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1、概率统计第一章 第五节 条件概率与独立性一、条件概率二、随机事件的独立性三、独立性在可靠性问题中的应用四、贝努利概型与二项概率一 条件概率 问题的提法：（1）给定一个随机试验，是它的样本空间，问“事件A发生的概率”？（2）在上述前提下，问“已知某事件B已经发生了，那么事件A发生的概率是多少”？例1、盒中装有10个球，6个玻璃球其中2个红色4个兰色；4个木质球其中3个红色1个兰色，现从中任取一球 记 A=取到玻璃球，B=取到兰色球则 P（A）=6/10，P（B）=5/10。AB=取到兰色玻璃球则 P（AB）=4/10 问问“如果已知取到的是兰色如果已知取到的是兰色球，那么它是玻璃球的概球，那么它
2、是玻璃球的概率率”是多少？是多少？上述概率可以记为 p（AB），且 P（AB）=4/5 事实上这时的样本空间已经发生变化，变 成为5个兰色球，进一步我们发现，P（AB）=P（AB）/P（B）定义1.2 给定一个随机试验，是它的样本空间，对于任意两个事件A、B，其中 P（B）0，称 P（AB）=P（AB）/P（B）为在已知事件B发生的条件下事件A发生的条件概率。P（AB）=P（AB）/P（B）条件概率也是概率，满足概率的公理化定义中的三条公理，即公理1 P（AB）0；公理2 P（B）=1；公理3 P（AiB）=P（AiB）其中A1，A2，为一列两两互不相容的事件概率的其他性质也可推广到条件概率上
3、，如 例2、有5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，现无放回地取两次每次一个，记 A=第一次取到新球，B=第二次取到新球 求：P（A），P（AB），P（BA）。解：p（A）=3/5，p（AB）=（32）/（54）=3/10，p（B|A）=p（AB）/p（A）=1/2。.例3(课本第17页例1.14)某建筑物按设计要求使用寿命超过50年的概率为0.8，超过60年的概率为0.6，该建筑物经历了50年之后，它将在10年内 倒塌 的概率有多大？解：B=该建筑物的寿命在年以上，A=该建筑 物的寿命在年以上p（|B）=1-p（A|B）=1-p（AB）/p（B）=1-p（A）/p（B）=1-0.6/0.8=1
4、/4 注意此处p（AB）=p（A）由条件概率的定义立即得到概率的乘法公式：当P（A）0时，p（AB）=p（A）p（BA）或 当P（B）0时，p（AB）=p（B）p（AB）乘法公式可推广到多个随机事件上去，如 p（ABC）=p（A）p（B|A）p（C|AB）例5 设10个考题中4难6易，三人参加抽题（不放回），甲先、乙次、丙最后，记事件A、B、C 分别表示三人各抽到难题，试求：P（A），P（AB），P（ABC）.解:P（A）=4/10=2/5，P（AB）=p（A）p（B|A）=P（ABC）=p（A）p（B|A）p（C|AB）o例6、（书上P17例1.15)o 设袋中装有a个红球b个白球，每次随机
5、地从袋中取1个球。然后把原球放回，并加进与取出球相同颜色的球c个，共取了3次，试求3个球都是红球的概率。思考：相互独立与与不相容有何区别？o 一副扑克牌共52张，现从中随机地抽取一张，A=抽到K，B=抽到红桃，可以验证事件A，B是相互独立的.o 抛一枚均匀硬币2次，A=第一次正面向上，B=第二次正面向上，可以验证事件A，B是相互独立的.定理表示这四对事件的独立性是等价的。解:设A=甲击中目标，B=乙击中目标，A、B相互独立，所求概率为 P（AB）=p（A）+p（B）-p（AB）=p（A）+p（B）-p（A）p（B）=0.8或o 满足前面三个式子称为A、B、C三个事件两两独立。o 相互独立一定两
6、两独立，而两两独立不一定相互独立。o例如:抛一枚均匀硬币2次，A=第一次正面向上，B=第二次正面向上，C=恰有一次正面向上。可检验事件A、B、C是两两独立而不是相互独立的。将以上定义推广到n个事件一般我们有 相互独立且 至少有一发生的概率可表示为 解：设需要n门炮才能满足要求，Ai表示第i门炮命中目标，n相互独立则0.99解出n 5,即至少需要5门炮才能以99%的把握命中敌机。o例3、（书上P19例1.7）o 已知每个人的血清中含有肝炎病毒的概率为0.4%，且他们是否含有肝炎病毒相互独立的，今混合100个人的血清，试求混合后的血清中含有含有肝炎病毒的概率。三 独立性在可靠性问题中的应用1234四.贝努利概型与二项概率解：甲获胜有3种情况：3：0；3：1；3：2，其概率分别用p1，p2，p3来表示，