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1、材 料 力 学讲授:顾志荣第五章 平面图形的几何性质 同济大学航空航天与力学学院顾志荣材料力学20092009版版第五章 平面图形的几何性质 基本内容与学习要求基本内容与学习要求 掌握平面图形的形心、静矩、惯性矩、极惯性矩和平行移轴公式的应用；了解转轴公式；掌握平面图形的形心主惯性轴、形心主惯性平面和形心主惯性矩的概念。知识要点与重点难点知识要点与重点难点 静矩与形心；惯性矩、极惯性矩、惯性积；平行移轴公式；移轴公式；主惯性轴的概念；形心主惯性轴、形心主惯性平面与形心主惯性矩的概念；形心主惯性轴确定、形心主惯性矩计算。第五章 平面图形的几何性质 一 静矩、形心及相互关系二 惯性矩、惯性积、极惯
2、性矩与惯性半径三 平行移轴定理四 转轴定理五 形心主轴、形心主矩第五章 平面图形的几何性质 为什么要研究平面图形的几何性质 材料力学的研究对象为杆件,杆件的横截面是具有一定几何形状的平面图形。杆件的承载能力,不仅与截面大小有关,而且与截面的几何形状有关。第五章 平面图形的几何性质 课堂小实验 相同的材料、相同的截面积,截面的几何形状不同,承载能力差异很大。第五章 平面图形的几何性质 研究平面图形几何性质的方法:化特殊为一般实际杆件的横截面第五章 平面图形的几何性质 平面图形的几何性质包括:形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积、主惯性轴、主惯性矩等第五章 平面图形的几何性质 一 静矩、
3、形心及相互关系z zy yO Od dA Ay yz z图形对于图形对于图形对于图形对于 y y 轴的静矩轴的静矩轴的静矩轴的静矩图形对于图形对于图形对于图形对于 z z 轴的静矩轴的静矩轴的静矩轴的静矩第五章第五章 平面图形的几何性质平面图形的几何性质/一一 静矩、形心及相互关系静矩、形心及相互关系定义定义定义定义A Az zy yO Od dA Ay yz zz zy yO Oz zC CC Cy yC C分力之矩之和分力之矩之和分力之矩之和分力之矩之和合力之矩合力之矩合力之矩合力之矩第五章第五章 平面图形的几何性质平面图形的几何性质/一一 静矩、形心及相互关系静矩、形心及相互关系计算计算
4、计算计算静矩与形心坐标之间的关系静矩与形心坐标之间的关系 已知静矩可以确定图形的形心坐标已知静矩可以确定图形的形心坐标已知静矩可以确定图形的形心坐标已知静矩可以确定图形的形心坐标 已知图形的形心坐标可以确定静矩已知图形的形心坐标可以确定静矩已知图形的形心坐标可以确定静矩已知图形的形心坐标可以确定静矩第五章第五章 平面图形的几何性质平面图形的几何性质/一一 静矩、形心及相互关系静矩、形心及相互关系第五章第五章 平面图形的几何性质平面图形的几何性质/一一 静矩、形心及相互关系静矩、形心及相互关系组合图形的静矩与形心计算组合图形的静矩与形心计算性质性质:静矩是对某一坐标轴定义的,静矩与坐标轴有关截面
5、对某一轴的静矩等于零,则该轴必通过形心。截面对通过形心轴的静矩恒等于零。即:第五章第五章 平面图形的几何性质平面图形的几何性质/一一 静矩、形心及相互关系静矩、形心及相互关系决定因素决定因素:静矩与截面尺寸、形状、轴的位置有关。数值范围数值范围:可以为正、或负、或等于零。单单位位:mm3、cm3、m3第五章第五章 平面图形的几何性质平面图形的几何性质/一一 静矩、形心及相互关系静矩、形心及相互关系 例题例题 试确定图示梯形面积的形心位置，及其对底边的静矩。试确定图示梯形面积的形心位置，及其对底边的静矩。解：解：图形对底边的静矩图形对底边的静矩形心位置形心位置abhzyOC1C2第五章 平面图形
6、的几何性质/一 静矩、形心及相互关系第五章 平面图形的几何性质二 惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径图形对图形对图形对图形对 y y 轴的轴的轴的轴的惯性矩惯性矩惯性矩惯性矩图形对图形对图形对图形对 z z轴的轴的轴的轴的惯性矩惯性矩惯性矩惯性矩图形对图形对图形对图形对 y z y z 轴的轴的轴的轴的惯性积惯性积惯性积惯性积图形对图形对图形对图形对 O O 点的点的点的点的极惯性矩极惯性矩极惯性矩极惯性矩z zy yO Od dA Ay yz zA A第五章第五章 平面图形的几何性质平面图形的几何性质/二二 惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径定义：定义：定义
7、：定义：图形对图形对图形对图形对 y y 轴的轴的轴的轴的惯性半径惯性半径惯性半径惯性半径图形对图形对图形对图形对 z z 轴的轴的轴的轴的惯性半径惯性半径惯性半径惯性半径z zy yO Od dA Ay yz z第五章第五章 平面图形的几何性质平面图形的几何性质/二二 惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径定义：定义：定义：定义：第五章第五章 平面图形的几何性质平面图形的几何性质/二二 惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径z zy yO Od dA Ay yz z计算：计算：计算：计算：z zy yO Od dA Ay yz zA
8、 A第五章第五章 平面图形的几何性质平面图形的几何性质/二二 惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径惯性矩与极惯性矩之间的关系：惯性矩与极惯性矩之间的关系：惯性矩与极惯性矩之间的关系：惯性矩与极惯性矩之间的关系：性性性性质：质：质：质：1、惯性矩和惯性积是对一定轴而定义的，而极惯矩，是对点定义的。2、任何平面图形对于通过其形心的对称轴和与此对称轴垂直的轴的惯性积为零。3、对于面积相等的截面，截面相对于坐标轴分布的越远，其惯性矩越大。第五章 平面图形的几何性质/二 惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径决定因素决定因素:截面形状、尺寸、轴的位置。数值范围数值范围:惯性矩
9、、极惯性矩和惯性半径恒为 正;惯性积可以为正、为负、为零。单单位位:惯性矩、极惯性矩和惯性积的单位相 同,均为mm4、cm4、m4 惯性半径:mm、cm、m第五章第五章 平面图形的几何性质平面图形的几何性质/一一 静矩、形心及相互关系静矩、形心及相互关系例题例题例题例题 矩形截面惯矩形截面惯矩形截面惯矩形截面惯性矩的计算性矩的计算性矩的计算性矩的计算hozybydy同理：同理：第五章第五章 平面图形的几何性质平面图形的几何性质/一一 静矩、形心及相互关系静矩、形心及相互关系例题例题圆截面惯性矩、极惯性矩计算圆截面惯性矩、极惯性矩计算d dd dA AC Cy yz z第五章第五章 平面图形的几
10、何性质平面图形的几何性质/二二 惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径第五章 平面图形的几何性质三 平行移轴定理 移轴定理是指图形对于互相平行轴的惯性矩、惯性积之间的关系。即通过已知图形对于一对坐标的惯性矩、惯性积，求图形对另一对坐标的惯性矩与惯性积。第五章第五章 平面图形的几何性质平面图形的几何性质/三三 平行移轴定理平行移轴定理zcycyzOadA在所有相互平行的坐标轴中，图形对形心轴的惯性矩为最小，但图形对形心轴的惯性积不一定是最小第五章 平面图形的几何性质/三 平行移轴定理 应用平行移轴定理应注意的问题 两平行轴中，必须有一轴为形心轴,截面对任意两平行轴的
11、惯性矩间的关系,应通过平行的形心轴惯性矩来换算。第五章第五章 平面图形的几何性质平面图形的几何性质/三三 平行移轴定理平行移轴定理 例题试求图示三角形：（例题试求图示三角形：（1 1）对）对z z轴静矩；轴静矩；（2 2）对）对z z轴的惯性矩；（轴的惯性矩；（3 3）对）对z z1 1轴的惯性矩。轴的惯性矩。zb/2b/2h/2h/2Oyz1ydyzc 例题图示为三个等直径圆相切的组合问题,求对形心轴zc的惯性矩.O1O2O3zcO2、O3到zc轴的距离O1到zc轴的距离四 转轴定理第五章 平面图形的几何性质 所谓转轴定理是研究坐标轴绕原点转动时，图形对这些坐标轴的惯性矩和惯性积的变化规律。
12、第五章 平面图形的几何性质/四 转轴定理z zy yO Oz z1 1y y1 1 d dA Ay yz zy y1 1z z1 1已知已知：Iy、Iz、Iyz、求：求：Iy1、Iz1、Iy1z1第五章 平面图形的几何性质/四 转轴定理z zy yO Oz z1 1y y1 1 d dA Ay yz zy y1 1z z1 1第五章 平面图形的几何性质/四 转轴定理 图形对一对垂直轴的惯性矩之和与转轴时的角度无关，即在轴转动时，其和保持不变。第五章 平面图形的几何性质/四 转轴定理z zy yO Oz z0 0y y0 0 0 0 0 0d dA Ay yz zy y0 0z z0 0y0、z
13、0通过通过通过通过O O点的主轴点的主轴点的主轴点的主轴第五章 平面图形的几何性质/四 转轴定理 当当当当 改变时，改变时，改变时，改变时，I Iy yl l、I Iz zl l的数值也发生变化，的数值也发生变化，的数值也发生变化，的数值也发生变化，而当而当而当而当=0 0时，二者分别为极大值和极小值。时，二者分别为极大值和极小值。时，二者分别为极大值和极小值。时，二者分别为极大值和极小值。I Iy y0 0、I Iz z0 0主惯性矩主惯性矩主惯性矩主惯性矩z zy yO Oz z0 0y y0 0 0 0 0 0d dA Ay yz zy y0 0z z0 0第五章 平面图形的几何性质/四
14、 转轴定理主惯性矩：第五章 平面图形的几何性质/四 转轴定理 对于任意一点（图形内或图形外）都有主轴，对于任意一点（图形内或图形外）都有主轴，而通过形心的主轴称为而通过形心的主轴称为形心主轴形心主轴，图形对形心，图形对形心主轴的主轴的I Iy y惯性矩称为形心主惯性矩，简称惯性矩称为形心主惯性矩，简称形心形心主矩主矩。工程计算中有意义的是形心主轴与形心。工程计算中有意义的是形心主轴与形心主矩。主矩。第五章 平面图形的几何性质/四 转轴定理五 形心主轴、形心主矩第五章 平面图形的几何性质第五章第五章 平面图形的几何性质平面图形的几何性质/五五 形心主轴、形心主矩形心主轴、形心主矩1 主惯性轴、主
15、惯性矩 对于任何形状的截面,总可以找到一对特殊的直角坐标,使截面对于这一对坐标轴的惯性积等于零。惯性积等于零的一对坐标轴就称为该截面的主惯性轴,而截面对于主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。第五章第五章 平面图形的几何性质平面图形的几何性质/五五 形心主轴、形心主矩形心主轴、形心主矩2 形心主惯性轴、形心主惯性矩 当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时,他们就被称为该截面的形心主惯性轴。而截面对于形心主惯性轴的惯性矩就称为形心主惯性矩。第五章第五章 平面图形的几何性质平面图形的几何性质/五五 形心主轴、形心主矩形心主轴、形心主矩(1)如果平面图形有一条对称轴,则此轴必定是形心主惯性轴,而另一条形心主
16、惯性轴通过形心,并与此轴垂直.观察法确定形心主轴的位置:第五章第五章 平面图形的几何性质平面图形的几何性质/五五 形心主轴、形心主矩形心主轴、形心主矩(2)如果平面图形有两条对称轴,则此两轴都为形心主惯性轴.第五章第五章 平面图形的几何性质平面图形的几何性质/五五 形心主轴、形心主矩形心主轴、形心主矩(3)如果平面图形具有三条或更多条对称轴,那么通过证明后可以知道:过该图形形心的任何轴都是形心主惯性轴,而且该平面图形对于其任一形心惯性轴的惯性矩都相等。第五章第五章 平面图形的几何性质平面图形的几何性质/五五 形心主轴、形心主矩形心主轴、形心主矩对于没有对称轴的截面,其形心主惯性轴的位置通过转轴
17、定理确定。第五章第五章 平面图形的几何性质平面图形的几何性质/五五 形心主轴、形心主矩形心主轴、形心主矩(1)矩形截面的形心主惯性矩 常见截面的形心主矩:(2)圆形截面的形心主惯性矩 例题：求图示截面形心例题：求图示截面形心例题：求图示截面形心例题：求图示截面形心轴轴轴轴Y Y Y YC C C C和和和和Z Z Z ZC C C C的惯性矩的惯性矩的惯性矩的惯性矩解：解：解：解：1.1.取参考轴取参考轴取参考轴取参考轴Z Z2.2.求形心求形心求形心求形心则则a12cm，a22cm。3.3.求对形心轴的惯性矩求对形心轴的惯性矩求对形心轴的惯性矩求对形心轴的惯性矩Zz2zcz1yc1cc26c
18、m2cm6cm2cmy1y2a2a1yc1 12 2（yc）在下列关于平面图形的结论中，（）是错误的。A.图形的对称轴必定通过形心；B.图形两个对称轴的交点必为形心；D.使静矩为零的轴必为对称轴。C.图形对对称轴的静矩为零；D在平面图形的几何性质中，（）的值可正、可负、也可为零。A.静矩和惯性矩；B.极惯性矩和惯性矩；C.惯性矩和惯性积；D.静矩和惯性积。D课程练习题 图示任意形状截面，它的一个形心轴zc把截面分成和两部分，在以下各式中，（）一定成立。ZCC课程练习题 图a、b所示的矩形截面和正方形截面具有相同面积。设它们对对称轴x的惯性矩分别为 对对称轴y的惯性矩分别为 ，则（）。C课程练习
19、题图示半圆形，若圆心位于坐标原点，则（）。xyD课程练习题 任意图形的面积为A，x0轴通过形心C，x1 轴和x0轴平行，并相距a，已知图形对x1 轴的惯性矩是I1，则对x0 轴的惯性矩为（）。B课程练习题 设图示截面对y轴和x轴的惯性矩分别为Iy、Ix，则二者的大小关系是（）。B课程练习题 图示任意形状截面，若Oxy轴为一对主形心轴，则（）不是一对主轴。C课程练习题A.形心轴；B.主轴 C.主形心轴 D.对称轴 在图示开口薄壁截面图形中，当（）时，y-z轴始终保持为一对主轴。任意图形，若对某一对正交坐标轴的惯性积为零，则这一对坐标轴一定是该图形的（）。BA.y轴不动，x轴平移；D.y、x同时平移。B.x轴不动，y轴平移；C.x轴不动，y轴任意移动；B课程练习题