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1、第第4章章分形几何分形几何理学院应用数学系理学院应用数学系24.3 分形维数分形维数 维数是几何对象的一个重要特征量。维数是几何对象的一个重要特征量。直观地说，维数就是为了确定几何对象中一直观地说，维数就是为了确定几何对象中一个点的位置所需的独立坐标的数目，或者说独立个点的位置所需的独立坐标的数目，或者说独立方向的数目。方向的数目。在平直的欧氏空间中，维数是自然的。地图在平直的欧氏空间中，维数是自然的。地图上的点有经度、纬度两个坐标，一个集装箱有长、上的点有经度、纬度两个坐标，一个集装箱有长、宽、高三个尺寸，它们分别是二维和三维的几何宽、高三个尺寸，它们分别是二维和三维的几何对象。对象。34.
2、3.1 从拓扑维数到度量维数从拓扑维数到度量维数 在欧氏几何中，通常把点看作在欧氏几何中，通常把点看作0维，直线看作维，直线看作1维，平维，平面看作面看作2维，空间则是维，空间则是3维的。维的。那么，曲线、曲面或更高维空间上的超曲面的维数是那么，曲线、曲面或更高维空间上的超曲面的维数是多少呢？多少呢？如果一条曲线与如果一条曲线与1维直线同胚（即存在一一的连续映维直线同胚（即存在一一的连续映射），则这条曲线被定义为射），则这条曲线被定义为1维的，如果一个曲面与维的，如果一个曲面与2维平维平面同胚，则这个曲面被定义为面同胚，则这个曲面被定义为2维的。以此类推，如果一维的。以此类推，如果一个超曲面与
3、个超曲面与n维超平面同胚，则这个超曲面被定义为维超平面同胚，则这个超曲面被定义为n维的。维的。这样定义的维数我们称之为这样定义的维数我们称之为拓扑维数拓扑维数。44.3.1 从拓扑维数到度量维数从拓扑维数到度量维数 除欧氏空间的拓扑维数外，还有度量维数，它是从测除欧氏空间的拓扑维数外，还有度量维数，它是从测量的角度定义的，欧几里得维数也可以从测量的角度重新量的角度定义的，欧几里得维数也可以从测量的角度重新理解。理解。54.3.1 从拓扑维数到度量维数从拓扑维数到度量维数 一般来说，如果在一般来说，如果在D维空间中考虑一个维空间中考虑一个D维的几何对维的几何对象，如果将其线度象，如果将其线度(边
4、长边长)扩大到原来的扩大到原来的L倍，就会得到倍，就会得到N个个相应的几何对象，其中：相应的几何对象，其中：维数维数D的数学表达式：的数学表达式：64.3.1 从拓扑维数到度量维数从拓扑维数到度量维数例例4.3 按经典欧氏几何的方法，求一个拓扑一维的光滑曲按经典欧氏几何的方法，求一个拓扑一维的光滑曲线的长度和二维平面上具有光滑边界的区域的面积。线的长度和二维平面上具有光滑边界的区域的面积。ABM1M2MiMi+174.3.1 从拓扑维数到度量维数从拓扑维数到度量维数依此类推，依此类推，k维欧氏空间上的光滑边界几何体维欧氏空间上的光滑边界几何体F的度量的度量d(F)为：为：科赫曲线F：8?4.3
5、.1 从拓扑维数到度量维数从拓扑维数到度量维数 可见，经典一维长度和二维面积对科赫曲线的度量都可见，经典一维长度和二维面积对科赫曲线的度量都没有给出有效的描述。那么，有没有一个合适的方法能对科没有给出有效的描述。那么，有没有一个合适的方法能对科赫曲线这样的分形度量给出合理的描述呢？或者说，是否存赫曲线这样的分形度量给出合理的描述呢？或者说，是否存在一个合适的实数在一个合适的实数s(1s2)，使得对于科赫曲线有：，使得对于科赫曲线有：事实上这样的事实上这样的S存在，这个存在，这个S就是下面要讲到的分形维数。就是下面要讲到的分形维数。9分形维数分形维数 对于同一片纸来讲，数学家认为它是一个无限薄的
6、二对于同一片纸来讲，数学家认为它是一个无限薄的二维结构，而化学家在用纸作为过滤介质时则认为纸具有三维维结构，而化学家在用纸作为过滤介质时则认为纸具有三维的网状结构。的网状结构。物体维数的确定完全取决于人们处理物体的方式（抽物体维数的确定完全取决于人们处理物体的方式（抽象思维或具体操作）。用整数维数概念描述空间物体只是为象思维或具体操作）。用整数维数概念描述空间物体只是为了方便，而并非反映事物的基本属性。分形维数是维数结构了方便，而并非反映事物的基本属性。分形维数是维数结构的一组可操作定义的有益推广，可用于描述物体的粗糙度或的一组可操作定义的有益推广，可用于描述物体的粗糙度或曲线的弯曲程度。曲线
7、的弯曲程度。10拓扑拓扑维维数数分形分形维维数数11111.001.021.251.45分形维数分形维数114.3.2 自相似维数自相似维数 将边长为将边长为1的正方形等分成的正方形等分成9个相似的小正方形，易知个相似的小正方形，易知每个小正方形的边长都是原来的每个小正方形的边长都是原来的1/31/31/31/31/31/31/3 设小的相似几何图形的个数设小的相似几何图形的个数N，N=9；小的几何图形边长是原来的几何小的几何图形边长是原来的几何图形边长的图形边长的1/3，记，记1/r=1/3，称为相，称为相似比，并称似比，并称r=3为相似比倒数。为相似比倒数。对于一般情况，上式可以写成：对于
8、一般情况，上式可以写成：于是于是，维数：维数：124.3.2 自相似维数自相似维数134.3.2 自相似维数自相似维数例例4.4 求康托三分集的自相似维数。求康托三分集的自相似维数。取取0,1线段并将其三等分，保留线段并将其三等分，保留0,1/3，2/3,1两个与两个与原来线段相似的小线段。于是，相似比为原来线段相似的小线段。于是，相似比为1/3，相似比倒数，相似比倒数r=3，小线段个数，小线段个数N=2。所以康托三分集的自相似维数为：。所以康托三分集的自相似维数为：144.3.2 自相似维数自相似维数例例4.5 求科赫曲线的自相似维数。求科赫曲线的自相似维数。由科赫曲线的迭代过程可知，由科赫
9、曲线的迭代过程可知，Ek+1中的小线段长度为中的小线段长度为Ek中直线段的中直线段的1/3，小线段的个数是，小线段的个数是4个，即个，即N=4，相似比为，相似比为1/3，相似比倒数为，相似比倒数为r=3，所以科赫曲线的自相似维数为：，所以科赫曲线的自相似维数为：154.3.3 盒维数盒维数盒维数：自相似维数对于不具有严格自相似性的分形来说是难以自相似维数对于不具有严格自相似性的分形来说是难以适用的，因此我们需要拓广分形维数的定义。适用的，因此我们需要拓广分形维数的定义。盒维数克服了这一困难。由于其维数的数学近似计算及盒维数克服了这一困难。由于其维数的数学近似计算及经验估计要相对容易，故应用中比
10、较普遍。经验估计要相对容易，故应用中比较普遍。取边长为取边长为的小盒子，覆盖分形。由于分形内部有各种的小盒子，覆盖分形。由于分形内部有各种层次的空洞和缝隙，所以有些小盒子是空的，有些则覆盖层次的空洞和缝隙，所以有些小盒子是空的，有些则覆盖了分形的一部分。记非空小盒子的个数为了分形的一部分。记非空小盒子的个数为N(A;),然后不然后不断地缩小盒子的尺寸断地缩小盒子的尺寸，所得的，所得的N(A;)值值自然要增大。当自然要增大。当 0时时,即可得到数盒子法定义的分形维数。即可得到数盒子法定义的分形维数。164.3.3 盒维数盒维数17 在具体的应用中，我们经常利用盒维数来计算平面上的在具体的应用中，
11、我们经常利用盒维数来计算平面上的不规则曲线维数，并利用平行于平面上两个坐标轴的直线族，不规则曲线维数，并利用平行于平面上两个坐标轴的直线族，将平面划分成网格状。将平面划分成网格状。如果任何相邻的两条平行线距离为如果任何相邻的两条平行线距离为，则称网格为，则称网格为-网，网，每个划分成的小方块为每个划分成的小方块为-网坐标块。网坐标块。利用盒维数来计算平面上的不规则曲线维数时，是将利用盒维数来计算平面上的不规则曲线维数时，是将-网坐标块作为闭球。由于坐标块就像一个个小盒子，因此我网坐标块作为闭球。由于坐标块就像一个个小盒子，因此我们形象的将其称之为盒维数。们形象的将其称之为盒维数。4.3.3 盒
12、维数盒维数184.3.3 盒维数盒维数例例4.6 计算谢尔宾斯基三角的盒维数。计算谢尔宾斯基三角的盒维数。194.3.3 盒维数盒维数例例4.7 求康托三分集的盒维数。求康托三分集的盒维数。204.3.3 盒维数盒维数例例4.8 求科赫曲线的盒维数。求科赫曲线的盒维数。214.3.3 盒维数盒维数例例 求英国海岸线的分维数。求英国海岸线的分维数。22应用实例应用实例1：平面复杂曲线盒维数的计算：平面复杂曲线盒维数的计算设设F是平面上的一条复杂变化曲线是平面上的一条复杂变化曲线23 如果数据点在如果数据点在ln轴上存在一个较大的区间，在此区间上轴上存在一个较大的区间，在此区间上数据点明显在一条直
13、线上，称此区间为无标度区，它表明小数据点明显在一条直线上，称此区间为无标度区，它表明小方格边长方格边长在这个区间内变化及引起的在这个区间内变化及引起的N(N()变化是自相似的。变化是自相似的。应用实例应用实例1：平面复杂曲线盒维数的计算：平面复杂曲线盒维数的计算由解析几何知识知道，该直线的斜率近似为由解析几何知识知道，该直线的斜率近似为:该直线的斜率就是复杂曲线该直线的斜率就是复杂曲线F的盒维数的近似值的盒维数的近似值。24 如果数据散点图中无标度区不存在，也就是说，不存在如果数据散点图中无标度区不存在，也就是说，不存在由一组相邻的数据点形成的明显直线，则说明由一组相邻的数据点形成的明显直线，
14、则说明ln与与lnN()不不具有统计的线性关系，进而曲线具有统计的线性关系，进而曲线F不具有分形特征，自然也不具有分形特征，自然也就无法计算维数。就无法计算维数。应用实例应用实例1：平面复杂曲线盒维数的计算：平面复杂曲线盒维数的计算 在现实的应用问题中，两个变量即使存在明确的线性关在现实的应用问题中，两个变量即使存在明确的线性关系，而由于数据是统计得出的（在我们的问题中也是如此），系，而由于数据是统计得出的（在我们的问题中也是如此），无法避免统计误差的存在。所以，我们可以利用线性回归分无法避免统计误差的存在。所以，我们可以利用线性回归分析的方法，对数据散点图中具有直线趋势部分的数据进行相析的方
15、法，对数据散点图中具有直线趋势部分的数据进行相关性检验。关性检验。254.3.4 关联维数关联维数 盒维数可以用来描述不规则连续曲线的分形特征，但对盒维数可以用来描述不规则连续曲线的分形特征，但对于离散数据于离散数据(例如时间序列数据例如时间序列数据)这种的方法就不适用了。这种的方法就不适用了。当我们将孤立的当我们将孤立的n个数据点个数据点(x(t),t)(t=1,2,n)描在描在X-T平平面上，并试图利用网格覆盖方法计算其维数时，一定能找到面上，并试图利用网格覆盖方法计算其维数时，一定能找到一个最小边长一个最小边长，使得每个网格中最多只覆盖一个数据点，使得每个网格中最多只覆盖一个数据点，即即
16、N()=n，并且当网格边长并且当网格边长 时，总有时，总有N()=n，即，即N()不不再随着再随着的减小而增大。的减小而增大。为此人们提出一种针对时间序列维数信息提取的方案为此人们提出一种针对时间序列维数信息提取的方案关联维数关联维数264.3.4 关联维数关联维数嵌入空间：设实验测得的时间序列数据为设实验测得的时间序列数据为 。由于这样的时间序列数据往往非常长，为此，考虑将由于这样的时间序列数据往往非常长，为此，考虑将其视为一个维数相对较低的空间中的矢量组，这个较低维其视为一个维数相对较低的空间中的矢量组，这个较低维的空间称为的空间称为“嵌入空间嵌入空间”。例如，例如，取嵌入空间维数m=10
17、，重新定义一组10维数据矢量：上述过程被称为空间的重构。上述过程被称为空间的重构。274.3.4 关联维数关联维数28 显然，显然，C()是随着是随着的增大而增加的，当的增大而增加的，当距离足够大时，距离足够大时，所有矢量对两两间距离都要小于所有矢量对两两间距离都要小于，则有，则有C()=1；而当；而当充分充分小时，以至于任何矢量对两两间距离都要大于小时，以至于任何矢量对两两间距离都要大于，则，则N1()=0，进而有，进而有C()=0。从上述的分析知，从上述的分析知，0C()1,，lnC()0并且并且lnC()是关是关于于ln单调递增的。单调递增的。4.3.4 关联维数关联维数294.3.4
18、关联维数关联维数 在具体的应用中，关联维数在具体的应用中，关联维数的近似值的近似值 可以按照右图所描述可以按照右图所描述的方法进行。的方法进行。30应用实例应用实例2 内燃机故障诊断（侯舜华等）内燃机故障诊断（侯舜华等）收集内燃机在不同工作情况下的振动信号，离散化后收集内燃机在不同工作情况下的振动信号，离散化后得到时间序列。对于正常工作和不正常工作的内燃机，各取得到时间序列。对于正常工作和不正常工作的内燃机，各取2000个数据点。取嵌入空间维数个数据点。取嵌入空间维数m=15时，给定不同的距离时，给定不同的距离值，并相应计算出值，并相应计算出C()值，得到两组数据：值，得到两组数据：(lnC(
19、)0,故记为故记为-lnC()31 通过将数据描绘在以通过将数据描绘在以ln和和-lnC()为坐标的平面上，可为坐标的平面上，可以看出均存在一个以看出均存在一个ln的变化区间，在此区间内，数据散点的变化区间，在此区间内，数据散点明显在一条直线上。明显在一条直线上。利用线性回归分析方法，分别计算出：利用线性回归分析方法，分别计算出：内燃机正常工作时，相关系数为内燃机正常工作时，相关系数为R=0.9990，直线斜率，直线斜率（即关联维数）（即关联维数）D=7.28，内燃机不正常工作时，相关系数为内燃机不正常工作时，相关系数为R=0.9991，直线斜率，直线斜率（即关联维数）（即关联维数）D=8.0
20、1。应用实例应用实例2 内燃机故障诊断（侯舜华等）内燃机故障诊断（侯舜华等）324.4 分形的应用综述分形的应用综述 自从曼德布罗特于自从曼德布罗特于 1975 年提出年提出 fractal 这个词以来，这个词以来，对于分形的研究从理论和应用两个方面都取得了巨大的进对于分形的研究从理论和应用两个方面都取得了巨大的进展，其所造成的影响几乎遍及各个领域，展，其所造成的影响几乎遍及各个领域，“分形分形”成为许成为许多领域中竞相研究的对象。多领域中竞相研究的对象。上至天文学中的黑洞、星云，下至地球科学中的地震、上至天文学中的黑洞、星云，下至地球科学中的地震、河流，从物理学研究中的湍流、超导现象，到生命
21、科学中河流，从物理学研究中的湍流、超导现象，到生命科学中的血管分布及植物生长，从社会科学中的资本市场、人口的血管分布及植物生长，从社会科学中的资本市场、人口控制到人文科学中的语言学、音乐理论，分形无处不在、控制到人文科学中的语言学、音乐理论，分形无处不在、无处不有。无处不有。334.4.1 分形理论在自然科学中的应用分形理论在自然科学中的应用 1 1、电击穿中的分形特征 电击穿的类型很多，例如闪电。当云层之间的正电荷电击穿的类型很多，例如闪电。当云层之间的正电荷与负电荷的电势差超过某一限度时，就会产生闪电。即云与负电荷的电势差超过某一限度时，就会产生闪电。即云层间的气体被电离了，因而变为瞬间的
22、导体。闪电的形状层间的气体被电离了，因而变为瞬间的导体。闪电的形状是枝状的，明亮地划过天空形成美丽的图案。是枝状的，明亮地划过天空形成美丽的图案。电击穿也可以发生于其他绝缘体中，如玻璃、云母、电击穿也可以发生于其他绝缘体中，如玻璃、云母、木材以及多种高聚物中，是一种常见的自然现象。虽然材木材以及多种高聚物中，是一种常见的自然现象。虽然材料不同，但发生电击穿时，所形成的图案却很相似。料不同，但发生电击穿时，所形成的图案却很相似。344.4.1 分形理论在自然科学中的应用分形理论在自然科学中的应用 1 1、电击穿中的分形特征 这种相似性并非偶然，因为它由同一方程来描述的。这种相似性并非偶然，因为它
23、由同一方程来描述的。电击穿是一种无规则的生长过程，近年来，人们认识到电电击穿是一种无规则的生长过程，近年来，人们认识到电击穿所产生的形状是分形，它的分形维数约为击穿所产生的形状是分形，它的分形维数约为1.7。玻璃板的电击穿图样玻璃板的电击穿图样 电子逃逸的路径电子逃逸的路径 354.4.1 分形理论在自然科学中的应用分形理论在自然科学中的应用 2 2、镀膜技术 在计算机工业中，人们很感兴趣的是在硅片上形成金在计算机工业中，人们很感兴趣的是在硅片上形成金属薄膜，使组成计算机芯片的固态元件之间得以导通。所属薄膜，使组成计算机芯片的固态元件之间得以导通。所采用的方法通常是采用的方法通常是“溅射法溅射
24、法”，即在一定的操作条件下，在，即在一定的操作条件下，在低压混合气体氛围中向某一物体进行溅射，待冷却后，可低压混合气体氛围中向某一物体进行溅射，待冷却后，可在物体表面生成枝状晶体，形成膜状结构。在物体表面生成枝状晶体，形成膜状结构。364.4.1 分形理论在自然科学中的应用分形理论在自然科学中的应用 2、镀膜技术 例如著名的例如著名的“铌铌锗薄膜锗薄膜”，就是由，就是由Elam等人采用溅等人采用溅射法在低压氩气和锗烷的混合气体氛围中向石英晶体上溅射法在低压氩气和锗烷的混合气体氛围中向石英晶体上溅射，使石英晶体表面的射，使石英晶体表面的“成核中心成核中心”上形成了枝状晶体。上形成了枝状晶体。这种
25、晶体具有分形结构，伸出的树枝较粗，好像树枝这种晶体具有分形结构，伸出的树枝较粗，好像树枝上已长出叶子似的，其中心支干的分形维数是上已长出叶子似的，其中心支干的分形维数是1.7，而外缘，而外缘枝叶的分形维数为枝叶的分形维数为1.88。374.4.1 分形理论在自然科学中的应用分形理论在自然科学中的应用 3 3、分形天线 分形的一个值得注意的应用就是在高频无线电通讯中分形的一个值得注意的应用就是在高频无线电通讯中作为天线的应用，特别是作为移动电话的天线，因为这可作为天线的应用，特别是作为移动电话的天线，因为这可以利用分形的两个优点。以利用分形的两个优点。首先，就是一些分形的首先，就是一些分形的“充
26、斥空间充斥空间”的特性，比如科赫的特性，比如科赫曲线的一些变形，可以使得一个相对小的空间中存放一个曲线的一些变形，可以使得一个相对小的空间中存放一个具有高响应度的分形天线；其次，根据分形的几何性质，具有高响应度的分形天线；其次，根据分形的几何性质，可以构造出反映分形自相似性的，具有谐振频率的宽频天可以构造出反映分形自相似性的，具有谐振频率的宽频天线，也可以构造具有独立频率响应的天线。线，也可以构造具有独立频率响应的天线。384.4.1 分形理论在自然科学中的应用分形理论在自然科学中的应用 3 3、分形天线(1)天线小型化。在占用空间相同的情况下分形形状能够使天线小型化。在占用空间相同的情况下分
27、形形状能够使天线的周长为无限长，在频率较低时，天线可以在很小的空天线的周长为无限长，在频率较低时，天线可以在很小的空间内利用分形曲线实现。间内利用分形曲线实现。(2)天线的辐射阻抗增加。天线的辐射阻抗增加。(3)分形天线具有更强的方向性。分形天线具有更强的方向性。在实际中，两个谢尔宾斯基三在实际中，两个谢尔宾斯基三角形被蚀刻在一个印刷电路板上，角形被蚀刻在一个印刷电路板上，顶点相对（一个分形顶点相对（一个分形“蝴蝶结蝴蝶结”），），从一个发射器或接收器通过两线式从一个发射器或接收器通过两线式传输线连接到这两个顶点。传输线连接到这两个顶点。39 肺与气管组成脊椎动物的呼吸系肺与气管组成脊椎动物的
28、呼吸系统。多数陆生脊椎动物的气管的作用统。多数陆生脊椎动物的气管的作用是将空气从喉部输送给两个主支气管，是将空气从喉部输送给两个主支气管，然后进人肺脏，主支气管进入肺后分然后进人肺脏，主支气管进入肺后分成成 8-10个较大分支，随后又分为许个较大分支，随后又分为许多的支气管，最细的支气管的直径不多的支气管，最细的支气管的直径不足足1cm，并终止在肺泡上，支气管，并终止在肺泡上，支气管系统的形状犹如一棵倒置的树系统的形状犹如一棵倒置的树。4.4.1 分形理论在自然科学中的应用分形理论在自然科学中的应用 人类支气管树人类支气管树4 4、生物学中的分形404.4.1 分形理论在自然科学中的应用分形理
29、论在自然科学中的应用 4 4、生物学中的分形人类支气管树人类支气管树 解剖学指出，肺的结构从气管尖端成解剖学指出，肺的结构从气管尖端成倍地反复分岔，使尖端面积变得非常之大。倍地反复分岔，使尖端面积变得非常之大。光学显微镜给出的肺泡面积为光学显微镜给出的肺泡面积为80m2，而电，而电子显微镜下给出的面积是子显微镜下给出的面积是140m2，这反映了，这反映了在不同尺度测量中的不确定性。但无论哪在不同尺度测量中的不确定性。但无论哪种情况，肺泡结构都显示出自相似性，经种情况，肺泡结构都显示出自相似性，经过研究人们发现人肺的分形维数大约是过研究人们发现人肺的分形维数大约是2.17，此值与把空间全部填满的
30、曲线维数，此值与把空间全部填满的曲线维数 相比相比非常之小。非常之小。414.4.1 分形理论在自然科学中的应用分形理论在自然科学中的应用 4 4、生物学中的分形人类支气管树的分形维的估算图人类支气管树的分形维的估算图424.4.2 经济学与分形理论经济学与分形理论美国美国 1935-1936 年收入的分布年收入的分布434.4.2 经济学与分形理论经济学与分形理论500种股票综合价格指数频率分布曲线种股票综合价格指数频率分布曲线444.4.3 模糊分形模糊分形 分形是具有某种特征的几何体，数学上将其视为某个分形是具有某种特征的几何体，数学上将其视为某个欧氏空间的点的集合。如果一个几何体可以刻画为某个欧欧氏空间的点的集合。如果一个几何体可以刻画为某个欧氏空间的模糊集合，自然引出了模糊分形问题。氏空间的模糊集合，自然引出了模糊分形问题。454.4.3 模糊分形模糊分形(1)截集的分维数D()464.4.3 模糊分形模糊分形(2)模糊集合的模糊分形维数