位置可以用三面正投影图来标定；反之，根据点的投影也可以判断出空间两定；反之，根据点的投影也可以判断出空间两点的相对位置。点的相对位置。n在三面投影中，规定：在三面投影中，规定：OX轴向左、轴向左、OY轴向前、轴向前、OZ轴向上为三条轴的正方向。轴向上为三条轴的正方向。n在投影图中，在投影图中，x坐标可确定点在三投影面体系坐标可确定点在三投影面体系中的左右位置，中的左右位置，y坐标可确定点的前后位置，坐标可确定点的前后位置，z坐标可确定点的上下位置。坐标可确定点的上下位置。例例3.4试判断试判断C、D两点的相对位置

20、。两点的相对位置。解解 如如图图3.22。图3.22 判别两点的相对位置 3.2.5 重影点及可见性重影点及可见性 n如果两点位于同一投射线上，则此两点在相应如果两点位于同一投射线上，则此两点在相应投影面上的投影必重叠，重叠的投影称为投影面上的投影必重叠，重叠的投影称为重影重影，重影的空间两点称为重影的空间两点称为重影点重影点。n如图如图3.23中，中，A、B是位于是位于同一投射线上的两点，它同一投射线上的两点，它们在们在H面上的投影面上的投影a和和b相相重叠。重叠。A在在H面上为面上为可见可见点点，点，点B为为不可见点不可见点。图3.23 重影点 例例3.5已知点已知点C的三面投影的三面投影

21、如图如图3.24（a），且点，且点D在点在点C的正右方的正右方5mm，点，点B在点在点C的正下方的正下方10mm，求，求作作D、B两点的投影，并判别重影点的可见性。两点的投影，并判别重影点的可见性。解解(1)d与与c重合，重合，如图如图3.24（b）。(2)两点的水平投影两点的水平投影b、c重合，重合，如图如图3.24（c）。(3)c可见，可见，d不可见，不可见，d加上括号以示区别。从上向加上括号以示区别。从上向下投影时，下投影时，c可见，可见，b不可见，不可见的投影不可见，不可见的投影b加括号加括号以示区别。以示区别。图3.24 求作点的投影并判别可见性 3.2.6 点的辅助投影点的辅助投影

22、 n为了解决某一问题，有目的地在某基本投影面为了解决某一问题，有目的地在某基本投影面上适当的地方设立一个与之垂直的投影面，借上适当的地方设立一个与之垂直的投影面，借以辅助解题，这种投影面称为以辅助解题，这种投影面称为辅助投影面辅助投影面。辅。辅助投影面上的投影，称为助投影面上的投影，称为辅助投影辅助投影。n点的辅助投影点的辅助投影如如图图3.25和和图图3.26。图3.25 点的辅助投影（一）图3.26 点的辅助投影（二）2.4 直线的投影 v真实性：真实性：直线平行于投影面时，其投影仍为直线，并且直线平行于投影面时，其投影仍为直线，并且反映实长，这种性质称为真实性，反映实长，这种性质称为真实

23、性，如图如图3.27（a）。v积聚性：积聚性：直线垂直于投影面时，其投影积聚为一点，这直线垂直于投影面时，其投影积聚为一点，这种性质称为积聚性，种性质称为积聚性，如图如图3.27（b）。v收缩性：收缩性：直线倾斜于投影面时，其投影仍是直线，但长直线倾斜于投影面时，其投影仍是直线，但长度缩短，不反映实长，这种性质称为收缩性，度缩短，不反映实长，这种性质称为收缩性，如图如图3.27(c)。2.4.1 直线的投影规律直线的投影规律 图3.27 直线的投影 3.3.2 直线的三面投影直线的三面投影 首先作出直线上两端点在三个投影面上的各首先作出直线上两端点在三个投影面上的各个投影，然后分别连接这两个端

24、点的同面投影即个投影，然后分别连接这两个端点的同面投影即为该直线的投影，为该直线的投影，如图如图3.28所示所示。图3.28 作直线的三面正投影图（投影面的倾斜线）3.3.3 各种位置直线及投影特性各种位置直线及投影特性 n空间直线按其相对于三个投影面的不同位置空间直线按其相对于三个投影面的不同位置关系可分为三种：关系可分为三种：投影面平行线投影面平行线、投影面垂投影面垂直线直线和和投影面倾斜线投影面倾斜线。n前两种称为前两种称为特殊位置直线特殊位置直线，后一种称为，后一种称为一般一般位置直线位置直线。3.3.3.1 投影面平行线 n定义定义：指平行于一个投影面，而倾斜于另外两个投影指平行于一

25、个投影面，而倾斜于另外两个投影面的直线。面的直线。n分类及投影图分类及投影图：v投影面平行线可分为：投影面平行线可分为：n正平线正平线n水平线水平线 n侧平线侧平线 v这三种平行线的投影图这三种平行线的投影图如表如表3.1所示所示。n投影特性投影特性：v直线在所平行的投影面上的投影反映实长，并且该直线在所平行的投影面上的投影反映实长，并且该投影与投影轴的夹角投影与投影轴的夹角(、)等于直线对其他两个等于直线对其他两个投影面的倾角。投影面的倾角。v直线在另外两个投影面上的投影分别平行于相应的直线在另外两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴，但其投影长度缩短。投影轴，但其投影长度缩短。n平行线空

26、间位置的判别：平行线空间位置的判别：一斜两直线，定是平行线；斜线在哪面，平行一斜两直线，定是平行线；斜线在哪面，平行哪个面。哪个面。表3.1 投影面平行线 名称 水平线正平线侧平线直观图投影图3.3.3.2 投影面垂直线 n定义定义：指垂直于一个投影面，而平行于另外两个投影指垂直于一个投影面，而平行于另外两个投影面的直线。面的直线。n分类及投影图分类及投影图：v投影面投影面垂直线垂直线可分为：可分为：n正垂线正垂线 n铅垂线铅垂线 n侧垂线侧垂线 v这三种这三种垂直线垂直线的投影图的投影图如表如表3.2所示所示。n投影特性：投影特性：v直线在所垂直的投影面上的投影积聚成一点。直线在所垂直的投影

27、面上的投影积聚成一点。v直线在另外两个投影面上的投影同时平行于一条相直线在另外两个投影面上的投影同时平行于一条相应的投影轴且均反映实长。应的投影轴且均反映实长。n垂直线垂直线空间位置的判别空间位置的判别：一点两直线，定是垂直线；点在哪个面，垂直一点两直线，定是垂直线；点在哪个面，垂直哪个面。哪个面。表3.2 投影面垂直线 名称 铅垂线正垂线侧垂线直观图投影图3.3.3.3 一般位置线 n定义定义：与三个投影面均倾斜的直线，称为一般位置线。与三个投影面均倾斜的直线，称为一般位置线。n投影图投影图：一般位置线在一般位置线在H、V、W三个投影面上的投影三个投影面上的投影如如图图3.28所示所示。n投

28、影特性：投影特性：v直线的三个投影仍为直线，但不反映实长；直线的三个投影仍为直线，但不反映实长；v直线的各个投影都倾斜于投影轴直线的各个投影都倾斜于投影轴n一般位置线的判别一般位置线的判别：三个投影三个斜，定是一般位置线。三个投影三个斜，定是一般位置线。图3.28 作直线的三面正投影图（投影面的倾斜线）3.3.4 直线上点的投影特性直线上点的投影特性 n点在直线上，则点的各个投影必定在该直线的点在直线上，则点的各个投影必定在该直线的同面投影上，并且符合点的投影规律，如同面投影上，并且符合点的投影规律，如图图3.29中的中的K点。点。n若直线上的点分线段成比例，则该点的各投影若直线上的点分线段成

29、比例，则该点的各投影也相应分线段的同面投影成相同的比例。也相应分线段的同面投影成相同的比例。在在图图3.29中，中，K点把直线点把直线AB分为分为AK、KB两段，则有：两段，则有：图3.29 直线上的点 例例3.6 已知直线已知直线AB的投影的投影ab及及ab，如图如图3.30(a)，求作，求作直线上一点直线上一点C的投影，使的投影，使AC CB=3 2。解解图3.30 利用定比性作直线上点的投影 例例3.7已知侧平线已知侧平线AB的的V、H投影及线上一点投影及线上一点K的的V面投面投影影k，试求点，试求点K的的H投影，投影，如图如图3.31(a)。解解图3.31 求作直线上点的投影 例例3.

30、8已知侧平线已知侧平线CD和点和点E的的H、V面投影，试判断点面投影，试判断点E是否在直线是否在直线CD上，上，如图如图3.32。解解图3.32 判断点是否在直线上 3.3.5 两直线的相对位置两直线的相对位置 n空间两直线有三种不同的相对位置，即空间两直线有三种不同的相对位置，即相交相交、平行平行和和交叉交叉。n两相交直线或两平行直线都在同一平面上，所两相交直线或两平行直线都在同一平面上，所以它们都称为以它们都称为共面线共面线。n两交叉直线不在同一平面上，所以称为两交叉直线不在同一平面上，所以称为异面线异面线。两直线相交时，两直线相交时，如图如图3.33的的AB和和CD，它们，它们的交点的交

31、点E既是既是AB线上的一点，又是线上的一点，又是CD线上的一线上的一点。点。3.3.5.1 两相交直线 图3.33 两相交直线的投影 例例3.9给出平面四边形给出平面四边形ABCD的的V投影及其两条边的投影及其两条边的H投投影，试完成整个影，试完成整个H投影。投影。解解 作图步聚作图步聚如图如图3.34。图3.34 求四边形的H投影 根据平行投影的特性可知，两平行直线在同根据平行投影的特性可知，两平行直线在同一投影面上的投影相互平行。一投影面上的投影相互平行。如图如图3.35所示所示。3.3.5.2 两平行直线 图3.35 两平行直线的投影 例例3.10给出平行四边形给出平行四边形ABCD的两

32、边的两边AB和和AC的投影，的投影，试完成试完成ABCD的投影。的投影。解解作图步骤作图步骤如图如图3.36所示所示。图3.36 作平行四边形的投影 n两交叉直线既不平行，也不相交。两交叉直线既不平行，也不相交。n虽然两交叉直线的某一同面投影有时可能平行，虽然两交叉直线的某一同面投影有时可能平行，但所有同面投影不可能同时都相互平行。但所有同面投影不可能同时都相互平行。n两交叉直线的同面投影也可能相交，但这个交两交叉直线的同面投影也可能相交，但这个交点只不过是两直线的一对重影点的重合投影。点只不过是两直线的一对重影点的重合投影。n例如图例如图3.37。n两交叉直线有一个可见性问题。两交叉直线有一

33、个可见性问题。3.3.5.3 两交叉直线 图3.37 两交叉直线 例例3.11给出一个三棱锥各侧棱的给出一个三棱锥各侧棱的V、H投影，试判断轮廓投影，试判断轮廓线内的两条交叉侧棱的可见性。线内的两条交叉侧棱的可见性。解解 如图如图3.38所示所示。图3.38 三棱锥的可见性问题 n两直线的夹角，其投影有下列两直线的夹角，其投影有下列三种情况三种情况：v当两直线都平行于某投影面时，其夹角在该投影面当两直线都平行于某投影面时，其夹角在该投影面上的投影反映实形。上的投影反映实形。v当两直线都不平行于某投影面时，其夹角在该投影当两直线都不平行于某投影面时，其夹角在该投影面上的投影一般不反映实形。面上的

34、投影一般不反映实形。v当两直线中有一直线平行于某投影面时，如果夹角当两直线中有一直线平行于某投影面时，如果夹角是直角，则它在该投影面上的投影仍然是直角。是直角，则它在该投影面上的投影仍然是直角。n如图如图3.39所示所示，直线，直线AB垂直于垂直于BC，其中，其中AB是是水平线。水平线。n两交叉直线也有相互垂直的。两交叉直线也有相互垂直的。3.3.5.4 两相互垂直直线 图3.39 两相互垂直的直线 例例3.12求点求点A到水平线到水平线BC的距离的距离（图（图3.40）。解解 图3.40 求一点到水平线的距离 3.4 平面的投影 平面是广阔无边的，它在空间的位置可用下列平面是广阔无边的，它在

35、空间的位置可用下列的几何元素来确定和表示。的几何元素来确定和表示。v不在同一直线的三个点，例如不在同一直线的三个点，例如图图3.41(a)的点的点A、B、C。v一直线和线外一点，例如一直线和线外一点，例如图图3.41(b)的点的点A和直线和直线BC。v两相交直线，例如两相交直线，例如图图3.41(c)的直线的直线AB和和AC。v两平行直线，例如两平行直线，例如图图3.41(d)的直线的直线AB和和CD。v平面图形，例如平面图形，例如图图3.41(e)的的ABC。3.4.1 平面表示法平面表示法 图3.41 平面的表示法 平面的投影规律平面的投影规律 n真实性真实性 平面平行于投影面时，其投影仍

36、为一个平面，且平面平行于投影面时，其投影仍为一个平面，且反映该平面的实际形状，这种性质称为反映该平面的实际形状，这种性质称为真实性真实性，如图如图3.42(a)。n积聚性积聚性 平面垂直于投影面时，其投影积聚为一直线，这平面垂直于投影面时，其投影积聚为一直线，这种性质称为种性质称为积聚性积聚性，如图如图3.42(b)。n收缩性收缩性 平面倾斜于投影面时，其投影为不反映实形且缩平面倾斜于投影面时，其投影为不反映实形且缩小了的类似形线框，这种性质称为小了的类似形线框，这种性质称为收缩性收缩性，如图如图3.42(c)。图3.42 平面的投影 3.4.3 平面的三面投影平面的三面投影 n平面通常是由点

37、、线或线、线所围成。因此，平面通常是由点、线或线、线所围成。因此，求作平面的投影，实质上也是求作点和线的投求作平面的投影，实质上也是求作点和线的投影。影。n如图如图3.43，空间一平面，空间一平面ABC，若将其三个顶，若将其三个顶点点A、B、C的投影作出，再将各同面投影连接的投影作出，再将各同面投影连接起来，即为三角形起来，即为三角形ABC平面的投影。平面的投影。图3.43 一般位置平面 3.4.4 各种位置平面及投影特性各种位置平面及投影特性 n空间平面按其相对三个投影面的不同位置关系空间平面按其相对三个投影面的不同位置关系可分为三种，即可分为三种，即投影面平行面投影面平行面、投影面垂直面投

38、影面垂直面和和投影面倾斜面投影面倾斜面。n前两种称为前两种称为特殊位置平面特殊位置平面，后一种称为，后一种称为一般位一般位置平面置平面。3.4.4.1 投影面平行面 n定义定义：指平行于一个投影面，同时垂直于另外两个投指平行于一个投影面，同时垂直于另外两个投影面的平面。影面的平面。n分类及投影图分类及投影图：v投影面平行线可分为：投影面平行线可分为：n正平面正平面n水平面水平面 n侧平面侧平面 v这三种平行面的投影图这三种平行面的投影图如表如表3.3所示所示。n投影特性投影特性：v平面在所平行的投影面上的投影反映实形。平面在所平行的投影面上的投影反映实形。v平面在另外两个投影面上的投影积聚成直

39、线，且分平面在另外两个投影面上的投影积聚成直线，且分别平行于相应的投影轴。别平行于相应的投影轴。n平行面空间位置的判别：平行面空间位置的判别：一框两直线，定是平行面；框在哪个面，平行一框两直线，定是平行面；框在哪个面，平行哪个面。哪个面。表3.3 投影面平行面 名称 水平面正平面侧平面直观图投影图3.4.4.2 投影面垂直面 n定义定义：指垂直于一个投影面，同时倾斜于另外两个投指垂直于一个投影面，同时倾斜于另外两个投影面的平面。影面的平面。n分类及投影图分类及投影图：v投影面平行线可分为：投影面平行线可分为：n正垂面正垂面n铅垂面铅垂面 n侧垂面侧垂面 v这三种垂直面的投影图这三种垂直面的投影

40、图如表如表3.4所示所示。n投影特性投影特性：v平面在所垂直的投影面上的投影，积聚成一条倾斜平面在所垂直的投影面上的投影，积聚成一条倾斜于投影轴的直线，且此直线与投影轴之间的夹角等于投影轴的直线，且此直线与投影轴之间的夹角等于空间平面对另外两个投影面的倾角。于空间平面对另外两个投影面的倾角。v平面在与它倾斜的两个投影面上的投影为缩小了的平面在与它倾斜的两个投影面上的投影为缩小了的类似线框类似线框。n平行面空间位置的判别：平行面空间位置的判别：两框一斜线，定是垂直面；斜线在哪面，垂直两框一斜线，定是垂直面；斜线在哪面，垂直哪个面。哪个面。表3.4 投影面垂直面 名称 铅垂面正垂面侧垂面直观图投影

41、图3.4.4.3 一般位置面 n定义定义：与三个投影面均倾斜的平面，称为一般位置面。与三个投影面均倾斜的平面，称为一般位置面。n投影图投影图：一般位置面的三个投影都呈倾斜位置，如图一般位置面的三个投影都呈倾斜位置，如图3.43所示。所示。n投影特性：投影特性：平面的三个投影既没有积聚性，也不反映实形，平面的三个投影既没有积聚性，也不反映实形，而是原平面图形的类似形。而是原平面图形的类似形。n一般位置线的判别一般位置线的判别：三个投影三个框，定是一般位置面。三个投影三个框，定是一般位置面。例例3.13试判断试判断图图3.44所示所示的立体表面上平面、直线的空的立体表面上平面、直线的空间位置。间位

42、置。解解 图3.44 立体表面平面、直线的空间位置 3.4.5 平面上的直线与点平面上的直线与点n平面上的直线平面上的直线 一直线若通过平面内的两点，则此直线必位于该一直线若通过平面内的两点，则此直线必位于该平面上，由此可知，平面上直线的投影，必定是过平平面上，由此可知，平面上直线的投影，必定是过平面上两已知点的同面投影的连线。面上两已知点的同面投影的连线。n平面上的点平面上的点 若点在直线上，直线在平面上，则点必定在平面若点在直线上，直线在平面上，则点必定在平面上。上。n在平面上取点、取线在平面上取点、取线 在平面上取点，首先要在平面上取线。而在平面在平面上取点，首先要在平面上取线。而在平面

43、上取线，又离不开在平面上取点。上取线，又离不开在平面上取点。例例3.14已知一平行四边形已知一平行四边形ABCD和和K点的两面投影，试点的两面投影，试判断判断K点是否在平面上，点是否在平面上，如图如图3.45(a)。解解 图3.45 点和平面相对位置判断 例例3.15已知四边形已知四边形ABCD，求作过，求作过A点且在该平面上的点且在该平面上的一条水平线。一条水平线。解解 如图如图3.46所示所示。图3.46 求作平面上水平线的投影 例例3.16已知三角形已知三角形ABC及其上一点及其上一点K的正面投影的正面投影k，如如图图3.47（a），求作，求作K点的水平投影点的水平投影k。解解图3.47

44、 作平面上点的投影 例例3.17已知五边形已知五边形ABCDE的面投影及一边的面投影及一边AB的的H面面投影，并知投影，并知AC为正平线，试完成其面投影为正平线，试完成其面投影（如图如图3.48(a)）。）。解解图3.48 作平面的投影 3.4.6 平面上的特殊直线平面上的特殊直线 n常用的有平面上的常用的有平面上的正平线正平线和和水平线水平线。n要在一般面要在一般面ABC上作一条上作一条正平线正平线，可根据正平，可根据正平线的线的H投影是水平的这个投影特点，先在投影是水平的这个投影特点，先在ABC的水平投影上作一任意水平线，作为所求正平的水平投影上作一任意水平线，作为所求正平线的线的H投影，

45、然后作出它的投影，然后作出它的V投影，投影，如图如图3.49所所示示。n在在ABC上作上作水平线水平线，也要抓住它的，也要抓住它的V投影一定投影一定水平的投影特点，作图步骤水平的投影特点，作图步骤如图如图3.49所示所示。3.4.6.1 平面上的投影面平行线 图3.49 面上作正平线和水平线 平面上的最大斜度线平面上的最大斜度线 n平面上对某投影面的最大斜度线，就是在该面平面上对某投影面的最大斜度线，就是在该面上对该投影面倾角最大的一条直线。它必然垂上对该投影面倾角最大的一条直线。它必然垂直于平面上平行于该投影面的所有直线，包括直于平面上平行于该投影面的所有直线，包括该平面与该投影面的交线（迹

46、线）。该平面与该投影面的交线（迹线）。n如图如图3.50(a)所示所示，平面，平面P上的直线上的直线AB，是平面，是平面P上对上对H面倾角最大的直线。面倾角最大的直线。n要作要作ABC对对H面的最大斜度线，面的最大斜度线，如图如图3.50(b)所示所示。n图图3.50(c)中中AG垂直于正平线垂直于正平线BF，所以它就是，所以它就是面上对面上对V面的最大斜度线。面的最大斜度线。图3.50 作面上的最大斜度线 3.5 投影变换n求两平行线的距离问题如求两平行线的距离问题如图图3.51(a)所示。所示。n当两平行管道当两平行管道AB和和CD都垂直于同一投影面时，都垂直于同一投影面时，如如图图3.5

47、1(b)。n当两平行线都平行于同一投影面时，如当两平行线都平行于同一投影面时，如图图3.51(c)n当两平行线都是一般位置线时，如当两平行线都是一般位置线时，如图图3.51(d)n利用某些方法，使原来对投影面处于一般位置的利用某些方法，使原来对投影面处于一般位置的空间几何元素，变换为对投影面处于特殊位置或空间几何元素，变换为对投影面处于特殊位置或其他有利于解决问题的位置，称为其他有利于解决问题的位置，称为投影变换投影变换。3.5.1 概述概述 图3.51 两平行线的距离 3.5.2 换面法n采用采用换面法换面法时，令空间元素保持不动，通过时，令空间元素保持不动，通过设立辅助投影面建立新的投影面

48、体系，使空设立辅助投影面建立新的投影面体系，使空间元素在新投影面体系中处在有利于解题的间元素在新投影面体系中处在有利于解题的位置。位置。n通过更换一次投影面（简称通过更换一次投影面（简称一次换面一次换面）可以）可以解决如下问题：解决如下问题：把一般线变为新投影面的平行线(图3.52(a)，解决了求线段的实长和对另一投影面的倾角问题。把投影面平行线变为新投影面的垂直线（图3.52(b)），可以解决一点到一投影面平行线的距离和两根平行的投影面平行线的距离等问题。把一般面变为新投影面的垂直面(图3.52(c)，解决了平面对投影面的倾角、一点到一平面的距离、两平行面间的距离、直线与一般面的交点和两平面

49、交线等问题。把投影面垂直面变为新投影面的平行面（图3.52(d)），解决了求投影面垂直面的实形问题。图3.52 一次换面法 n总结上述一次换面的经验可知，在设立新投影总结上述一次换面的经验可知，在设立新投影面时，面时，必须注意：必须注意：v新投影面必须设立在使空间元素有利于解题的位置。新投影面必须设立在使空间元素有利于解题的位置。v新投影面必须垂直于原有投影面体系中的一个投影新投影面必须垂直于原有投影面体系中的一个投影面，使新投影面和与它垂直的那个原投影面组成一面，使新投影面和与它垂直的那个原投影面组成一个新投影面体系，才能应用正投影规律作出空间元个新投影面体系，才能应用正投影规律作出空间元素

50、的新投影。素的新投影。n新投影面设立的正确与否新投影面设立的正确与否，对于解题是否简，对于解题是否简捷，甚至解题是否可能，都是个关键问题。捷，甚至解题是否可能，都是个关键问题。n为求图为求图3.51（d）所示两平行线的距离，可考）所示两平行线的距离，可考虑设置一平面虑设置一平面Q垂直于平行线垂直于平行线AB和和CD（图图3.53）。）。n AB是是VH体系的一般线，垂直于体系的一般线，垂直于AB的平面的平面Q，在，在VH体系中也必然是一般面（体系中也必然是一般面（图图3.54）。）。n一般线一般线AB要变换为投影面垂直线，必须经过要变换为投影面垂直线，必须经过二二次换面次换面。如图如图 3.5