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1、系系统统的的数数学学模模型型是是描描述述系系统统输输入入、输输出出变变量量以以及及内内部部各各个个变变量量之之间间关关系系的的数数学学表达式。表达式。描描述述各各变变量量动动态态关关系系的的表表达达式式称称为为动动态态数学模型数学模型。常用的数学模型为常用的数学模型为微分方程微分方程。第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型建建立立系系统统数数学学模模型型的的方方法法，一一般般采采用用解解析法析法和和实验法实验法。所所谓谓解解析析法法，即即依依据据系系统统及及元元部部件件各各变变量量之之间间所所遵遵循循的的物物理理、化化学学定定律律列列写写出出变变量量间间的的数数学学表表达达式式，并
2、并经经实实验验验验证证，从从而而建建立系统的数学模型。立系统的数学模型。实实验验法法是是对对系系统统或或元元件件输输入入一一定定形形式式的的信信号号（阶阶跃跃信信号号、单单位位脉脉冲冲信信号号、正正弦弦信信号号等等），根根据据系系统统或或元元件件的的的的输输出出响响应应，经经过数据处理而辨识出系统的数学模型。过数据处理而辨识出系统的数学模型。微分方程微分方程传递函数传递函数频率特性频率特性2.1 控制系统微分方程的建立控制系统微分方程的建立 首首先先必必须须了了解解系系统统的的组组成成、工工作作原原理理，然然后后根根据据支支配配各各组组成成元元件件的的物物理理定定律律，列列写写整整个个系系统统
3、输输入入变变量量与与输输出出变变量量之之间间的的动动态关系式，即微分方程。态关系式，即微分方程。列写微分方程的一般步骤：列写微分方程的一般步骤：分分析析系系统统和和各各个个元元件件的的工工作作原原理理，找找出出各各物物理理量量（变变量量）之之间间的的关关系系，确确定定系统和各元件的输入、输出变量。系统和各元件的输入、输出变量。从从输输入入端端开开始始，按按照照信信号号的的传传递递顺顺序序，根根据据各各变变量量所所遵遵循循的的物物理理（或或化化学学）定定律律，列列写写动动态态关关系系式式，一一般般为为一一个个微微分分方程组。方程组。对对已已建建立立的的原原始始方方程程进进行行处处理理，忽忽略略次
4、次要要因因素素，简简化化原原始始方方程程，如如对对原原始始方方程进行线性化等。程进行线性化等。消消除除中中间间变变量量，写写出出关关于于输输入入、输输出出变变量量之之间间关关系系的的数数学学表表达达式式，即即微微分分方方程。程。根据电路理论中的基尔霍夫定理，建立根据电路理论中的基尔霍夫定理，建立RC无源网络的微分方程。无源网络的微分方程。输入量为电压输入量为电压ur(t),输出量为电压输出量为电压uc(t)i(t)为流经电阻为流经电阻R和电容和电容C的电流，消去中的电流，消去中间变量间变量i(t)，可得可得RC无源网络无源网络令令RC=T，则上式又可写为则上式又可写为式中式中：T称为无源网络的
5、时间常数称为无源网络的时间常数,单位为秒单位为秒(s)一般情况下把输出变量写在等式的左边一般情况下把输出变量写在等式的左边,输入变量写在等式的右边。输入变量写在等式的右边。2.2 拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)变换变换拉拉普普拉拉斯斯变变换换简简称称为为拉拉氏氏变变换换，它它是是一一种种函函数数之之间间的的积积分分变变换换。拉拉氏氏变变换换是是研研究究控控制制系系统统的的一一个个重重要要数数学学工工具具,它它可可以以把把时时域域中中的的微微分分方方程程变变换换成成复复域域中中的的代代数数方方程程，从从而而使使微微分分方方程程的的求求解解大大为为简化。同时还引出了传递函数、频率特性等概念。简
6、化。同时还引出了传递函数、频率特性等概念。一、一、Laplace变换的定义变换的定义1.定义定义设函数设函数 f(t t)在在t t 0 0时有定义，如果线性积分时有定义，如果线性积分 存在，则由此积分所确定的函数可写为存在，则由此积分所确定的函数可写为F(s)称为称为f(t)的象函数，而的象函数，而f(t)称为称为F(s)的原函的原函数，由象函数求原函数的运算称为拉氏反变数，由象函数求原函数的运算称为拉氏反变换，记作换，记作 称其为函数称其为函数 f(t)的拉普拉斯变换，并记作的拉普拉斯变换，并记作二、几种典型函数的拉氏变换二、几种典型函数的拉氏变换1.1.单位阶跃函数单位阶跃函数1(t)数
7、学表达式为数学表达式为其拉氏变换为其拉氏变换为 2 2、单位斜坡函数、单位斜坡函数数学表达式为数学表达式为 其拉氏变换为其拉氏变换为 3.单位加速度函数单位加速度函数数学表达式为数学表达式为 其拉氏变换为其拉氏变换为 4.指数函数指数函数e-at数学表达式为数学表达式为 其拉氏变换为其拉氏变换为 5.5.正弦函数正弦函数sin t 正弦函数定义为正弦函数定义为其拉氏变换为其拉氏变换为 6、单位脉冲函数、单位脉冲函数(函数函数)函数函数的表达式为的表达式为其拉氏变换为其拉氏变换为 三、拉氏变换的基本法则三、拉氏变换的基本法则1.1.线性法则线性法则 设设F1=Lf1(t)，F2=Lf2(t)，a
8、和和b为为常常数数，则有则有2.2.微分法则微分法则 设设F=Lf(t)，则有则有式式中中：f(0),(0),f(0),(0),f(n-1)-1)(0)(0)为为f(t)及及其其各各阶导数在阶导数在t=0=0处的值。处的值。3.积分法则积分法则 设设F(s)=Lf(t)，f(0)=0，则有则有4.4.终值定理终值定理若若F(s)=Lf(t)，且且当当t时时，f(t)存存在在一一个个确定的值，则其终值确定的值，则其终值 该式为求系统的稳态误差（即该式为求系统的稳态误差（即t ）提供了提供了方便。方便。5.位移定理位移定理设设F(s)=Lf(t)，则有则有及及分分别别称称为为时时域域中中的的位位移
9、移定定理理和和复复域域中中的的位移定理。位移定理。四、拉氏反变换四、拉氏反变换 拉氏反变换的定义如下拉氏反变换的定义如下 一一般般由由F(s)求求f(t)，常常用用部部分分分分式式法法。首首先先将将F(s)分分解解成成一一些些简简单单的的有有理理分分式式函函数数之之和和，然然后后由由拉拉氏氏变变换换表表一一一一查查出出对对应应的反变换函数，即得所求的原函数的反变换函数，即得所求的原函数f(t)。F(s)通通常常是是s的的有有理理分分式式函函数数，即即分分母母多多项项式式的的阶阶次高于分子多项式的阶次，次高于分子多项式的阶次，F(s)的一般式为的一般式为式中式中ai、bi为实数，为实数，m、n为
10、正数，且为正数，且m1及及|G1(s)H(s)|1 ，则则系统的总输出表达式可近似为系统的总输出表达式可近似为 因此因此五、闭环系统的误差传递函数五、闭环系统的误差传递函数 闭环系统在输入信号和扰动信号的作用下，闭环系统在输入信号和扰动信号的作用下，以误差信号作为输出量时的传递函数为系以误差信号作为输出量时的传递函数为系统统误差传递函数误差传递函数。根据叠加原理，系统总误差为根据叠加原理，系统总误差为 如果满足条件如果满足条件|G1(s)G2(s)H(s)|1，而且而且|G1(s)|1 ，则系统总误差，则系统总误差上式表明，适当选择系统的元件参数，可上式表明，适当选择系统的元件参数，可以获得较
11、高的工作精度。以获得较高的工作精度。基本要求基本要求1.1.掌握控制系统的基本数学模型：包括微掌握控制系统的基本数学模型：包括微分方程、传递函数和动态结构图。分方程、传递函数和动态结构图。2.2.掌握结构图的等效变换和梅逊公式。掌握结构图的等效变换和梅逊公式。3.3.掌握典型环节并了解其作用。掌握典型环节并了解其作用。4.4.学会建立工程系统，特别是机电相结合学会建立工程系统，特别是机电相结合的控制系统的数学模型。的控制系统的数学模型。主要内容主要内容：能够用理论推导的方法建立电：能够用理论推导的方法建立电路系统及动力系统的数学模型微分方程，路系统及动力系统的数学模型微分方程，典型元部件的传递函数的求取，结构图的典型元部件的传递函数的求取，结构图的绘制，由结构图等效变换求传递函数，由绘制，由结构图等效变换求传递函数，由梅森公式求传递函数。梅森公式求传递函数。重点：重点：常用元部件传递函数的求取；系统常用元部件传递函数的求取；系统传递函数的求取。传递函数的求取。难点：难点：结构图等效变换；梅森公式的应用。结构图等效变换；梅森公式的应用。作业：作业：教材教材p54习题习题:2-1,2-3,2-5