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1、31 1 逆解法和半逆解法逆解法和半逆解法 多项式解法多项式解法1.1.当体力为常量，按应力函数当体力为常量，按应力函数 求解平面求解平面应力问题时，应力问题时，应满足应满足按 求解 多连体中的位移单值条件。(c)S=上应力边界条件,A内相容方程第1页/共112页 对于单连体，(c)通常是自然满足的。只须满足(a),(b)。由 求应力的公式是(d)第2页/共112页2.逆解法 先满足(a),再满足(b)。步骤:(e)逆解法 先找出满足 的解 在给定边界形状S下，由式(b)反推出 各边界上的面力，代入(d),求出第3页/共112页 从而得出，在面力(e)作用下的解答，就是上述 和应力。逆解法 逆
2、解法没有针对性，但可以积累基本解答。第4页/共112页例2 二次式 ，分别表示常量 的应力和边界面力。如图示。例1 一次式 对应于无体力，无面力，无应力状态。故应力函数加减 一次式，不影响应力。逆解法2a2aoyxoyxoyxbbbb2c2c第5页/共112页第6页/共112页例3逆解法 设图中所示的矩形长梁，l h，试考察应力函数 能解决什么样的受力问题？yxol h/2 h/2(l h)第7页/共112页解：按逆解法。1.将 代入相容方程，可见 是满足的。有可能成为该问题的解。2.由 求出应力分量第8页/共112页 因此，在 的边界面上，无任何面力作用，即 3.由边界形状和应力分量反推边界
3、上的面力。在主要边界（大边界）上，第9页/共112页 在x=0，l的次要边界（小边界）上，第10页/共112页 在x=0,l 小边界上的面力 如下图中(a)所示，而其主矢量和主矩如(b)所示。由此，可得出结论：上述应力函数可以解决悬臂梁在 x=0 处受集中力F作用的问题。第11页/共112页FFM(a)(b)第12页/共112页 代入 ，解出 ；3.半逆解法 步骤：半逆解法 由应力(d)式，推测 的函数形式；假设应力的函数形式（根据受力情况，边界条件等）；第13页/共112页 由式（d），求出应力；半逆解法 校核全部应力边界条件（对于多连体，还须满足位移单值条件）。如能满足，则为正确解答；否则
4、修改假设，重新求解。第14页/共112页思考题半逆解法1.在单连体中，应力函数必须满足哪些条件？逆解法和半逆解法是如何满足这些条件的？2.试比较逆解法和半逆解法的区别。第15页/共112页3-2 矩形梁的纯弯曲矩形梁的纯弯曲 梁lh1，无体力，只受M作用（力矩/单宽，与力的量纲相同）。本题属于纯弯曲问题。问题提出 h/2 h/2lyx(l h)oMM第16页/共112页 由逆解法得出，可取 ，且满足 求应力 (a)求解步骤：本题是平面应力问题,且为单连体，若按 求解，应满足相容方程及 上的应力边界条件。第17页/共112页 检验应力边界条件，原则是:边界条件 b.后校核次要边界（小边界），若不
5、能精确满足应力边界条件，则应用圣维南原理，用积分的应力边界条件代替。a.先校核主要边界（大边界），必须精确满足应力边界条件。第18页/共112页主要边界 从式(a)可见，边界条件(b)均满足。满足。主要边界次要边界 x=0,l,(c)的边界条件无法精确满足。第19页/共112页次要边界用两个积分的条件代替 第20页/共112页 当 时，即使在 边界上面力不同于 的分布，其误差仅影响梁的两端部分上的应力。式(d)的第一式自然满足，由第二式得出最终得应力解(e)第21页/共112页 如果区域内的平衡微分方程已经满足，且除了最后一个小边界外，其余的应力边界条件也都分别满足。则我们可以推论出，最后一个
6、小边界上的三个积分的应力边界条件（即主矢量、主矩的条件）必然是满足的，因此可以不必进行校核。试对此结论加以说明。思考题第22页/共112页3-3 位移分量的求出位移分量的求出 在按应力求解中，若已得出应力，如何求出位移？以纯弯曲问题为例，已知试求解其位移。问题提出第23页/共112页1.由物理方程求形变求形变第24页/共112页2.代入几何方程求位移求位移第25页/共112页 对式(a)两边乘 积分,对式(b)两边乘 积分,求位移第26页/共112页 再代入(c),并分开变量，上式对任意的 x,y 都必须成立，故两边都必须为同一常量 。求位移第27页/共112页由此解出求位移得出位移为3.待定
7、的刚体位移分量 ，须由边界约束条件来确定。第28页/共112页2.代入几何方程，积分求 ；归纳：从应力求位移步骤：从应力求位移步骤：3.由边界约束条件确定确定刚体位移分量1.由物理方程求出形变；第29页/共112页2.铅直线的转角 故在任一截面x 处，平面截面假设成立。纯弯曲问题的讨论：1.弯应力 与材料力学的解相同。3.纵向纤维的曲率 同材料力学的结 果。故在纯弯曲情况下，弹性力学解与材料力 学解相同。第30页/共112页思考题2.试证明刚体位移 实际上表示弹性体中 原点的平移和转动分量，并应用本节的解答加以 验证。提示：微分体的转动分量为1.弹性力学中关于纯弯曲梁的解答，与材料力学 的解答
8、在应力、形变等方面完全 一致。由此 是否可以说在纯弯曲情况下材料力学中的平截 面假设成立？第31页/共112页3-4 简支梁受均布荷载简支梁受均布荷载简支梁 ，受均布荷载 及两端支撑反力 。问题yxoll h/2 h/2第32页/共112页现采用此假设。半逆解法按半逆解法求解。假设应力分量。由材料力学因为因为所以，可假设所以，可假设因为所以，可假设第33页/共112页 由应力分量推出应力函数的形式。由对 x 积分，对x再积分，半逆解法第34页/共112页 将 代入相容方程，求解 :相容方程对于任何 均应满足,故的系数均应等于0，由此得三个常微分方程。半逆解法第35页/共112页式(b)中已略去
9、对于 的一次式。将式(b)代入式(a)，即得 。(b)半逆解法解出:第36页/共112页 对称性条件由于结构和荷载对称于 轴，故 应为 的偶函数，为 x的奇函数，故 。由 求应力。半逆解法 在无体力下，应力公式如书中式(f),(g),(h)所示。第37页/共112页 考察边界条件。由此解出系数A,B,C,D。主要边界主要边界第38页/共112页次要边界次要边界由此解出H，K.另一次要边界(x=-l)的条件，自然满足。应用圣维南原理，列出三个积分条件，第39页/共112页最后应力解答：应力第40页/共112页应力的量级当 时,x l 同阶，y h 同阶.第一项 同阶,（与材料力学解同）;第二项
10、同阶,（弹性力学的修正项）同阶,（与材料力学解同）应力的量级同阶,（材料力学中不计）第41页/共112页当 时,量级的值很小,可以不计。应力与材料力学解比较:最主要量级 ,和次要量级 ,在材料力学中均已反映，且与弹性力学相同。最小量级 ,在材料力学中没有。当 时,仅占主项 的1/15 (6%),应力比较中的弹性力学修正项：第42页/共112页弹性力学与材料力学的解法比较:应力比较 弹性力学严格考虑并满足了A内的平衡微分方程,几何方程和物理方程,以及S上的所有边界条件(在小边界上尽管应用了圣维南原理,但只影响小边界附近的局部区域)。材料力学在许多方面都作了近似处理,所以得出的是近似解答。第43页
11、/共112页几何条件中引用平截面假定 沿 为直线分布；例如：边界条件也没有严格考虑；平衡条件中没有考虑微分体的平衡，只 考虑 的内力平衡；材料力学解往往不满足相容条件。第44页/共112页 对于杆件，材料力学解法及解答具有足够的精度；对于非杆件，不能用材料力学解法求解，应采用弹性力学解法求解。第45页/共112页1.当问题中的y轴为对称轴时，试说明 和 应为x的偶函数，而 应为x的奇函数。思考题2.对于梁的弯曲问题，试回忆在材料力学 中是如何考虑平衡条件的？第46页/共112页 3.试说明从弹性力学得出的解答（3-6）不 符合平面截面假设。4.材料力学的解答往往不满足相容条件，为什么？第47页
12、/共112页3-5 3-5 楔形体受重力及液体压力楔形体受重力及液体压力 设有楔形体，左面垂直，顶角为，下端无限长，受重力及齐顶液体压力。oyxn第48页/共112页用半逆解法求解。因为应力 ,而应力的量纲只比高一次（L），所以应力 (x,y 一次式）,=即可假设应力为x,y 的一次式。（1）用量纲分析法假设应力:第49页/共112页（2）由应力 关系式，应为x,y的三次式，（3）满足相容方程（4）由 求应力，第50页/共112页（5）考察边界条件-本题只有两个大边 界，均应严格满足应力边界条件。x=0 铅直面，解出解出第51页/共112页斜边界上，须按一般的应力边界条件来表示，有第52页/共
13、112页其中由式（b)解出a、b,最后的应力解答,应力第53页/共112页水平截面上的应力分布如图所示。第54页/共112页楔形体解答的应用:作为重力坝的参考解答；分逢重力坝接近平面应力问题；在坝体中部的应力，接近楔形体的解答。重力坝规范规定的解法 材料力学解法（重力法）.重力坝的精确分析，可按有限单元法进行。第55页/共112页思考题 重力法是按应力求解的，试回忆应力分量 必须满足哪些条件？在重力法中考虑了哪些条件？第56页/共112页例题1例题2例题3例题4例题8例题7例题6例题5第57页/共112页例题1 设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩的作用，体力可以不计，图3-5，试用应力函
14、数 求解应力分量。第58页/共112页图3-5ydyyxl h/2 h/2o第59页/共112页解：本题是较典型的例题，已经给出了应力函数 ，可按下列步骤求解。1.将 代入相容方程，显然是满足的。2.将 代入式(2-24)，求出应力分量。第60页/共112页3.考察边界条件：主要边界 上应精确满足式(2-15),第61页/共112页 在次要边界x=0上，只给出了面力的主矢量和主矩，应用圣维南原理，用三个积分的边界条件代替。注意x=0是负x面，图3-5中表示了负x面上的 的正方向，由此得：第62页/共112页第63页/共112页由(a),(b)解出 最后一个次要边界条件(x=l上)，在平衡微分方
15、程和上述边界条件均已满足的条件下，是必然满足的，故不必再校核。第64页/共112页代入应力公式，得第65页/共112页例题2 挡水墙的密度为 ，厚度为b,图示,水的密度为 ，试求应力分量。yox第66页/共112页解：用半逆解法求解。1.假设应力分量的函数形式。因为在 y=-b/2边界上，y=b/2 边界上，所以可假设在区域内 沿x 向 也是一次式变化，即 第67页/共112页2.按应力函数的形式，由 推测 的形式，所以第68页/共112页3.由相容方程求应力函数。代入 得要使上式在任意的x处都成立，必须 第69页/共112页 代入 ，即得应力函数的解答，其中已略去了与应力无关的一次式。第70
16、页/共112页 4.由应力函数求解应力分量。将 代入式(2-24),注意 ，体力求得应力分量为第71页/共112页5.考察边界条件：主要边界主要边界 上,有得得得第72页/共112页由上式得到第73页/共112页求解各系数，由得得得得第74页/共112页由此得又有代入A,得第75页/共112页 在次要边界（小边界）x=0上，列出三个积分的边界条件：由式(g),(h)解出第76页/共112页代入应力分量的表达式得最后的应力解答：第77页/共112页例题3已知试问它们能否作为平面问题的应力函数？第78页/共112页解：作为应力函数，必须首先满足相容方程，将 代入，(a)其中A=0，才可能成为应力函
17、数；(b)必须满足 3(A+E)+C=0,才可能成为应力函数。第79页/共112页例题4图中所示的矩形截面柱体，在顶部受有集中力F和力矩 的作用，试用应力函数求解图示问题的应力及位移，设在A点的位移和转角均为零。第80页/共112页bbAyxhOFFb/2第81页/共112页解：应用应力函数求解：(1)校核 相容方程 ，满足.(2)求应力分量，在无体力时，得(3)考察主要边界条件，均已满足第82页/共112页考察次要边界条件，在y=0上，满足。得得第83页/共112页 上述应力已满足了 和全部边界条件，因而是上述问题的解。代入，得应力的解答，第84页/共112页(4)求应变分量，第85页/共1
18、12页(5)求位移分量，第86页/共112页将u,v代入几何方程的第三式，两边分离变量，并全都等于 常数，即第87页/共112页从上式分别积分，求出代入u,v,得第88页/共112页再由刚体约束条件，得得得第89页/共112页代入u,v,得到位移分量的解答在顶点x=y=0，第90页/共112页例题5 图中矩形截面的简支梁上，作用有三角形分布荷载。试用下列应力函数求解应力分量。第91页/共112页yxo h/2 h/2l第92页/共112页 解：应用上述应力函数求解：(1)将 代入相容方程，由此，第93页/共112页(2)代入应力公式，在无体力下，得(3)考察主要边界条件第94页/共112页对于
19、任意的x值，上式均满足，由此得(a)(b)(c)(d)第95页/共112页由(3)+(4)得由(3)-(4)得由(5)-(1)得(e)第96页/共112页(4)考察小边界上的边界条件(x=0),由得由式(2)和(6)解出（f）第97页/共112页另两个积分的边界条件，显然是满足的。第98页/共112页 于是将各系数代入应力表达式，得最后的应力解答。第99页/共112页 读者试校核在x=l的小边界上，下列条件是满足的，第100页/共112页例题6矩形截面的柱体受到顶部的集中力 和力矩M的作用，不计体力，试用应力函数求解其应力分量。Mqqhyxo b/2 b/2 第101页/共112页 解：应用上
20、述应力函数求解：(1)代入相容方程，(2)求应力分量，在无体力下，第102页/共112页(3)考察边界条件，在主要边界主要边界在小边界（x=0）第103页/共112页第104页/共112页再由(a),(b)式解出代入，得应力解答，第105页/共112页例题7 试用应力函数求解图中所示的半无限平面体在的边界上受均布压力q的问题。第106页/共112页第107页/共112页 解：应校核相容方程和边界条件，若这些 量均满足，则可以求出其应力分量。本题得出的应力解答是第108页/共112页例题8 试用应力函数 求解图中所示的半平面体在 的边界上受均布切力q的问题。第109页/共112页第110页/共112页 解：应校核相容方程和边界条件，若这些 量均满足，则可以求出其应力分量。本题得出的应力解答是第111页/共112页感谢您的观看！第112页/共112页