《考研辅导-概率论与数理统计.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《考研辅导-概率论与数理统计.doc（23页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、概率论与数理统计 概率论与数理统计这一章可以分为概率论和数理统计两部分，基本思想是用随机的思想来研究随机现象的统计规律性。其内容是学习随机事件和概率、随机变量及其概率分布、二维随机变量及其联合概率分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假设检验等知识。在研究生入学考试中，本章是高等数学一、高等数学三和高等数学四的考试内容。通过这一章的学习，我们认为应达到如下要求：1、对于随机事件，特别是随机变量及其分布函数、二维随机变量及其联合分布函数应该有清晰的概念。2、对于随机性的方法能运用自如。3、具备对实际问题理解能力，定性分析和定量计算相统一的能力和推理、演绎
2、的逻辑思维能力。一、知识网络图二、典型错误分析例1若P(A)=1/2, P(B)=1/3, P(AB)=1/4,求P(B|A), P(), P()。错解. P(B|A)=P(AB)/P(A)=(1/4)/(1/2)=1/2 P()=1-P(AB)=3/4 P()=P()+P(B)-P(B),其中P(B)=P(B-AB)=1/3-1/4=1/12所以P()=（1-1/2）+1/3-1/12=3/4分析 在求P()时，想到利用摩根率是对的，但摩根率是，故P()=，所以上边的解题是错误的。正确解. P(B|A)=P(AB)/P(A)=(1/4)/(1/2)=1/2 P()=1-P(A)-P(B)+P
3、(AB)=1-1/2-1/3 +1/4=5/12 P()=P()+P(B)-P(B),其中P(B)=P(B-AB)=1/3-1/4=1/12所以P()=（1-1/2）+1/3-1/12=3/4 例2. 一个家庭中有两个小孩，如果已知老大是女孩，则老二也是女孩的概率为多大？如果已知其中有一个女孩，则另一个也是女孩的概率是多大？错解. ，则有，且，于是，即已知老大是女孩的前提下，老二也是女孩的概率为；对第二问，由于生男与生女是相互独立的，故已知其中有一个是女孩，另一个也是女孩的概率也是。分析 一般假设各胎生男与生女是独立的且可能性相同。第一问是比较容易解决的，关键是要注意第二问与第一问的区别，在第
4、二问中条件事件是理解为至少有一个是女孩。正确解.，则有，且，于是，即已知老大是女孩的前提下，老二也是女孩的概率为；对第二问，条件事件是“两个孩子至少有一个是女孩”，相应求事件就可以表述为“两个孩子均为女孩”，问题于是归结为求，由，于是 ，即已知其中有一个是女孩的条件下，另一个也是女孩的概率为。例3. 设随机变量X的概率密度为，试求：（1）常数A及X的分布函数；（2）在两次独立观察中，X都取小于0的数值的概率。 错解 (1) 由于=1，即，故A=2, 则X的分布函数为 (2)设两次观察中X取小于0的次数为，则，其中 ，于是所求得概率为。分析 解本题目的关键是要熟练的应用概率密度函数的性质，即，来
5、求出常数A，而错解中所用到的性质是错误的，故影响了下面的解题。正确解 (1)由概率密度的性质知，所以, 则X的分布函数为 (2)设两次观察中X取小于0的次数为，则，其中 ，于是所求的概率为。例4. (X,Y)的联合概率分布如下表所示： XY-2 -1 1 2 14 0 0 0 0 证明X,Y之间不相关。错证 边缘概率分布如下：X-2 -1 1 2P Y 1 4P0 因为，所以X与Y不相互独立，所以X与Y不相关分析 不相关和独立的关系是：独立一定不相关，但不相关不一定不独立，故上边的证明是错误的。正确证明 边缘概率分布如下：X-2 -1 1 2P Y 1 4P0 可得到，则，所以X与Y不相关，
6、例5. 设随机变量X服从区间上的均匀分布，随机变量Y服从二项分布B(3 , )，且X与Y的相关系数为0.5，求U=X+Y与V=X-2Y的相关系数。错解 因为EX=0,EY=1，故E(X+Y)=EX+EY=1,E(X-2Y)=EX+2EY=2又因为DX=,DY=2/3, E（UV）=-3-,所以=1+,同理可求DV=3-,故分析 解本题的关键是要记准公式和常用分布的期望和方差，上面的解题过程就是由于没有正确地运用公式和结论，因而是错误的。正确解由题意知EX=0,DX=,EY=np=1,DY=np(1-p)=2/3，从而有E(U)=E(X+Y)=EX+EY=1，E(V)=E(X-2Y)=EX-2E
7、Y=-2，E（UV）=-3-,故COV（U，V）=EUV-EUEV=，=1+，同理可求DV=3-2,则带入可求的 例6. 设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2，则随机变量3X-2Y的方差是_错解 D(3X-2Y)=3DX-2DY=8分析 由于X和Y相互独立，则协方差为0，故可以得到公式。所以上面的解题是错误的。正确解 由于X和Y相互独立，则协方差为0，故可以得到公式=44例7. 设随机变量的概率分布为。（1）写出其分布函数；（2）求的期望与方差。错解 （1）由分布函数的定义知=（2） 。分析 上面在解第一问的过程中，区间的划分是错误地。由于离散型随机变量在单点处的概率不一定为零，而
8、我们所规定的分布函数是右连续的，故在求离散型随机变量的分布函数时，区间的划分就很关键。第二问容易犯的错误就是不能正确的应用公式和计算错误。正确解 （1）由，可知，当时，当时，当时，当时， 即的分布函数。（2） 。 例8. 设X服从参数为2的指数分布，试求Y=1-在0，1上服从的分布。 错解 由题意知X的密度函数为，从而有Y在0,1上的密度函数为分析 上面的解题过程错在直接将X的密度函数带入求Y的密度函数，Y实际上是X的函数，在求随机变量的函数的分布时，一般采用先求函数的分布函数的方法，而不是直接求密度函数。正确解 由X的分布可见其有效取值范围是0，+,则Y的有效取值范围是0，1，从而：当y0时
9、，F(y)=0; 当y 1 时，F(y)=1;当0y1, F(y)=P(Y y)= P1-y =PX=1-=1-(1-y)=y对F(y)关于y求导数即得Y的密度函数： 故Y在0，1上服从均匀分布。例9. 设总体X的概率分布为 X0 1 2P 2 其中（01/2)。分析一 按照性质和定义求解解一 （1）因为，所以A=1(2)(3)因为所以X与Y不相互独立。（4）因为，又， 所以（5）显然由问题4得： （6） 分析二 对于第一问还可以应用估计参数的方法解二因为(X,Y)的密度函数为，所以(X,Y)服从区域D上的均匀分布，故常数.方法小结 对于二维随机向量要记住常用性质和公式。例18设，求EY。分析
10、一 直接根据随机变量的函数求期望的公式求解解一 设X的密度函数为f(x)，则分析二 间接法：先求出Y的分布律解二 方法小结 牢记随机变量求数字特征的公式。例19 设是来自正态总体的样本，是求统计量的分布。分析 考虑三个常用的统计分布，统计量T是一个分数，可以考虑其变形形式。解 因为，所以，则，又由定理知：，故方法小结 灵活运用常用的统计分布例20.一食品厂有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取1，1.2，1.5（元）各个值的概率分别为0.3，0.2，0.5。某天售出300只蛋糕。1）求这天的收入至少400元的概率；2）求这天售出的价格为1.2元的
11、蛋糕多于60只的概率。分析 大数量考虑中心极限定理。解 1）设一只蛋糕的价格为，其分布律为 可求出，利用独立同分布的中心极限定理，则所求的概率为2）令，记，则所求的概率为方法小结 中心极限定理中要依靠标准正态分布求出确定的值。四、考研试题分析例21 (1997年高数四)设A,B是任意两个随机事件，则答案 0分析 该题主要是考察事件之间的运算关系和事件的性质，所以首先应该将事件化简，然后再求概率，这类题型数学一出题目较少，数学三和数学四考过得比较多。解答 因为 所以，故原式等于0例22(1998年高数一)设A,B是两个随机事件，且则必有 答案 C分析一 利用公式直接验证解一 从最后一式解出，从而
12、选C 分析二 特殊取值法是解本类问题比较简单直接的方法。解二 (特殊值法)设随机变量X在0，1上服从均匀分布，取，则有，此时，可以得到，于是B和D被排除，重新取，则有，此时，从而A被排除，故选C 例23(2002年高数一、四)概率密度函数为别为答案 D 分析一 特殊取定法是解选择题和判断题常用的方法。解一 (特殊取定法)，设容易验证A,B,C都是错误的，只有D是正确的，故选D分析二 也可严格的按照定义来验证解二 D正确地证明取可知必为随机变量X的分布函数，即。例24(2004年高数一、三、四)设A,B为随机事件，并且，令，求二维随机向量(X,Y)的概率分布，协方差相关系数。分析 利用事件的等价
13、关系，注意到。解 ，则(X,Y)的概率分布为 YX0 1O1 容易得到X,Y的边缘概率分布为；，则，例25(2004年高数一、高数三、高数四)答案 C 分析 本题的关键是：如何用（即题中某个选项的下标）解 ，另一方面，有在将此式与题设 例26(2002年高数一)设随机变量X的概率密度为对X独立的重复观察4次，用Y表示观察值大于分析 显然Y满足二项分布，观察4次，故n=4，而概率就可以通过X来求得，因为X的密度函数已经给出了。另外，尽管连续型随机变量的函数的期望已经有公式给出，但由于计算过程一般都比较复杂，是常使用的公式。解 例27(1998年高数一)设两个随机变量X和Y相互独立，且都服从均值为
14、0方差为1/2的正态分布，求随机变量|X-Y|的方差。分析 对于正态分布的随机变量X和Y来说，相互独立就意味着不相关，且正态分布满足线性性质。解 由X和Y的独立性知，例28(2001年高数三、四)一生产线生产的成品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重50千克，标准差为5千克，若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理来说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977,是标准正态分布函数分析 要应用中心极限定理，首先要将随机变量正确的假设出来，本题因为要求箱数，而题目中已有的数据都是和每箱的重量有关，故考虑将假设为随机变量，进而解题。解答 设n为所求箱数， 并且可以
15、把视为独立同分布的随机变量，n箱的总重量为，易算得，根据列维-林德伯格中心极限定理，由题设，n必须满足，即由此得知，设解得x9.9（舍去负的），因此，即最多可以装98箱。例29(2003年高数一)已知一批零件的长度X（单位:cm）服从正态分布，从中随机的抽取16个零件，得到长度的平均值为40(cm)，则的置信度为0.95的置信区间为_（注：标准正态分布函数值）分析 解这类题目的关键是要掌握如何将一般的正态分布化为标准正态分布。解 设，则有。由题设，置信度为0.95，则显著性水平为，由，查得，置信区间半径为，所求置信区间为例30(2004年高数一)设总体X的分布函数为，其中未知参数是来自总体X的简单随机样本，试分别求的矩估计量和最大似然估计量。 分析 要求未知参数的两种点估计方法，首先必须知道总体的密度函数，题目中给出了分布函数，所以首先应该根据分布函数求出密度函数，再分别根据矩估计和最大似然估计的方法分别去求解。解 （1）X的概率密度函数为则，令，则得到的矩估计量为，其中 （2）当时，似然函数为，则对数似然函数为，令，则可得到 ，所以的最大似然估计量为23