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1、机械可靠性设计分析方法第1页，本讲稿共51页4.3 一次二阶矩方法求可靠度一次二阶矩方法求可靠度_工程方法工程方法第四章第四章 机械可靠性设计分析方法机械可靠性设计分析方法 4.1干涉面积法干涉面积法4.2 分布代数分布代数4.4 蒙特卡洛模拟方法蒙特卡洛模拟方法4.5 变异系数传递规律变异系数传递规律第2页，本讲稿共51页 从可靠度计算的普遍方程可以看出，对于应力和强度比较复杂的分布，从可靠度计算的普遍方程可以看出，对于应力和强度比较复杂的分布，由于积分困难，往往难以得出问题的解析解。由于积分困难，往往难以得出问题的解析解。因此如何采用一些较好的近似方法，能因此如何采用一些较好的近似方法，能
2、比较方便地求得满足工程精度要比较方便地求得满足工程精度要求的零件可靠度的近似解求的零件可靠度的近似解，一直是人们探讨的一个问题。，一直是人们探讨的一个问题。3-1应力和强度概率密度曲线的干涉面积应力和强度概率密度曲线的干涉面积Or,sf(s)g(r)s0=r0f(s)g(r)a1a2应力和强度两个概率密度函数应力和强度两个概率密度函数的交叉区，即干涉区阴影面积的交叉区，即干涉区阴影面积的大小，反映了零件或结构可的大小，反映了零件或结构可靠度的高低。靠度的高低。该面积越小，可靠度越高，反该面积越小，可靠度越高，反之，可靠度越低。之，可靠度越低。干涉面积的大小是由两个概率密度函数平均值的相对位置及
3、方差决定干涉面积的大小是由两个概率密度函数平均值的相对位置及方差决定的。的。可靠度可否通过计算该面积的大小给出？可靠度可否通过计算该面积的大小给出？第3页，本讲稿共51页3-1应力和强度概率密度曲线的干涉面积应力和强度概率密度曲线的干涉面积Or,sf(s)g(r)s0=r0f(s)g(r)a1a24.1干涉面积法干涉面积法设应力、强度两概率密度函数曲线的交点横坐标为设应力、强度两概率密度函数曲线的交点横坐标为s0=r0，并令，并令在应力在应力s、强度、强度r相互独立的情况下，零件的失效概率相互独立的情况下，零件的失效概率(不可靠度不可靠度)可表示为可表示为第4页，本讲稿共51页第5页，本讲稿共
4、51页另一方面，零件的可靠度可表示为另一方面，零件的可靠度可表示为第6页，本讲稿共51页即有即有可见，失效概率数值上不等可见，失效概率数值上不等于干涉区的阴影面积。于干涉区的阴影面积。由于可靠度由于可靠度R(t)总是小于总是小于(1-a1a2)，所以，所以(1-a1a2)可作为零件可靠可作为零件可靠度的上限，成为衡量可靠性的一种指标，称为零件的度的上限，成为衡量可靠性的一种指标，称为零件的非失效保证度非失效保证度。若已知应力和强度的概率密度函数若已知应力和强度的概率密度函数f(s)、g(r)，便可求出干涉，便可求出干涉面积面积a1和和a2，由此便可估计出零件的可靠度。，由此便可估计出零件的可靠
5、度。第7页，本讲稿共51页例例4-1 设某一零件的强度设某一零件的强度r和作用在该零件上的应力和作用在该零件上的应力s均为正态分布。强均为正态分布。强度的均值和标准差分别为度的均值和标准差分别为r=180 Mpa，r 8 Mpa，应力的均值和标，应力的均值和标准差分别为准差分别为 s 150 Mpa，s 6 Mpa，试计算该零件的可靠度和非失效保，试计算该零件的可靠度和非失效保证度。证度。解：由于应力和强度均服从正态分布，所以有解：由于应力和强度均服从正态分布，所以有则可靠度为则可靠度为现用干涉面积法估算零件的可靠度，现用干涉面积法估算零件的可靠度，因因s0=r0处有处有f(s0)=g(r0)
6、所以有所以有第8页，本讲稿共51页解得解得s0=r0=163.5 MPa，因此求得，因此求得a1和和a2分别为分别为第9页，本讲稿共51页可靠度的上限可靠度的上限RU=0.9976比理论值高万分之十一，同样，可靠度下限比理论值高万分之十一，同样，可靠度下限所以有所以有经验公式经验公式该式结果与理论值相比误差约为该式结果与理论值相比误差约为0.14%，可见，干涉面积法得出的零件可，可见，干涉面积法得出的零件可靠度近似值靠度近似值，精度还是比较高的。，精度还是比较高的。该例应力与强度均为正态分布，是为了将近似值与理论值比较，该法对其他任何形式的应力和强度的分布均适用该例应力与强度均为正态分布，是为
7、了将近似值与理论值比较，该法对其他任何形式的应力和强度的分布均适用 第10页，本讲稿共51页 强度、应力和它们的干涉变量及其他许多随机事件往往需要强度、应力和它们的干涉变量及其他许多随机事件往往需要用两个、三个或更多随机变量的函数用两个、三个或更多随机变量的函数Z=f(x1,x2,xn)来描述。来描述。与实数代数一样，随机变量也可以通过一系列公式进行与实数代数一样，随机变量也可以通过一系列公式进行代数运算。代数运算。4.2 分布代数分布代数 当已知其中每一个随机变量当已知其中每一个随机变量xi(il，2，n)的均值的均值i和标准差和标准差i时，可以通过随机变量的代数运算来确定函数时，可以通过随
8、机变量的代数运算来确定函数Z=f(xi)的均值的均值z和标准差和标准差z，从而运用联结方程求得零件的可，从而运用联结方程求得零件的可靠性系数和可靠度。靠性系数和可靠度。第11页，本讲稿共51页一、独立随机变量的加法一、独立随机变量的加法 若已知随机变量若已知随机变量X的均值的均值X和标准差和标准差X，随机变量，随机变量Y的的均值均值Y和标准差和标准差Y，可以推导出随机变量，可以推导出随机变量Z=X+Y的均值的均值Z和和标准差标准差Z二、独立随机变量的减法二、独立随机变量的减法同样可以推导出随机变量同样可以推导出随机变量Z=X-Y的均值的均值Z和标准差和标准差Z第12页，本讲稿共51页三、独立随
9、机变量的乘法三、独立随机变量的乘法积数（积数（Z=XY)的均值的均值Z和标准差和标准差Z四、独立随机变量的除法四、独立随机变量的除法第13页，本讲稿共51页 有一含有有一含有n个随机变量的函数个随机变量的函数Z=f(x1,x2,xn)，如果每一个随机变量，如果每一个随机变量的变异系数的变异系数Cx=x/x0.1，以及这些随机变量，以及这些随机变量相互独立相互独立，且，且都不起主要都不起主要控制作用控制作用，则有概率论的中心极限定理可知，这个多维函数，则有概率论的中心极限定理可知，这个多维函数Z=f(x1,x2,xn)能够满意地服从正态分布能够满意地服从正态分布。当已知其中每一个随机变量的均值当
10、已知其中每一个随机变量的均值i及标准差及标准差i，则可以运用以上随，则可以运用以上随机变量的代数运算公式，综合成为一个含单一随机变量的函数，即确定这机变量的代数运算公式，综合成为一个含单一随机变量的函数，即确定这个单一函数的均值个单一函数的均值z和标准差和标准差z。综合方法综合方法：先综合函数中两个变量先综合函数中两个变量x1和和 x2，确定已合成的变量的均，确定已合成的变量的均值和标准差，接着把上面已得到的合成变量与下一个变量值和标准差，接着把上面已得到的合成变量与下一个变量x3综合综合起来，求出合成的均值和标准差。依此类推，直到所有的变量都被起来，求出合成的均值和标准差。依此类推，直到所有
11、的变量都被综合到单一的变量中去，即求出函数的均值和标准差。综合到单一的变量中去，即求出函数的均值和标准差。第14页，本讲稿共51页例例4-2 今有一受拉伸载荷的杆件，已知载荷今有一受拉伸载荷的杆件，已知载荷F(F,F)=F(80000,1200)N，拉杆直径拉杆直径d(d,d)=d(40,0.8)mm，拉杆长，拉杆长 l(l,l)=l(6000,60)mm，材料的弹性模量，材料的弹性模量 E(E,E)=E(21104,3150)Mpa，求在弹性变形范围内拉杆的伸长，求在弹性变形范围内拉杆的伸长。解：由胡克定理知，的伸长为解：由胡克定理知，的伸长为其中其中 设以上各参数均为相互独立、服从正态分布
12、的随机变量，因此可设以上各参数均为相互独立、服从正态分布的随机变量，因此可根据正态随机变量代数运算公式，对已知参数逐一合成。根据正态随机变量代数运算公式，对已知参数逐一合成。第15页，本讲稿共51页1）求拉杆的截面面积）求拉杆的截面面积A(A,A)因此因此 A(A,A)=A(1256,50.24)mm22）令）令G=Fl求变量求变量G的均值的均值G和标准差和标准差G第16页，本讲稿共51页3）令）令H=AE,求变量求变量H的均值的均值H和标准差和标准差H4）计算拉杆伸长）计算拉杆伸长 的均值的均值和标准差和标准差第17页，本讲稿共51页即拉杆伸长即拉杆伸长 (,)=(1.83,0.084)mm
13、 因为正态分布有一重要特性，即数据偏离三倍标准差的可能性很因为正态分布有一重要特性，即数据偏离三倍标准差的可能性很小小(概率为概率为0.27%)，几乎可以忽略，所以在可靠性设计中一般可假设公，几乎可以忽略，所以在可靠性设计中一般可假设公差差=3(为标准差为标准差)，即，即故拉杆伸长为故拉杆伸长为第18页，本讲稿共51页 若随机变量若随机变量Y的函数比较复杂，计算的函数比较复杂，计算Y的数学期望的数学期望E(Y)和方差和方差D(Y)可能很困难，往往不能简单地运用它们的定义，可能很困难，往往不能简单地运用它们的定义，把函数代入积分公式而得出结果。把函数代入积分公式而得出结果。对于一个多维随机变量对
14、于一个多维随机变量Y=f(x1,x2,xn)，用分布代数的，用分布代数的方法，经多次综合求解函数的均值和方差，计算量很大，比较方法，经多次综合求解函数的均值和方差，计算量很大，比较麻烦，这时可将函数展开成泰勒级数，求得近似解。麻烦，这时可将函数展开成泰勒级数，求得近似解。4.3一次二阶矩法一次二阶矩法泰勒级数近似求解法泰勒级数近似求解法第19页，本讲稿共51页 当应力当应力s和强度和强度r均服从正态分布且相互独立时，根据联均服从正态分布且相互独立时，根据联结方程可方便地求得可靠度系数结方程可方便地求得可靠度系数，进而求得可靠度进而求得可靠度R(t)；但当应力但当应力s和强度和强度r服从其它分布
15、时，需要知道应力服从其它分布时，需要知道应力s和强度和强度r或干涉变量或干涉变量Y进行积分。进行积分。目前许多工程实际中尚缺乏足够的资料来确定应力和强度目前许多工程实际中尚缺乏足够的资料来确定应力和强度的分布，且积分的计算也十分繁杂，当应力和强度的分布的分布，且积分的计算也十分繁杂，当应力和强度的分布未知，仅有足够的资料来确定它们的一阶矩和二阶矩未知，仅有足够的资料来确定它们的一阶矩和二阶矩（均值和方差）时，可以采用一次二阶矩法来求可靠性指（均值和方差）时，可以采用一次二阶矩法来求可靠性指标标4.3一次二阶矩法一次二阶矩法泰勒级数近似求解法泰勒级数近似求解法第20页，本讲稿共51页一维随机变量
16、函数的近似求解一维随机变量函数的近似求解设设y=f(x)在在x=（均值）处展开成一泰勒级数（均值）处展开成一泰勒级数若若D(x)很小很小第21页，本讲稿共51页例例4-3 已知一杆件已知一杆件r的均值的均值r=30mm，标准差，标准差r=1.5mm，求断面面积，求断面面积A的均值的均值A及标准差及标准差A。解：解：面积面积A=r2，则，则f(r)=2r，f”(r)=2，可得，可得第22页，本讲稿共51页 对于一个多维随机变量对于一个多维随机变量y=f(x1,x2,xn)，独立随机变，独立随机变量量xi(il，2，n)均值和标准差为均值和标准差为i和和i。多维随机变量函数的近似求解多维随机变量函
17、数的近似求解若若D(xi)很小很小y的数学期望的数学期望y的方差的方差因此可靠度系数：因此可靠度系数：第23页，本讲稿共51页例例4-4 4-4 一次二阶矩方法求可靠度：一次二阶矩方法求可靠度：有一根有一根A3钢的圆形杆件，圆杆直径钢的圆形杆件，圆杆直径d的均值为的均值为d=30mm，标准差为标准差为d=3mm，圆杆的屈服极限，圆杆的屈服极限r的均值的均值 r=290N/mm2，标准差，标准差 r=25N/mm2。当杆件承受轴向拉力当杆件承受轴向拉力 P=105N（考虑（考虑为常量），试求杆件的可靠性指数和可靠度。为常量），试求杆件的可靠性指数和可靠度。解：以极限载荷表示的极限方程为解：以极限
18、载荷表示的极限方程为函数函数Y Y的均值和标准差分别为的均值和标准差分别为第24页，本讲稿共51页例例4-44-4解：解：若假设为正态分布可靠度查表为：若假设为正态分布可靠度查表为：R=0.9906R=0.9906可靠性指数为：可靠性指数为：第25页，本讲稿共51页 习题：一杆受拉力作用，若外力的均值习题：一杆受拉力作用，若外力的均值F=2104 N，标准，标准差为差为F=2000N，断面面积均值，断面面积均值 A=1000mm2，标准差，标准差 A=80mm2。求应力求应力s的均值的均值s和标准差和标准差s。（用矩法）。（用矩法）第26页，本讲稿共51页 蒙待卡洛模拟法是通过随机变量的统计试
19、验或随机蒙待卡洛模拟法是通过随机变量的统计试验或随机模拟，求解数学、物理和工程技术问题近似解的数值模拟，求解数学、物理和工程技术问题近似解的数值方法，因此也称为统计试验法或随机模拟法。方法，因此也称为统计试验法或随机模拟法。蒙特卡洛模拟法是用法国和意大利接境的一个著名赌蒙特卡洛模拟法是用法国和意大利接境的一个著名赌城蒙特城蒙特 卡洛卡洛(Monte Carlo)命名的。该方法开始应用于命名的。该方法开始应用于40年代，集中研究年代，集中研究 是在是在50年代。由于科学技术的发展，年代。由于科学技术的发展，出现了许多复杂的问题，用传统的数学方法或物理试验出现了许多复杂的问题，用传统的数学方法或物
20、理试验进行处理有时难以解决，用蒙特卡洛方进行处理有时难以解决，用蒙特卡洛方 法则可有效地解法则可有效地解决问题。决问题。4.4 蒙特卡洛模拟方法蒙特卡洛模拟方法一、基本原理一、基本原理第27页，本讲稿共51页 蒙特卡洛模拟的理论基础来自概率论中的两个基蒙特卡洛模拟的理论基础来自概率论中的两个基本定理。本定理。大数定理大数定理：设：设x1，x2，xn，是，是n个独立的随机变量，若个独立的随机变量，若它们来它们来 自同一母体，有相同的分布，且具有相同的有限的均值自同一母体，有相同的分布，且具有相同的有限的均值和方差，分和方差，分 别用别用和和2 表示，则对于任意表示，则对于任意0有有:第28页，本
21、讲稿共51页伯努利定理伯努利定理：若随机事件：若随机事件A发生的概率为发生的概率为P(A)，在，在n次次独立独立 试验中，事件试验中，事件A发生的频数为发生的频数为m，频率为，频率为W(A)mn，则对于，则对于 任意任意 0有有:蒙特卡洛法从同一母体中抽出简单子样来做抽样试验，蒙特卡洛法从同一母体中抽出简单子样来做抽样试验，由上两式知，当由上两式知，当n足够大时，频率足够大时，频率mn 以概率以概率1收敛于收敛于P(A)。因此从理论上讲，这种方法。因此从理论上讲，这种方法 的应用范围几乎没有什么的应用范围几乎没有什么限制。限制。第29页，本讲稿共51页 当用蒙特卡洛法求解某一事件发生的概率时，
22、可以当用蒙特卡洛法求解某一事件发生的概率时，可以通过抽样试验的办法得到该事件出现的频率，作为问题的通过抽样试验的办法得到该事件出现的频率，作为问题的解。在应用蒙特卡洛方法时，需要进行大量的统计试验，解。在应用蒙特卡洛方法时，需要进行大量的统计试验，譬如说譬如说1000次，由次，由 人工进行如此之多的试验会有很多困人工进行如此之多的试验会有很多困难，但高速电子计算机的发难，但高速电子计算机的发 展，为蒙持卡洛模拟提供了展，为蒙持卡洛模拟提供了强大的工具，使该方法得以用于工程实践。即便是应用计强大的工具，使该方法得以用于工程实践。即便是应用计算机，如何在不影响结果精度的前提下，减少算机，如何在不影
23、响结果精度的前提下，减少 计算时间，计算时间，仍是应用蒙特卡洛法中的重要研究课题。仍是应用蒙特卡洛法中的重要研究课题。第30页，本讲稿共51页(a)根据提出的问题确定各变量之间的确定性函数关系。根据提出的问题确定各变量之间的确定性函数关系。(b)根据提出的问题构造一个简单、适用的概率模型或随机模根据提出的问题构造一个简单、适用的概率模型或随机模型，使问题的解对应于该模型中随机变量的某些特征型，使问题的解对应于该模型中随机变量的某些特征(例如例如概率、均值和方差等概率、均值和方差等)。(c)根据模型中各个随机变量的分布，在计算机上产生随机数，根据模型中各个随机变量的分布，在计算机上产生随机数，实
24、现一次模拟过程所需的足够数量的随机数。通常先产生均匀实现一次模拟过程所需的足够数量的随机数。通常先产生均匀 分布的随机数，然后生成服从某一分布的随机数。分布的随机数，然后生成服从某一分布的随机数。二、蒙特卡洛模拟求解步骤二、蒙特卡洛模拟求解步骤:第31页，本讲稿共51页(d)根据概率模型的特点和随机变量的分布特性，设计和根据概率模型的特点和随机变量的分布特性，设计和选取合适的抽样方法，并对每个随机变量进行随机抽样。选取合适的抽样方法，并对每个随机变量进行随机抽样。这里的抽样方法有直接抽样、分层抽样、相关抽样、重这里的抽样方法有直接抽样、分层抽样、相关抽样、重要抽样等。要抽样等。(e)按所建立的
25、模型进行仿真计算，求出问题的一个随机解。按所建立的模型进行仿真计算，求出问题的一个随机解。(f)统计分折模拟试验结果，给出问题的概率解以及解的统计分折模拟试验结果，给出问题的概率解以及解的精度估计。精度估计。在可靠性分析和设计中，用蒙特卡洛方法可以确定复杂在可靠性分析和设计中，用蒙特卡洛方法可以确定复杂随机随机 变量的概率分布和数字特征；可以通过随机模拟估变量的概率分布和数字特征；可以通过随机模拟估计系统和零件计系统和零件 的可靠度；也可以模拟随机过程、寻求系的可靠度；也可以模拟随机过程、寻求系统最优参数等。统最优参数等。二、蒙特卡洛模拟求解步骤二、蒙特卡洛模拟求解步骤:第32页，本讲稿共51
26、页分布名称 密度函数f(x)或f(t)或 0，1均匀分布 1 均匀分布 指数分布 标准正态分布 正态分布 是标准正态分布抽样 对数正态分布 常见分布函数随机变量的随机抽样公式常见分布函数随机变量的随机抽样公式第33页，本讲稿共51页例例4-54-5某铝合金板的形状如图所示。受弯矩作用，其尺寸某铝合金板的形状如图所示。受弯矩作用，其尺寸H、h、均服从正态分布，分布参数为：均服从正态分布，分布参数为：试确定理论应力集中系数试确定理论应力集中系数 的分布类型及分布参的分布类型及分布参数。数。MM受弯矩作用的铝合金板受弯矩作用的铝合金板三、蒙特卡洛模拟算例三、蒙特卡洛模拟算例第34页，本讲稿共51页蒙
27、蒙特特卡卡洛洛模模拟拟算算例例的的程程序序框框图图开始开始输入H、h、分布的类型及参数;Nj=1分别从分别从H、h和和的分布中产生随机数的分布中产生随机数Hf,hf,f 计算计算 的随机数的随机数j j=N进行分布类型判断、估计分布参数进行分布类型判断、估计分布参数输出 的分布类型和分布参数结束结束j=j+1第35页，本讲稿共51页解：理论应立集中系数解：理论应立集中系数的计算公式为的计算公式为蒙特卡洛模拟算例蒙特卡洛模拟算例第36页，本讲稿共51页由于由于H、h、均服从正态分布，所以根据正态分布均服从正态分布，所以根据正态分布的抽样公式以及的抽样公式以及 的计算公式编制计算机程序，上的计算公
28、式编制计算机程序，上机运行。输入参数为：机运行。输入参数为：模拟次数模拟次数N=1000=1000。输出结果为：输出结果为：服从正态分布，服从正态分布，均值为：均值为：标准差：标准差：即：即：蒙特卡洛模拟算例蒙特卡洛模拟算例第37页，本讲稿共51页用蒙特卡洛仿真计算应力用蒙特卡洛仿真计算应力和强度为任意分布时的可和强度为任意分布时的可靠度靠度 任意分布的应力任意分布的应力强度模型强度模型都可以用蒙特卡洛模拟法求都可以用蒙特卡洛模拟法求可靠度的近似值，结果的精可靠度的近似值，结果的精度随模拟的次数的增多而增度随模拟的次数的增多而增高。模拟程序的流程图如右高。模拟程序的流程图如右图所示。图所示。开
29、始开始输入应力和强度分布类型和输入应力和强度分布类型和参数，模拟次数参数，模拟次数N,置置j=1对应力和强度各产生对应力和强度各产生一个随机数一个随机数xsj和和xSj比较比较xsj和和xSj并记下并记下xsjxSj的次数的次数N1j=N?输出输出R=N1/N结束结束j=j+1第38页，本讲稿共51页close all;clear all;clc;nsample=10000;mu_YL=400;sig_YL=25;y_YL=normrnd(mu_YL,sig_YL,nsample 1);mu_QD=500;sig_QD=50;y_QD=normrnd(mu_QD,sig_QD,nsample
30、1);n_OK=0;for j=1:nsample x_YL=y_YL(j);if y_YL(j)y_QD(j);n_OK=n_OK+1;endendy_YLmuhat,y_YLsigmahat,muci,sigmaci=normfit(y_YL);y_QDmuhat,y_QDsigmahat,muci2,sigmaci2=normfit(y_QD);R1=n_OK/nsample第39页，本讲稿共51页例例31 已知某机器零件的应力已知某机器零件的应力s和强度和强度S均为正态分布。其分布均为正态分布。其分布参数分别为参数分别为s 362 Mpa，s 39 Mpa，r=500 Mpa，r 25
31、 Mpa。试计算零件的可靠度。试计算零件的可靠度。解：例例4-64-6用蒙特卡洛仿真方法求可靠度：用蒙特卡洛仿真方法求可靠度：零件的可靠度：解析解零件的可靠度：解析解 R0.9984蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法:N=10000时，时，R0.9986Normal Vs Normal第40页，本讲稿共51页 已知应力为对数正态分布，应力已知应力为对数正态分布，应力s 1n(6.205，0.0998)Mpa，强，强度为正态分布，度为正态分布，rN(600，60)Mpa。按图按图18-10编制计算机程序，模拟次数编制计算机程序，模拟次数10000。上机计算。上机计算运行结果为及运行结果为及0.894。解：
32、例例4-74-7用蒙特卡洛仿真方法求可靠度：用蒙特卡洛仿真方法求可靠度：LogNormal Vs.Normal第41页，本讲稿共51页 已知应力为指数分布，应力已知应力为指数分布，应力s 151.0 Mpa，强度为正态分，强度为正态分布，布，rN(600，60)Mpa。用蒙特卡洛法求可靠度。用蒙特卡洛法求可靠度。模拟次数模拟次数10000。上机计算结果为。上机计算结果为0.9399解：例例4-84-8用蒙特卡洛仿真方法求可靠度：用蒙特卡洛仿真方法求可靠度：Exp Vs Normal第42页，本讲稿共51页 已知应力为对数正态分布，应力已知应力为对数正态分布，应力s ln(6.2046，0.26
33、99)，强度为，强度为对数正态分布，对数正态分布，r ln(6.2046，0.2299)。用蒙特卡洛法求可靠度。用蒙特卡洛法求可靠度。模拟次数模拟次数10000。上机计算结果为。上机计算结果为0.9225解：例例4-94-9用蒙特卡洛仿真方法求可靠度：用蒙特卡洛仿真方法求可靠度：LogNormal Vs.LogNormal第43页，本讲稿共51页 已知应力为已知应力为Weibull分布，应力分布，应力s w(0.001，1.25)，强，强度为正态分布，度为正态分布，rN(500，150)。用蒙特卡洛法求可靠度。用蒙特卡洛法求可靠度。模拟次数模拟次数10000。上机计算结果为。上机计算结果为0.
34、8718。解：例例4-104-10用蒙特卡洛仿真方法求可靠度：用蒙特卡洛仿真方法求可靠度：Weibull Vs Normal第44页，本讲稿共51页对于这样一些复杂的多元函数的统计特征，特别是标准差，即使采对于这样一些复杂的多元函数的统计特征，特别是标准差，即使采用前面所介绍的多维随机变量函数均值及标准差的近似解法，也相用前面所介绍的多维随机变量函数均值及标准差的近似解法，也相当繁琐，容易出错。当繁琐，容易出错。利用变差系数，则可使这些函数由其多个随机变量的乘除关系，转化利用变差系数，则可使这些函数由其多个随机变量的乘除关系，转化为变差系数间的相加的简单关系，使计算多维随机变量函数均值及标为变
35、差系数间的相加的简单关系，使计算多维随机变量函数均值及标准差的过程显著简化。准差的过程显著简化。4.5 4.5 变差系数传递规律变差系数传递规律定义：概率分布变量定义：概率分布变量x的变异系数为：的变异系数为：在机械设计中，许多计算公式常常包含多个随机变量，而这些随机在机械设计中，许多计算公式常常包含多个随机变量，而这些随机变量又常为乘除关系，有些还是非线性的。变量又常为乘除关系，有些还是非线性的。第45页，本讲稿共51页1、变量为乘积关系的函数的变差系数、变量为乘积关系的函数的变差系数(1)二元函数二元函数 z=xy当当x、y为相互独立的随机变量时，其标准差为为相互独立的随机变量时，其标准差
36、为从而得从而得z的变差系数为的变差系数为第46页，本讲稿共51页(2)多变量函数多变量函数z=x1x2xn其标准差为其标准差为故有故有注意：不论变量之间是相乘或相除，其函数变差系数注意：不论变量之间是相乘或相除，其函数变差系数C的计算式是相的计算式是相同的。因此对于以任何形式组成的变量函数，其变差系数的计算要比同的。因此对于以任何形式组成的变量函数，其变差系数的计算要比其标准差的计算简单得多。其标准差的计算简单得多。第47页，本讲稿共51页(3)以乘除关系的任何形式组成的多变量函数以乘除关系的任何形式组成的多变量函数其变差系数均为其变差系数均为或或第48页，本讲稿共51页或或即即2.幂函数的变
37、差系数幂函数的变差系数（1）幂函数）幂函数第49页，本讲稿共51页(4)则有则有(2)则有则有a=1/n(3)则有则有a=-1第50页，本讲稿共51页例例4-2 今有一受拉伸载荷的杆件，已知载荷今有一受拉伸载荷的杆件，已知载荷F(F,F)=F(80000,1200)N，拉杆直径拉杆直径d(d,d)=d(40,0.8)mm，拉杆长，拉杆长 l(l,l)=l(6000,60)mm，材料的弹性模量，材料的弹性模量 E(E,E)=E(21104,3150)Mpa，求在弹性变形范围内拉杆的伸长，求在弹性变形范围内拉杆的伸长。解：由胡克定理知，的伸长为解：由胡克定理知，的伸长为其中其中 设以上各参数均为相互独立、服从正态分布的随机变量，设以上各参数均为相互独立、服从正态分布的随机变量，第51页，本讲稿共51页