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1、曹显兵 辅导地位：考研数学辅导的“概率第一人”；数学系教授，中国科学院数学与系统科学研究院博士，现任北京工商大学数理部主任。授课特点：功底扎实，讲解透彻，条理清晰，重点突出，循循善诱，培养能力，举一反三，脱胎换骨。名师风采：已承担国家自然科学基金项目三项，省部级项目两项；在国内外重要学术刊物上发表论文29篇，其中多篇被国际三大检索系统（SCI，EI，ISTP）收录；独立完成专著两部，合作完成考研著作多部。概率论与数理统计复习中的几个关键问题恩波考研数学名师曹显兵众所周知，全国硕士研究生入学统一考试除数学二考生外都要考概率论与数理统计这门课程.但在所考的3门课程中，概率统计的平均得分率几乎每年是
2、最低的，尤其比高等数学(或微积分)低得很多；由此得出的结论似乎是概率统计最难学，或者考得最难. 然而事实恰恰相反，概率统计并不比高等数学难掌握，因为其内容和各种计算技巧都比高等数学少得多.当然，作为一门独立的课程，概率统计有它特有的一些基本概念和思路方法，只要掌握了它们，并有较好的高等数学基础，这门课程就一定能融会贯通、运用自如.下面结合典型例题就考生在复习中必须引起重视的几个关键问题谈点个人的建议，相信这对考生将是有益的.一、独立性独立性是概率统计中特有的一个概念.表面上看，独立性可分为事件的独立性，随机变量的独立性和试验的独立性，但后两种独立性都是由事件的独立性定义的，因此本质上只须掌握事
3、件的独立性.1.两事件的相互独立两个事件A、B相互独立的直观含义是其中一个事件的发生不影响另一事件发生的概率，因此有些实际问题可凭直观进行判断，但严格的理论证明要用下面判别条件之一进行判断：(1) P(AB)=P(A)P(B).(2) P(B | A)=P(B), P(A)0.(3) P(B | A)=P(B |)，0 P(A) 1.(4) P(B | A) + P(|)=1, 0 P(A) 1.上述4个条件中任何一个都是A、B相互独立的充要条件，但通常用第一个进行判定.下面我们证明(3)，这也是2002年数学四的一个8分大题.例1 设A、B是任意二事件，其中A的概率不等于0和1，证明 P(B
4、 | A) = P (B |)是A与B独立的充分必要条件.证明 充分性：由P(B | A)=P(B |)得 于是 ，即 ，故 ，从而A与B相互独立.充分性得证.必要性：因为A与B独立，即有 ，所以 ，即 . 必要性得证.另外，易知必然事件、不可能事件与任何事件 相互独立.2.多个事件的独立性n个事件A1，A2，An(n3)的独立性有两两独立和相互独立两个不同概念.两两独立是指其中任何两个事件相互独立，即有下列个等式成立：；而相互独立是指下列个等式成立：，其中.显然，相互独立的事件组一定两两独立，但反之不成立.3.事件独立的性质(1)若A1，A2，An相互独立，则， 这条性质常用来简化相互独立事
5、件概率的计算.(2)若A1，A2，An 相互独立，则由事件经过事件运算后所得的事件与由事件经过事件运算后所得的事件也相互独立，其中为1 2 n的任何一个排列. 例如，若A、B、C、D相互独立，则与一定独立，与一定独立.下面看几个有关的例子.例2 (1998年数学四) 设A，B，C是三个相互独立的随机事件，且0P(C)）=，故 = 4（1）+=5.例8 （2007年数学一、二、三)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p(0p1), 则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为(A) (B) . (C) (D) 解 “第4次射击恰好第2次命中”表示4次射击中第4次命中目标, 前3次射
6、击中有1次命中目标. 由独立重复性知所求概率为：. 故选(C) . 例9 设参加抗击“非典”的某医疗小组共有36名医护人员，且每个人的生日在一年中任何一个月份是等可能的，求生日在6月份的医护人员数的数学期望.分析 由于每个人的生日要么在6月份，要么不在6月份，而且根据实际意义各医护人员的生日是相到独立的，故这是一个36重伯努利概型.解 设X表示生日在6月份的医护人员数，而每个人的生日在6月份的概率为，故X B（36，）. 从而E（X）=np=36=3.例10 甲袋中有1个黑球，2个白球，乙袋中有3个白球.每次从两袋中各任取一球交换放入对方袋中，试求n次交换后，黑球仍在黑袋中的概率.分析 不管黑
7、球在甲袋中还是在乙袋中，每次取球都有两个对立的结果：取到黑球和取不到黑球，而且每次取到黑球的概率均为，各次是否取到黑球相互独立，故为伯努利概型.解 设X表示n次取球中取到黑球的次数，则XB（n，），且黑球仍在甲袋中的概率即X取偶数值的概率，记此概率为q. 故有q =，其中p =，k为不超过n的最大偶数.下面求出q. 因为，将上面两式相加可得2q =1+，即 q =为所求概率.四、分布函数分布函数是概率论中具有中心地位的一个概念. 随机变量X的分布函数定义为，.这是一个定义域为，且取值于0，1的函数. 关于分布函数要注意以下几点：（1）求分布函数本质上就是计算概率，于是在求分布函数的过程中可能要
8、用到各种计算概率的方法：如事件与概率的性质、古典概型与几何概型、全概率公式等；（2）任何随机变量都存在分布函数；（3）实际中经常遇到的有两种分布函数：离散型随机变量的分布函数与连续型随机变量的分布函数，前者为阶梯跳跃函数，后者为连续函数. 但不要错误认为分布函数连续就可推出其为连续型的.（4）存在既非离散型也非连续型随机变量的分布函数；（5）求连续型随机变量函数的分布（包括一维和二维的情形）本质上就是求分布函数.例11 （2002年数学三、四）假设一设备开机后无故障工作的时间X服从指数分布，平均无故障工作的时间（EX）为5小时. 设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便
9、关机. 试求该设备每次开机无故意工作的时间Y的分布函数F（y）.解 不妨设X 服从参数为的指数分布，则由E（X）= 5得=. 由题意Y =minX，2. 因为 F（y）=P（Yy）=P（minX，2y）=1P（minX，2y）=1P（Xy，2y）=1P（Xy）P（2y），当y2时，P（2y）= 0，于是F（y）=1；当y2时，P（2y）= 1，从而F（y）=1P（Xy）=P（Xy）=故 F（y）=评注 F（y）既不是离散型随机变量的分布函数，也不是连续型随机变量的分布函数.例12 （2003年数学三、四）设随机变量X的概率密度为F（x）F（x）是X的分布函数，求Y = F（x）的分布函数.分析
10、 可由连续型随机变量的密度与分布函数的关系F（x）=先求出F（X），然后求得X的函数Y = F（X）的分布函数.这里我们利用F（x）的特殊性来直接求得Y的分布函数.解 因为F（x）是连续型随机变量的分布函数，故F（x）为连续函数，而且0F（x）1.从而FY（y）=P（Yy）=P（F（X）y），当y0时，FY（y）=0；当y1时，FY（y）=1；当时，.故 Y =F（X）的分布函数为 FY（y）=评注 从解题过程可以看出Y的分布函数与X的密度函数无关，因此对任意连续型随机变量X，本题的结论都是对的，也就是说Y=F（X）的分布恒为0，1上的均为分布.这是一个重要结论.例13（2007年数学一、二、
11、三）设二维随机变量(X, Y)的概率密度为 (1) 求；(2) 求Z+的概率密度.解 (1) .(2) 方法一： 先求Z的分布函数: 当z0时, ;当时, ；当时, ；当时, .故Z+的概率密度=方法二： ，当z 0 或z 2时, ;当时, ；当时, ；故Z+的概率密度五、数字特征数字特征通常包括数学期望、方差、协方差、相关系数等，但它们都可以归结为期望，或函数的期望. 例如方差D（X）=E（X2） E2（X）是由X的期望E（X）和X的函数的期望E（X2）构成的；协方差cov（X，Y）=E（XY）E（X）E（Y）是由期望E（X），E（Y）和X，Y的函数的期望E（XY）构成的；而期望又是函数期望
12、的特殊情形，因此掌握了函数期望就掌握了整个数字特征.而函数期望的计算一般有下列方法：（1）按函数期望公式直接计算；（2）利用期望的性质进行计算；（3）先求分布律或密度函数再按定义计算.例14 在长为L的线段上任取两点，求两点间距离的数学期望与方差.解 将此线段放在数轴的区间0，L上，并设X，Y分别表示所取的两个点的坐标，于是两点之间的距离Z=|X Y |.由题意知X与Y相互独立，而且均服从均匀分布U0，L，即X与Y的密度分别为 由此得（X，Y）的联合密度为f（x，y）= fX（x）fY（y）=由函数期望计算公式，得E（Z）= E（|XY |）=又 . 故 =.例15 设X1，X2，Xn相互独立
13、同分布，其相同的密度函数为其中为常数，试求Z=的数学期望.分析 这是n个随机变量的函数的期望问题. 若直接计算，则将遇到n重积分，显然不方便处理. 因此先求Z的分布函数，从而得到Z的密度函数，再按期望定义进行计算.解 易知X1，X2，Xn的共同分布函数为F（x）=而Z的分布函数为于是，Z的密度为故 E（Z）=.例16 设随机变量X与Y分别表示将一颗骰子接连抛两次先后出现的点数.试求下列齐次方程组的解空间的维数（即基础解系所含向量的个数）的数学期望和方差：分析 这是一个线性代数与概率统计的综合题，但只要掌握了两门课程有关的知识点，本题并不难做. 由于期望和方差一定有对应的随机变量，在这里维数成了随机变量，且显然为离散型的，因此问题的关键是求出维数的分布律.解 设Z表示解空间的维数，A为系数矩阵，r（A）为A的秩. 由已知条件可得X与Y独立同分布，其分布律为P（X= i）= P（Y= i）=，i =1，2，6.对A作初等行变换得A=，因此r（A）的可能取值为1，2，3. 由系数矩阵的秩与基础解系含向量个数的关系得Z的可能取值为3r（A），即0，1，2. 又，即Z的分布律为Z012P故E（Z）=，D（Z）=.评注 求Z的分布律时，若先求P（Z=1），则没有先求P（Z=2）简便，因此灵活运用对立事件的概率公式常可简化概率的计算.12