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1、第一章 随机事件与概率第二篇 概率统计前 言概率论和数理统计的起源及研究内容概率论和数理统计起源于赌博：分赌注问题.随着科学技术的不断发展，它的结论和方法已经广泛应用于自然科学的各个方面，甚至一些纯人文的社会学科如政治、社会、语言、历史等也可觅得其踪影正如拉普拉斯（Laplace 1812）的概率的分析基础中写的那样：“值得注意的是，概率论者们起源于机会游戏的科学，终将成为人类知识宝库中最重要的组成部分生活中那些最重要的问题绝大部分正是概率论问题”因此概率论和数理统计已经成为科技工作者必备的一种数学工具.在我们的实际生活和工作中发生的现象是多种多样的，这些现象大致可以分成两类：确定性现象：在一
2、定条件下必定会发生或必定不会发生的现象.随机现象：在一定条件下有多种可能结果，且事先无法预知哪种结果会出现的现象.观察下表中的各种现象：条件结果例1在标准大气压下，纯水加热到100水必然会沸腾确定性现象例2在常温下生铁必定不会熔化确定性现象例3投掷一枚质地均匀的硬币可能出现正面，也可能出现反面随机现象例4从含有5个次品的一批产品中，任意抽取2件次品件数可能是0，1，2随机现象例5投掷一枚质地均匀的出现的点数可能是1，2，3，4，5，6.随机现象对于随机现象，人们事先不能断定它将发生哪一种结果.从表面上看，好象其结果纯粹是偶然性在起支配作用，其实不然.实践证明：随机现象在相同条件下重复进行多次观
3、察，它的结果会呈现出一定的规律性，这种规律性称为统计规律性.概率论和数理统计就是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科 第一章 随机事件与概率一、教学要求 1理解随机事件的概念，了解随机试验、样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算 2了解概率的各种定义，掌握概率的基本性质并能运用这些性质进行概率计算 3理解条件概率的概念，掌握概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式，并能运用这些公式进行概率计算 4理解事件的独立性概念，掌握运用事件独立性进行概率计算 5掌握贝努里概型及其计算，能够将实际问题归结为贝努里概型，然后用二项概率计算有关事件的概率本章重点：随机事件的概率计算第一节 样本空间与随机
4、事件一 随机试验与随机事件1随机试验(Random experiment)研究和揭示随机现象的统计规律性，就需要在相同条件下重复地进行多次试验（观察）.这里所说的试验应该具有下列三个特性：(1) 试验可以在相同的条件下重复地进行；（可重复进行） (2) 每次试验的可能结果不止一个，但事先知道每次试验所有可能的结果；（结果明确）(3) 每次试验前不能确定哪一个结果会出现（不可预知） 具有上述三个特性的试验称为随机试验（简称试验），通常记为：等. 随机试验的例子：抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况：抛一颗骰子，观察出现的点数：记录某交换台在一个小时内接到的电话呼唤次数.：在一批灯泡中任意抽取
5、一只，测试它的寿命（以小时计）【注1】 “试验”是一个很宽泛的术语，包括实验和对自然现象的观察2随机事件（Random event）1）随机事件 在随机试验中，把一次试验中可能发生也可能不发生、发生与否要等到试验有了结果才能知晓，而在大量重复试验中却呈现某种规律性的事情称为随机事件(简称事件)通常用大写英文字母表示事件2）必然事件和不可能事件在一定条件下必然要发生的事件，称为必然事件(记作)；在一定条件下必然不发生的事件，称为不可能事件(记作). 把它们看作两种特殊的随机事件3）基本事件：只变包含一个试验结果，不能再分解的最简单的随机事件称为基本事件.4）复合事件：由两个或两个以上的基本事件组
6、成的事件称为复合事件.二 样本空间（Sample space）与样本点（Sample point）1. 样本空间：试验的所有可能结果所组成的集合为样本空间，用表示.2. 其中的每一个结果用表示，称为样本空间中的样本点，记作 3.随机事件的集合表示：事件可以看成是试验的样本空间的子集特殊的事件：基本事件、必然事件、不可能事件事件A（在一次试验中）发生 试验中有利于A的样本点出现【注2】 随机试验样本空间样本空间由试验目的所决定确切而恰当地建立样本空间是解决问题的关键，建立样本空间的核心之处在于弄清随机试验的最终的基本结果是什么。例1. 上述试验的样本空间：H, T； ：1, 2, 3, 4, 5
7、, 6； ：； ：例2. 口袋中有红，黄，蓝色球各一个，不返回地取两次（有返回地取两次），每次取一个球，考察球的颜色，试写出样本空间.解：不返回地取两次（红，黄），（红，蓝），（黄，红），（黄，蓝），（蓝，红），（蓝，黄）有返回地取两次（红，红），（红，黄），（红，蓝），（黄，红），（黄，黄），（黄，蓝），（蓝，红），（蓝，黄），（蓝，蓝）三 事件间的关系与运算1事件的关系及运算 1) 包含：若事件发生，一定导致事件发生，那么，称事件包含事件，记作(或) 2) 相等：若两事件与相互包含，即且，那么，称事件与相等，记作 3) 和事件：“事件A与事件B中至少有一个发生”这一事件称为A与B的和事件，
8、记作；“n个事件中至少有一事件发生”这一事件称为的和，记作（简记为）4) 积事件：“事件A与事件B同时发生”这一事件称为A与B的积事件，记作(简记为)；“n个事件同时发生”这一事件称为的积事件，记作（简记为或)5) 互不相容：若事件A和B不能同时发生，即，那么称事件A与B互不相容(或互斥)，若n个事件中任意两个事件不能同时发生，即(1i0,称为事件B发生条件下事件A的条件概率.【注1】 条件概率是概率从而条件概率具有概率的所有性质，如 P(, P(A1A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)-P(A1A2|B) 2条件概率的计算计算条件概率的方法有两种:1）在缩减的样本空间中直接计算；2）利
9、用公式计算：.此时在原先的样本空间中进行计算.下面举例说明：例1 箱中有6个红球，4个白球，不放回地依次取出两球，已知第一次取到的是白球，求第二次取到红球的概率解法一：设B=“第一次取到的是白球”；A=“第二次取到红球”则第一次取到的是白球后，箱子中变成6个红球，3个白球.所以P(A|B) .解法二：利用公式.这里AB=“第一次取到的是白球且第二次取到红球”P（AB）= ，又，所以.例2 某动物出生后能活到4岁的概率为40%, 能活到6岁的概率为25%,现有一个这样的动物已经4岁了,求它能活到6岁的概率解：设B=“活到4岁”，A=“活到6岁”则P（B）=0.4 ；P（AB）=P（A）=0.25
10、=.二 乘法公式(Multiplication formula)1.乘法公式：对于任意两个事件A与B，当,时，有.【注2】乘法公式可以推广到多个随机事件的情形： ， 一般情况下有 P(A1A2A n )=P(A1)P(A2|A1) P(An|A1An-1) ，（P(A1A2An-1)0）例3 有100张定货单,其中5张是订购货物甲的,现从这些定货单中任取3次，每次取1张，问第三次才取得订购货物甲的定货单的概率是多少？解：设 “第次才取到订购货物甲的定货单” .故“第三次才取到订购货物甲的定货单”即为： 所以 .例4. 甲乙两人生产同样的零件共100个，其中有40个是乙生产的，而在这40个零件中
11、有36个是正品，现在从这100个零件中任取一个.（1）求它是乙生产的正品的概率是多少？（2）通过此例说明P（AB）与P（AB）在概念上的差异.解：（1）设A=“取出一个是正品”；B=“取出一个是乙生产的”；因此AB=“取出一个是乙生产的又是正品”P（B）=40/100=0.4 ；P（AB）=36/40=0.9 ；P（AB）=P（B）P（AB）=0.40.9=0.36.（2）由上述的计算可知：P（AB） P（AB），它们在概念上有很大的差异：P（AB）表示：“在取出一个是乙生产的条件下，取出的是正品”这个事件的概率，计算时考虑的是缩小的样本空间，其样本点总数为40.而P（AB）表示：“取出一个是
12、乙生产的又是正品” 这个事件的概率，计算时样本空间的样本点总数为100.例5. 一箱产品有100件，次品率为10%，出厂时作不返回抽样，开箱连续地抽验3件.若3件产品都合格，则准予出厂.求一箱产品准予出厂的概率？解：设 “第件抽到的是正品” ，则“一箱产品准予出厂”可表示为：因为 ，所以例6. 设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为1/2；若第一次落下未打破,第二次落下时打破的概率为7/10；若前二次落下未打破,第三次落下时打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率.解：设 “第次落下时未打破” . 则“透镜落下三次而未打破”为，故 .三 事件的独立性(Mutually
13、independent)1.两个事件的相互独立性条件概率反映了某个事件B对另一个事件A在发生的可能性方面的影响，一般情况下与是不同的.但是在某些情况下，事件B发生或不发生对另一个事件A发生的可能性方面不产生影响，事件A与事件B之间存在某种“独立性”，即有=.定义 如果事件A与B满足，那么，称事件A与B相互独立2. 事件独立性的性质：1) 若P(B)0,则A与B独立P(A|B)= P(A)；若P(A)0,则A与B独立P(B|A)= P(B) 2) 下列四个命题是等价的： (i) 事件A与B相互独立； (ii) 事件A与相互独立； (iii) 事件与B相互独立； (iv) 事件与相互独立3. 多个
14、事件的独立性定义 对于任意三个事件，如果满足等式：则称事件 相互独立【注3】若三个事件，仅仅满足前面三个等式：，则称为两两独立.所以相互独立一定两两独立反之不然【注4】 要注意“互不相容”与“独立性”的差异：互不相容：是指A，B不可能同时发生，AB=，是事件之间的集合属性，与概率性质无关.独立性：是事件A与B满足，是事件的概率特性.“互不相容”与“独立性”之间没有因果关系.【注5】独立性在多数情况下是根据实际问题判断出来的【注6】 若已知独立，则和事件通常可以转化为积事件的概率：P(A1A2An)=1-P()=1-P()=1-P()P()P()=1-1-P(A1)1-P(A2)1-P(An)例
15、7. 甲，乙两人向同一目标射击，已知甲的命中率为0.72，乙的命中率为0.55，求目标被击中的概率？解：设A=“甲击中目标”，B=“乙击中目标”，则“目标被击中”可表示为：.由问题的实际意义可知事件A与事件B相互独立，所以得：. 例8三人独立地破译一密码,他们能单独译出的概率分别为, , ，求密码被译出的概率解：设 “第个人单独译出密码” . 则“密码被译出” 可表示为：而“密码被译出”的逆事件为“三个人都没有译出密码”，它可表示为：所以 .第五节 全概率公式与贝叶斯公式一 全概率公式(Total probability formula)1.全概率公式：如果事件B1, B2, Bn 构成一个完
16、备事件组，即：两两互不相容，且，则对任意事件A有： ，其中由加法公式和乘法公式可得：.这就是全概率公式.全概率公式是在对事件A进行互斥分解的基础上，借助加法公式和乘法公式来实现概率的计算.可见，全概率公式的主要作用是化繁为简.例1. 某工厂有三个车间生产同一种产品，每个车间的产量分别占总产量的45%，35 %，20 %；废品率分别是5 %，2 %，4 %.从全部产品中任抽1件，求：抽到废品的概率？解：设“产品是第个车间生产的” . A=“抽到废品”则：构成一个完备事件组，且有；.故：.例2. 三个箱子中，第一箱装有4个黑球4个白球，第二箱装有5个黑球3个白球, 第三箱装有3个黑球5个白球现从三
17、箱中任取一箱，再从该箱中任取一球，求取出的球是白球的概率解：设“任取一箱是第箱” . A=“从该箱中任取一球取出的球是白球”则：构成一个完备事件组，且有 ； . 故： .例3. 设有3门炮向飞机各射击一次，它们击中飞机的概率分别为0.4, 0.5,0.7,飞机被一弹击中时，被击落的概率为0.2，被两弹击中时，被击落的概率为0.6，被三弹击中时，飞机必定击落,求飞机被击落的概率解：设“飞机被弹击中” . A=“飞机被击落” 则：构成一个完备事件组，且有： ；下面求 故：. 二 贝叶斯公式（Bayes formula）贝叶斯公式在概率论中具有重要的地位。在与全概率公式相同的条件下，如果事件B1,
18、B2, Bn 构成一个完备事件组，即：两两互不相容，且，则由乘法公式可得：，从而 这就是贝叶斯公式.例4. 在例1的假设下，已知取出的是次品，求该次品可能是一，二，三车间生产的概解：例5. 已知在人群中肝癌患者占0.4%，用甲胎蛋白试验法进行普查，肝癌患者显示阳性反应的概率为95%，非肝癌患者显示阳性反应的概率为4%现有一人用甲胎蛋白试验法检查,检查出是阳性，求他是肝癌患者的概率解：设B=“肝癌患者”，=“不是肝癌患者”； A=“显示阳性反应” 则 ；.【注1】 贝叶斯公式的意义在于已知试验中事件A发生了，来探讨事件A发生的原因.因此，全概率公式的主导思想是由“因”导“果”，“ 全”字的意义就
19、是要把造成A发生的原因无一遗漏地加以考察；而贝叶斯公式的主导思想是执“果”索“因”，这正是常常把贝叶斯公式又称为“逆”概率公式的意义所在。在实际应用中，往往求使得为最大的，因为若 ，则表示引起现象A的最可能的原因.【注2】 “先验概率”（Prior probability）与“后验概率”（Posterior probability）贝叶斯公式是利用“先验概率”来计算“后验概率”的公式，称为“先验概率”，即试验前我们对事件出现“概率”的了解；而称为“后验概率”，即我们通过试验得知事件A发生，使得对事件出现“概率”有了进一步的了解，是对“先验概率”的一种修正，所以称为“后验概率”.【注3】 在实际
20、问题中要严格把与区别开来，否则可能会造成严重的不良后果。（参看例5）.第六节 贝努里概型一. 贝努里概型1. n重贝努里试验 设是随机试验，在相同的条件下将试验重复进行次，若1）各次试验是相互独立的；2）每次试验有且仅有两种结果：事件和；3）每次试验的结果发生的概率相同：则称该试验序列为n重贝努里试验，简称为贝努里试验贝努里概型.2. 定理 设在n重贝努里试验中，随机事件发生的概率，则在n次重复独立试验中，事件恰好发生次的概率为，容易验证： ，因此又称这组概率为二项概率3. 应用举例例1.某篮球运动员进行投篮练习，设每次投篮的命中率为0.8，独立投篮5次，求：1） 恰好有4次命中的概率；2）
21、至少有4次命中的概率；3） 至多有4次命中的概率.解：把每次投篮看作一次试验，则每次投篮只有两种结果： “命中” ， “不中”.因此可以将它看成贝努里试验：设：A=“恰好有4次命中”， B=“至少有4次命中” ，C=“至多有4次命中”.1）；2）；3）.例2.对一个工厂的产品进行重复抽样检查，共取200件样品，结果发现其中有四件废品，问我们能否相信该工厂出废品的概率不超过0.005 ？解：假设该工厂出废品的概率为0.005，那么在200件产品中出现4件废品的概率大约为：. 这是一个概率很小的事件，“小概率事件在一次试验中实际上几乎是不可能发生的（称之为实际推断原理）”.现在在一次试验中竟然发生
22、了这样的小概率事件，因此有理由怀疑原来的假设该工厂出废品的概率为0.005的正确性，即工厂出废品的概率不超过0.005是不可信的.三、思考题一个人在口袋里放2盒火柴，每盒支，每次抽烟时从口袋中随机拿出一盒（即每次每盒有同等机会被拿到）并用掉一支，到某次他迟早会发现：取出的那一盒已空了问：“这时另一盒中恰好有支火柴”的概率是多少？设一个居民区有个人，设有一个邮局，开个窗口，设每个窗口都办理所有业务太小，经常排长队；太大又不经济现设在每一指定时刻，这个人中每一个是否在邮局是独立的，每个人在邮局的概率是设计要求：“在每一时刻每窗口排队人数（包括正在被服务的那个人）不超过”这个事件的概率要不小于（例如，），问至少须设多少窗口？设机器正常时，生产合格品的概率为，当机器有故障时，生产合格品的概率为，而机器无故障的概率为某天上班时，工人生产的第一件产品是合格品，问能以多大的把握判断该机器是正常的？