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1、18-1 8-1 位移法的基本概念位移法的基本概念一、关于位移法的简例只要求出结点B位移，各杆伸长变形即可求出。然后进一步可以求出杆件内力第一步，分析单杆（刚度方程）第1页/共68页2第二步，组装结构 变形协调条件：节点平衡条件：即 于是得 基本未知量求出后，每根杆件的位移和轴力可求出。第2页/共68页3上述方法既可用于超静定结构（n3），又可用于静定结构（n=2）。位移法要点如下：1.基本未知量是结构的结点位移2.基本方程是平衡方程3.建立基本方程的过程分为两步：a.离散结构，进行杆件分析，得出杆件的刚度方程；b.组装结构，得到基本方程。4.杆件分析是结构分析的基础。（刚度法）第3页/共68
2、页4二位移法计算刚架基本思路分别分析杆AB和AC.相对于杆AB和AC,A点分别视为固定支座.杆AB和AC分别受载荷和支座位移作用.基本未知量取为A点水平线位移和转角.第4页/共68页5结点位移是处于关键地位的未知量。基本思路：首先把刚架拆成杆件，进行杆件分析杆件在已知端点位移和已知荷载作用下的计算；其次把杆件组合成刚架，利用平衡条件，建立位移法基本方程，借以求出基本未知量。第5页/共68页68-2 8-2 等截面直杆的刚度方程等截面直杆的刚度方程一、符号规则1杆端弯矩 规定顺时针方向为正，逆时针方向为负。杆端弯矩的双重身份：1）对杆件隔离体，杆端弯矩是外力偶，顺时针方向为正，逆时针方向为负。2
3、）若把杆件装配成结构，杆端弯矩又成为内力，弯矩图仍画在受拉边。MBAMCB ABCMBC两个问题：已知端点位移下求杆端弯矩；已知荷载作用下求固端弯矩。第6页/共68页72结点转角顺时针为正，逆时针为负。杆件两端相对侧移，其与弦转角 的正负号一致。而以顺时针方向为正，逆时针方向为负。3杆件两端相对侧移BAABABCD()()Fp第7页/共68页81.两端固定梁二、等截面直杆的刚度方程ABEIABEIMABMBAAiBAiBABiMABMBA第8页/共68页9由上图可得：即为:此外，可得杆端剪力为 第9页/共68页10 以上矩阵为刚度矩阵,系数称为刚度系数刚度系数,该系数只与截面尺寸和材料性质有关
4、的常数,称为形常形常数数.以上就是弯曲杆件的刚度方程。为紧凑起见，可写成矩阵形式第10页/共68页112.一端固定、一端辊轴支座的梁 BAEIBAiBAi第11页/共68页123.一端固定、一端滑动支座的梁BAEIMABMBA第12页/共68页134.等截面直杆只要两端的杆端位移对应相同，则相应的杆端力也相同。1)BAMABMBABAMABMBA第13页/共68页142)BAMABMBABAMABMBA3)BAMABBAMAB第14页/共68页151.两端固定梁三、固端弯矩qABFpAB 单跨超静定梁在荷载作用下产生的杆端弯矩称为固端弯矩。固端弯矩以顺时针方向为正，逆时针方向为负。第15页/共
5、68页162.一端固定、一端辊轴支座的梁ABFpBAq第16页/共68页173.一端固定、一端滑动支座的梁各种单跨超静定梁的固端弯矩可查教材附表。ABABFpq第17页/共68页18在既有荷载作用，又有端点位移情况下，杆端弯矩为：杆端剪力为：第18页/共68页19四、正确判别固端弯矩的正负号ABABqqqBABAq第19页/共68页208-3 8-3 无侧移刚架和有侧移刚架的计算无侧移刚架和有侧移刚架的计算一、无侧移刚架的位移法求解建立位移法方程有两种方法：1）直接利用平衡条件建立位移法方程。2）利用位移法基本体系建立位移法方程。第20页/共68页21解:取结点角位移B B作为基本未知量（铰支
6、座C角位移可不选），由上节表可求各杆固端弯矩：故各杆杆端弯矩如下（各杆的线刚度相等）：第21页/共68页22取结点B为隔离体，列出力矩平衡方程（位移法基本方程）：代入，平衡方程写为 由此可求出基本未知量 至此，位移法关键问题得到解决。最后可求出各杆杆端弯矩：第22页/共68页23组装原则：1.结点处各杆变形要协调一致，选取基本未知量时保证结点处的变形协调条件；2.装配好的结点满足平衡条件，由基本方程满足。第23页/共68页24解：令例8-3-1 用位移法求图示刚架的M图，各杆EI 相同。1.利用平衡条件建立位移法方程ABCDE8kN/miii1）未知量：B D()()第24页/共68页252）
7、列出杆端弯矩表达式a)固端弯矩ABCDE8kN/miiiib)B 产生杆端弯矩iABCDEiii()c)D 产生杆端弯矩iABCDEiii()第25页/共68页263）建立位移法方程并求解由结点B和结点D的平衡条件可得：12MBDMBABMDBMDCMDED第26页/共68页274）作弯矩图将求得的 B、D 代入杆端弯矩表达式得：M 图(kN.m)ABCDE0.711.7827.0225.2438.761.4211.73第27页/共68页28（1）在基本未知量中，要包括结点线位移；（2）在杆件计算中，要考虑线位移的影响；（3）在建立平衡方程时，要增加与结点线位移对应的平衡方程。1.基本未知量的
8、选取只分析线位移的选取：不忽略轴向变形，则平面刚架每个结点有两个线位移，上图各有2、3、4个结点，故分别有4、6、8个结点线位移。二、有侧移刚架的位移法求解第28页/共68页29引入假设：(1).忽略轴力产生的轴向变形；(2).结点转角和各杆弦转角都很微小。则尽管杆件发生弯曲变形，但杆件两端结点之间的距离仍保持不变。第29页/共68页30因不考虑各杆长度的改变，还可以用几何构造分析的方法确定结点的独立线位移的个数。把所有刚结点（包括固定支座）改为铰结点，则此铰结体系的自由度数就是原结构的独立节点线位移的数目。（为了使此铰结体系成为几何不变而需添加的链杆数）第30页/共68页312基本方程的建立
9、基本未知量分为刚结点角位移和独立结点线位移两类，与此对应，基本方程也分为两类。如图，基本未知量为刚结点B的转角和柱顶的水平位移。第31页/共68页32分析各杆两端的位移，可写出各杆的杆端弯矩如下：第32页/共68页33基本未知量中，每一个转角有一个相应的节点力矩平衡方程，每一个独立结点线位移有一个相应的截面平衡方程。平衡方程个数与基本未知量个数相等，正好求解全部基本未知量。第33页/共68页34例8-2，求刚架弯矩图，忽略横梁轴向变形。解：（1）基本未知量只有一个独立线位移，本例没有刚结点，没有转角基本未知量。（2）各柱的杆端弯矩和剪力 各柱线刚度为 第34页/共68页35由此知杆端弯矩为 由
10、每柱的平衡求得杆端剪力为（3）位移法方程取柱顶以上横梁部分为隔离体，由水平方向平衡条件 ，得第35页/共68页36代入可求得（4）杆端弯矩和剪力（5）根据杆端弯矩可画出弯矩图（6）讨论 剪力按刚度分配,然后求弯矩第36页/共68页371）未知量：2kN/m14kNEEIABCD2EI4EI(i)(i/2)(2i)例8-3-2 用位移法求图示刚架内力图。解：()()2）列出杆端弯矩表达式第37页/共68页38a）固端弯矩b）D 产生的杆端弯矩2kN/m14kNEABCDii/22iEABCDii/22i()EABCDii/22i()c）产生的杆端弯矩第38页/共68页393）建立位移法方程并求解
11、MDCMDAMDED由结点D平衡：B2kN/mA14kNECDFQDAMDAMADFQEBMBEDA柱：作CE梁隔离体，求柱剪力。1第39页/共68页40EB柱2kN/mA14kNECDBFQDAMDAMADFQEBMBECE梁2第40页/共68页41解方程组、，得4）作内力图第41页/共68页42EABCD1412216EABCD14383EFNEB=3kN14141433DFNDA=-17kNEABCD17FN=03第42页/共68页43 8-4 位移法基本体系1位移法基本体系、基本结构基本未知量统一用 表示。（1）位移法的基本体系：在刚结点B加约束控制B的转角（不控制线位移）；在结点C加
12、水平支杆控制结点C的水平位移。（2）基本结构：在结点B加约束使结点B不能转动；在结点C加水平支杆使结点C不能水平移动。第43页/共68页44（3）基本体系原结构：简化计算，与力法措施相反，效果相同。2利用基本体系建立基本方程：（1）基本体系原结构的条件第一步，控制附加约束，使结点位移全部为0，刚架处于锁住状态，即基本结构。施加荷载，可求出基本结构中内力，同时附加约束产生约束反力（约结构没有）；第二步，控制附加约束，使基本结构发生结点位移，这时附加约束中的约束反力将随之改变。当结点位移与原结构实际值相等，则附加约束的约束力即完全消失，附加约束将不起作用，基本体系与原结构完全相同。第44页/共68
13、页45b.单位位移 单独作用相应约束力为 基本体系转化为原结构的条件是：基本结构在给定荷载以及给定结点位移共同作用下，附加约束中产生的总约束力等于零。即 为建立位移法基本方程的条件。（2）基本方程，利用叠加原理 a.荷载单独作用相应约束力为 c.单位位移 单独作用相应约束力为 第45页/共68页46叠加得，即为位移法基本方程。3计算过程（1）基本结构在荷载作用下的计算先求各杆固端弯矩，作基本结构在荷载作用下的弯矩图取结点B为隔离体，求得“先锁住后放松”、“先拆后搭”第46页/共68页47第47页/共68页48第48页/共68页49第49页/共68页50具有n个基本未知量的问题，位移法基本方程为
14、上式也称为位移法典型方程。称为结构的刚度矩阵。刚度系数，对称矩阵，主系数大于0，副系数 第50页/共68页51 8-5 8-5 对称结构的计算对称结构的计算 结构对称是指结构的几何形状、支座条件、材料性质及各杆刚度EA、EI、GA均对称。利用结构对称性简化计算，基本思路是减少位移法的基本未知量。一、奇数跨刚架 分析与对称轴相交截面的位移条件，在根据对称性取半边结构时，该截面应加上与位移条件相应的支座。1.对称荷载第51页/共68页52 对称结构在对称荷载作用下，其内力和变形均对称。在取半边结构时，B截面加上滑动支座，但横梁线刚度应加倍。与对称轴相交截面B的位移条件为:未知量 FP FP B i
15、2 i1i12i2 i1BC FP第52页/共68页53 B i i1 i2 i i1 i2i FP FPi i1 i22 iBC A未知量 FP第53页/共68页542反对称荷载 对称结构在反对称荷载作用下，其内力和变形均反对称。FPi2 i1BC未知量 FP FP B i2 i1 i1 i2第54页/共68页55 B i2 i1 i1 FP FPB 2i2 i1 C未知量 FP第55页/共68页56二、偶数跨刚架偶数跨刚架不存在与对称轴相交的截面。1.对称荷载 FP FPBi2i ii2i1 FP Bi2 i第56页/共68页572.反对称荷载FPBII1/2I2 将中柱改为跨度为 的小跨
16、，则原结构变为奇数跨。利用奇数跨结构在反对称荷载作用下的结论就可以得到图示简化结果。dlFPFPBIII1I2 I2 dlFPFPBIII1/2 I1/2I2 I2 FPBII1/2I2 第57页/共68页58例8-4-1 作图示结构 M 图。三、举例FPi0i0i1i12i1解：i0i0i1i12i1FP/2FP/2M=0FN=-FP/2 FN=-FP/2 2i1i0i0i1i1FP/2FP/2第58页/共68页59M图（FP h）FP/2i0i1i1i0i1i1FP/4FP/4M=0FN=-FP/4 i0i1i1FP/4FP/4BFP/42i0i13FP h/28FP h/7AChFP第5
17、9页/共68页60例8-4，求吊桥结构内力图。解:取半边结构如图基本未知量取B点转角和线位移求固端力第60页/共68页61求杆端力杆BC杆BD第61页/共68页62列位移法方程整理得求解得计算杆端力第62页/共68页63绘制内力图第63页/共68页648-5 8-5 支座移动结构的计算支座移动结构的计算一、支座移动时的位移法求解解题思路：1）锁住结点，即令结点位移未知量等于零；2）令结构产生已知的支座移动，此时各杆产生固端弯矩；3）令结构分别产生结点位移，此时各杆产生杆端弯矩；4）叠加2)、3)的结果就求得各杆最终的杆端弯矩。第64页/共68页65例例8-5-18-5-1 作下图示结构作下图示结构 M 图。图。解：()未知量。1）杆端弯矩表达式ABCEIEIllABCEIEIllABCEIEIll第65页/共68页662）建立位移法方程并求解3）作弯矩图第66页/共68页67 在支座移动作用下，超静定结构内力与杆件EI的绝对值成正比。M 图ABC5.1434.286 结构弯矩图如下图示。CABCEI、lEI、lAEI、lD思考题:下图示刚架结点B、C有向右位移动 ,作结构内力图。第67页/共68页68感谢您的观看！第68页/共68页